專題08一元一次方程

布2大高頻考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)01方程的解與解一元一次方程

考點(diǎn)02一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用

方程的解切解一元一次方富

一、單選題

（24-25七上?北京房山區(qū)?期中）

1.若陽(yáng)二〃，則下列等式不一定成立的是（）

mn

A.fna=naB.，■-C.m+a=n+aD.m-a-n-a

二、填空題

（23-24七上?北京通州區(qū)?期中）

2.按下面的程序計(jì)算，若開始輸入的值x為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為45,則滿足條件的

x的所有值是.

輸入r

將計(jì)

結(jié)果

值給值

再次

計(jì)算

輸出結(jié)果

三、解答題

（24-25七上?北京房山區(qū)?期中）

3.解方程：x+6=10-3A.

（24-25七上?北京房山區(qū)?期中）

4.解方程：2x-（x-10）=5x+2（x-1）.

一二-兀次為界的攻際應(yīng)用

一、解答題

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

⑵-24七上?北京房山區(qū)?期中）

5.為了更好地使用和節(jié)約水資源，自2014年5月1日起，北京市居民生活用水開始實(shí)施階

梯水價(jià)，下表為北京市居民用水（自來(lái)水）水費(fèi)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：

價(jià)格組成（單位：元/立方米）

每戶年用水量水單價(jià)（單位：元/立

階梯

（單位：立方米）方米）

水費(fèi)水資源費(fèi)污水處理費(fèi)

第一階梯0-180（含180）52.071.571.36

第二階梯180?260（含260）74.071.571.36

第三階梯260以上96.071.571.36

例如，某用戶的年用水量為300立方米，按三階梯計(jì)量應(yīng)繳納水費(fèi)為：

5x180+7x（260-180）+Ox（300-260）=1820（元）.

請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

（1）如果A用戶的年用水量為100立方米，則A用戶需繳納的水費(fèi)為元；

（2）如果8用戶一年繳納的水費(fèi)為1040元，則3用戶該年用水量為立方米；

（3）如果。用戶的年用水量為。（a>260）立方米，求。用戶該年應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？（用

含。的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）

（24-25七上?北京大峪中學(xué)?期中）

6.定義：數(shù)軸上尸、0、M、N表示的數(shù)分別為p、4、心、〃.若點(diǎn)M到點(diǎn)尸、。中一個(gè)點(diǎn)

的距離與點(diǎn)N到點(diǎn)P、0口另一個(gè)點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離，我們就稱

（，W,N）是（尸,0）的調(diào)和點(diǎn)對(duì).例如，如圖，點(diǎn)P、。、材、N表示的數(shù)分別為-1,-4,

-1.5,-3.此時(shí)，QN=1,MN=1.5,因此，點(diǎn)尸、。、時(shí)、N滿足QN+PM=MN,稱（V,N）

是（P,。）的調(diào)和點(diǎn)對(duì).

QNMP

—?~4-i1——?——?——?——?——?——>

-5-4-3-2-1012345

請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：

在數(shù)軸上點(diǎn)44表示的數(shù)分別為°、力，且°、力滿足。+4+（8?8）:0,

（1）?=;b=;

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

(2)點(diǎn)E、F、G、〃表示的數(shù)分別為-5,-3,3,7,其中可以組成(48)的調(diào)和點(diǎn)對(duì)的是

(3)若點(diǎn)尸從點(diǎn)A以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)8以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)

動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒(/>0),當(dāng)(RQ)

為(48)的調(diào)和點(diǎn)對(duì)時(shí)，直接寫出，的值.

(24-25七上?北京石景山京源學(xué)校?期中)

7.A,8,。為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)。到A的距離是點(diǎn)C到8的距離的2倍，我們就稱點(diǎn)。

是［A,B］的好點(diǎn).

例如，如圖①，點(diǎn)A表示的數(shù)為-1,點(diǎn)8表示的數(shù)為2,點(diǎn)。表示的數(shù)為1,點(diǎn)C到點(diǎn)A的

距點(diǎn)是2,到點(diǎn)8的距離是1,那么點(diǎn)。是【A,8］的好點(diǎn).又如，點(diǎn)。表示的數(shù)為0,

點(diǎn)。到點(diǎn)A的距離是1.到點(diǎn)8的距離是2,那么點(diǎn)。就不是【A,8］的好點(diǎn)，但點(diǎn)Q是

【8,A】的好點(diǎn).

如圖②，M,N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)/表示的數(shù)為?2,點(diǎn)N表示的為4.

8

I4D

II

37O

-2-12-

①

MN

—?----1------1-----1——?——?----1_

-3-2-101234

②

AP-B

-20640^

③

(1)數(shù)表示的點(diǎn)是【歷，N1的好點(diǎn).

(2)如圖⑤，A,6為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為-20,點(diǎn)6表示的數(shù)為40,現(xiàn)有一只螞

蟻P從點(diǎn)8出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止.當(dāng)Z為何值時(shí)，P,A

和8中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的好點(diǎn)？

(24-25七上?北京房山區(qū)?期中)

8.對(duì)于數(shù)軸上的A,8,。三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與其他兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好

滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是其他兩個(gè)點(diǎn)的“唯美點(diǎn)”、例如，數(shù)軸上點(diǎn)A、B,。所表

示的數(shù)分別為0,2,3,比時(shí)點(diǎn)4是點(diǎn)A,。的“唯美點(diǎn)”.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

1.B

【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：等式兩邊同時(shí)加上或

減去同一個(gè)數(shù)或整式，等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或式子等式仍然成立；等式

兩邊同時(shí)除以一個(gè)不為零的數(shù)字或式子等式仍然成立.

【詳解】解：A、若，〃=〃，則原式成立，不符合題意；

B、當(dāng)。=0時(shí)，加■”不成立，符合題意；

aa

C、若〃?二〃，則〃i+a=〃+a,原式成立，不符合題意；

D、若〃?二〃，則〃=原式成立，不符合題意；

故選:B.

2.3,9,21

【分析1本題主要考查了解方程的能力，注意理解題意與逆向思維的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：若2x+3=45,則x=21,

若2x+3=2L則：x=9,

若2x+3=9,則：x=3,

故滿足條件的X的值是3或9或21.

故答案為：3或9或21.

3.x=1

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，按照移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方

程即可.

【詳解】解：x+6=10-3x

移項(xiàng)得：x+3x=10-6,

合并同類項(xiàng)得：4x=4,

系數(shù)化為1得：x=1.

4.x=2

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，先去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，最后化系數(shù)

為1即可.

【詳解】解：2x-(x-10)=5x+2(.r-l)

2x-x+10=5x+2x-2

2x-x-5x-2x=-10-2

答案第1頁(yè)，共8頁(yè)

-6x=-12

x=2

5.（1）500

（2）200

（3）C用戶該年應(yīng)繳納水費(fèi)（94-880）元

【分析】本題考直了一元一次方程的應(yīng)用：

（1）利用單價(jià)乘以水量即可；

（2）首先得出所用自來(lái)水的范圍，設(shè)未知數(shù)、根據(jù)等量關(guān)系列方程即可;

（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列出算式即可；

解題的關(guān)鍵是明確題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，列出方程.

【詳解】⑴解：5x100=500（元），

答：則A用戶需繳納的水費(fèi)為500元，

故答案為:500.

（2）180x5+（260-180）x7=1460（元），

則使用自來(lái)水260立方米時(shí)，應(yīng)繳納：1460元＞1040元，

設(shè)8用戶該年用水量為x立方米，

則180*5+（x-180）x7=1040,

解得：X=200,

答：8用戶該年用水量為200立方米，

故答案為:200.

（3）180x5=900,

（260-180）x7=560,

9（。-260）=9。-2340,

900+560+（9。-2340）

=1460+9。?2340

=9"-880,

答：C用戶該年應(yīng)繳納水費(fèi)（9―880）元.

6.（1）-4,8

答案第2頁(yè)，共8頁(yè)

⑵（AG）

6

13）「或I=6

【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得。、人的值；

（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離分別求出產(chǎn)小BG、GF,進(jìn)而根據(jù)調(diào)和點(diǎn)對(duì)的定義即可求解：

（3）分點(diǎn)尸在8點(diǎn)的左邊與點(diǎn)8的右邊兩種情況分類討論，根據(jù)新定義列出方程即可求解;

本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】⑴解：?.?|。+4+38『=0,

:a+4=0,6?8=0,

解得夕--4,力=8,

故答案為：-4.g：

（2）解：解:如圖所示，

G8

?i???1

--

234568

行

打18G8356

:一===

一-

?1

:（匕G）是（4,8）的調(diào)和點(diǎn)對(duì),

故答案為：（￡G）；

（3）解：由題意，，秒后點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的數(shù)為-4+4/,點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的數(shù)為8-/,

,?,當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

...”巴旦12.

:0</<12,

???（R。）為（4B）的調(diào)和點(diǎn)對(duì),

:PA+QB=PQ或04+PB=PQ,

①當(dāng)P在8點(diǎn)的左側(cè)時(shí)：

當(dāng)產(chǎn)4+08=尸0時(shí)，貝lJ>4+4/-(-4)+8-(8-/)=(8-/)-(-4+4/),

APQB

IITI?

解得L：；

答案第3頁(yè)，共8頁(yè)

當(dāng)0%+尸3=P0時(shí)，貝l」8-f-(-4)+8-(-4+4/)=(-4+4。-(8?。，

AQPB

----------------->------------------->—>

解得，=：,

IgIff

??當(dāng)=4時(shí)，4x^=|04.此時(shí)尸在點(diǎn)4的右側(cè)，不合題意；

②當(dāng)尸在點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)，Q/1+PB二PQ,

貝I]8T?(-4)+(-4+4/)?8=(-4+4r)-(8-/),

解得/=6；

AQBP

綜上所述,，-(或，=6.

7.(1)10或2；

(2)當(dāng)/=15或10或20時(shí)，點(diǎn)P,A和8中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的好點(diǎn)

【分析】(1)設(shè)【M,N】的好點(diǎn)表示的數(shù)是x,根據(jù)定義可以列出關(guān)于x的方程，解方程

求出x的值即可；

(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)/秒時(shí)，點(diǎn)尸表示的數(shù)為40-2/,因?yàn)辄c(diǎn)P,A和4中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的好

點(diǎn)，所以本題要分6種情況進(jìn)行討論，根據(jù)材料中提供的定義列方程求出/的值即可.

【詳解】(1)解：設(shè)【V,N】的好點(diǎn)表示的數(shù)是x,

根據(jù)題意可得:|r-(-2)|=2[r-4|,

整理得：卜+2|=2k-4|,

：x+2=2(x-4)或x+2=-2(x?4),

解方程￥+2=2(x-4),

可得：x=1(),

解方程x+2=-2(x-4),

可得：x=2,

:數(shù)10或2表示的點(diǎn)是IM,N】的好點(diǎn)，

故答案是：10或2：

答案第4頁(yè)，共8頁(yè)

（2）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)/秒時(shí)，點(diǎn)尸表示的數(shù)為40-2/,

Q螞蟻P從點(diǎn)4出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)A停止，

：0<2/<40-（-20）,

解得:0<Z<30,

①當(dāng)點(diǎn)A是1P,B】的好點(diǎn)時(shí)，

根據(jù)題意得：卜20—（40—2/）|=2x|-20-4C|,

解得：/二90或/=-30,

不符合題意；

②當(dāng)點(diǎn)A是【8,P］的好點(diǎn)時(shí)，

根據(jù)題意得：卜20—叫=2x-20-^40-2/）|,

解得：f=15或f=45（不符合題意，舍去），

:當(dāng)Z=15時(shí)，點(diǎn)A是［4,P］的好點(diǎn)；

③當(dāng)點(diǎn)尸是【A,8］的好點(diǎn)時(shí)，

根據(jù)題意得：|4O—2/-（-20）|=2X（40-2/-<|,

解得：/=10或1=-30（不符合題意，舍去），

:當(dāng)/=10時(shí)，點(diǎn)。是【A,8】的好點(diǎn)；

④當(dāng)點(diǎn)P是【“，A】的好點(diǎn)時(shí)，

根據(jù)題意得：|40-2/-4（j=2x|40-2/-（-20）|,

解得：1=20或/=60（不符合題意，舍去），

:當(dāng)20時(shí)，點(diǎn)P是［8,A］的好點(diǎn)；

⑤當(dāng)點(diǎn)8是【。，A1的好點(diǎn)時(shí)，，

根據(jù)題意得：|40-（40-2/）|=2xk0一（一20）|,

解得：t=±60,

不符合題意，舍去；

?點(diǎn)8是【A,P】的好點(diǎn)時(shí)，

根據(jù)題意得：|4O-（-2O）|=2X|4O-（4O-2/）|,

解得：1=15或/=-15（不符合題意，舍去），

答案第5頁(yè)，共8頁(yè)

:當(dāng)/=15時(shí)，點(diǎn)8是［/>,A］的好點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)，=15或10或20時(shí)，點(diǎn)P,A和8中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的好點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、解一元一次方程、分類討論的思

想.解決本題的關(guān)鍵是讀懂材料中所提供的定義，根據(jù)定義列方程求解，解題時(shí)還要根據(jù)點(diǎn)

的位置關(guān)系分情況討論.

8.(1)G,C4

(2)6；a+10或a+15

【分析1本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用：

(I)根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離計(jì)算公式分別求出點(diǎn)/4和點(diǎn)8到G，3,G，O,四個(gè)點(diǎn)的距離,

再根據(jù)“唯美點(diǎn)”的定義判斷即可;

(2)先求出力7=/-。，37=卜+5",AB=5,再分當(dāng)力是8、7的“唯美點(diǎn)''時(shí)，當(dāng)B

是力、7的“唯美點(diǎn)”時(shí)，當(dāng)r是力、B的“唯美點(diǎn)”時(shí)，三種情況根據(jù)"唯美點(diǎn)''的定義建立

方程求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得，

===

ACi=-1-(-3)2?4G=gI)=zig=5-1)=6,/4C47-(-l)8,

1Q

BC\=3-(-3)=6,8c2=3-=T*BG=5-3=2,BC^=7-3=4?

:BC2=2AC2,AC4=28C,,

：C,,C4是點(diǎn)A,B的“唯美點(diǎn)”，

故答案為：G,C4；

(2)解：由題意得，AT=t-a,BT=a+5-t\,AB=￡,

當(dāng)/是A、T的“唯是點(diǎn)”時(shí),則/g=2AT^AT=2AB,

:2(/-〃)=5或f-4=10,

5T

?--?4或，=。+10：

當(dāng)〃是力、T的“唯美點(diǎn)”時(shí),則4B=2BT或BT=24B,

:2|a+5-z|=5或|a+5-r|=10,

答案第6頁(yè)，共8頁(yè)

???//?;或，1/+，或，=a+15或/=4-5(舍去)：

當(dāng)7是4、B的“唯美點(diǎn)''時(shí)，則力『二287'或87=247,

：2(/-4)=卜+5T或/-c=2P+5T|,

:a+5-(=±2(/-a)或/-?=±2(a+5-/),

:J-a?,或f=a-5?舍去)或，—u-4或/=a+10,

綜上所述.，-:??；?=4+10或Z=。+、或/=4+15或/=。+'或,

12