四川省成都市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項符合題目要求.

1.直線氐一>二°的傾斜角為（）

71一兀八2兀、5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】\/3x-y=0化為y=垂,

所以直線&-y=0的斜率為6，

設(shè)直線JIE-》=0的傾斜角為。，則0<夕<180。，

又因?yàn)閠an8=JJ，所以6=60=],

故選：B.

2.從1?9這9個數(shù)字中隙機(jī)選擇一個數(shù)，則這個數(shù)平方的個位數(shù)字為1的概率是（）

【答案】B

【解析】12=1,22=4,32=9,42=16,52=25?62=36,72=49,82=64,92=81>故個位數(shù)字為

2

1的概率為：--

故選：B.

3.圓C：Y+y2=4和圓C2：（x—3『+（y—4）2=16的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.外切C.相交D.相嘲

【答案】C

【解析】圓G：f+_/=4的圓心為c（O,O）,半徑《二2,

圓C2:（x—3f+（y-4>=16的圓心為G（工4）,半徑G=4,

圓心即一|G。,|二132+4?=5，/+弓=6心一4=2,

所以2v5<6,即今一彳<|^。21<4+（，故兩圓相交.

故選：C.

4.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=”第一枚硬幣正面朝上“，事件8="第二枚硬幣反

面朝上”，則下述正確的是（）

A.A與8互為對立事件B.A與8互斥

C.A與8相等D.A與“相互獨(dú)立

【答案】D

【解析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，

反），事件A包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件8包含的結(jié)果有：（正，反），（反，

反），顯然事件A,事件B都含有“（正，反）”這一結(jié)果，印事件A,事件8能同時發(fā)生，因

此，事件4,事件8既不互斥也不對立，故A,B均錯誤：

事件A,事件3中有不同狗結(jié)果，于是得事件A與事件8不相等，故C錯誤；

21?11

因?yàn)槭?4)=一=一，2(3)=—=一，2(43)=一，則尸(,43)=/\4)2(8),所以A與B相

42424

互獨(dú)立，故D正確.

故詵：D.

22

5.已知產(chǎn)為橢圓。:二+匯=1上一點(diǎn),耳，鳥分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)。的橫坐

84

標(biāo)為J5,則4P"鳥的面積為（）

A.V3B.272C.2x/3D.4

【答案】C

22

【解析】因?yàn)镃:二+匯=1,所以。=2,又因?yàn)辄c(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為正，

84

所以2+—=1=>},2=3=>I=>/3,

8411

所以點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為土6，所以=；x|￡用x3=；x2cxg=2jL

J，

故選：c.

6.如圖，在四面體ABC。中，E是4c的中點(diǎn)，若福=入AC=b^AD=c^則屁=

B-1]_

—a+—b+c

22

11U

D.—a+—br+—c

242

22

【答案】A

【解析】由題意知,

DS=-DB+-W=-(AB-Ab)+-(AC-AD)=-AB+-AC-AD=-a+-b-c.

22222222

故選：A.

7.已知雙曲線c：\一靠■=I（Q〉O,/?〉O）的右焦點(diǎn)為尸，漸近線為4,4,過歹且垂直

于4的直線分別交于M，N兩點(diǎn)，且兩二—g或，則雙曲線的離心率為（）

A.拽B.G

C.2D.75

3

【答案】A

【解析】如下圖所示：

雙曲線的漸近線方程為bx±ay=O,則F到宜線OM的距離為IFM\=/,,=h，

yjlr+a

因?yàn)槎?前，則|FN|=2|FM|=?,故|肱V|=|FM|+|F7V|=Z?+2〃=3/7,

由勾股定理可得|0M|二^|OF|2-|FM|2=\lc2-b2=a，

設(shè)4FON=/FOM=6,則tan6=一，

a

2h

八〃八*rc八2lanelab

則tan/MON=tan2。=------=-=—-----,

l-tan26>.b2a2-h2

1-晨

因?yàn)閠an/MON=線)=—=孚，，整理可得a2=3b2=3(c2-a2Y

\OM\aa-b-'7

則：=解得《=拽.

a233

故選：A.

8.如圖，二面角。一/一6的棱上有兩個點(diǎn)AB,線段AC與3。分別在這個二面角的兩

個面內(nèi)，并且都垂直于棱/.若AB=1，AC=2,BD=3,二面角。一/一〃的平面角

為四，則CD=（）

C.2GD.2、號

【答案】B

【解析】由條件知d而=0，麗.麗=0，CD=CA+AB+BD^

又二面角。一/一尸的平面角為三，

所以=|CA|2+1AS|2+1^5|2+2CA-AS+2AB-ED+ICA-BD

/\

=22+12+32+2x2x3cosn--=8,所以|C￡）|=2五.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得（）分.

2

9.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為橢圓G：猴+V=1與雙曲線。2：/-3，2=1在第一象限的公共

點(diǎn)，片，8分別是橢圓a的左、右焦點(diǎn)，則（）

A.G與的焦點(diǎn)相同B.|班卜|尸圖二2

C.|叫=3D.\OP\=yf2

【答案】ABD

【解析】對于A,橢圓G：三+尸=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土夜刀），雙曲線仇：/一曠口的

3

焦點(diǎn)坐標(biāo)也為卜&,0）,I"周二26，A正確：

對于B,對于雙曲線。2：工2-)3=1，其實(shí)半軸長。=1，P點(diǎn)在雙曲線右支上，

則\PFi\-\PF2\=2a=2,B正確;

2

對于C,對于橢圓G：,+y2=],有|p四+歸周=2石，結(jié)合|?用一|尸閭=2,

則歸用=1+JLC錯誤;

對于D,結(jié)合C的分析可得|P用=6—1,

叫哺+|P周2=(1+何+(6—1)2=8=(忻周丫，

即N￡P(guān)鳥為直角，故|0尸|二4耳行|=J5,D正確，

故選：ABD.

10.某市舉行了一次數(shù)學(xué)史和趣味數(shù)學(xué)知識競賽，為了解本次競賽成績情況，對本次競賽學(xué)

生成績進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如圖所示頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方

圖，下面結(jié)論正確的是()

頻率

B.此次競賽成績低于70的學(xué)生比率估計為25%

C.此次競賽成績眾數(shù)的估計值為75

D.此次競賽成績平均數(shù)估計值不超過80

【答案】BCD

【解析】A：l(X0.(X)5+x+0.020+0.03()+0.035)=l,解得x=Q010,故A錯誤;

B：由圖可知，此次競賽成績低于70的學(xué)生比率為10(0.005+0.020)X100%=25%,故B正

確；

C：由圖可知，眾數(shù)位于紐(70,80]內(nèi)，所以其估計值為75,故C正確；

D：此次競賽的平均成績?yōu)椋?/p>

55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77,不超過80,故D正確.

故選：BCD.

11.已知一條線段的端點(diǎn)分別是A(%.y),3(%.%)?關(guān)于x，y的方程

a(x-xl)(x-x2)+b(y-yl)(y-y2)=cf則()

A.當(dāng)。=bwO,c=O時，方程所表示的曲線是以AB為直徑的圓

B.當(dāng)。=l/=-l,c6O時，方程所表示的曲線是雙曲線

C.存在。力,c,使得方程所表示的曲線是橢圓

D.任意。>0,b>0,c>0,方程所表示的曲線圍成的封閉區(qū)域面積大了;兀

【答案】AC

【解析】對于A,記P(xy),

則題干條件即為(x-xj(x72)+()‘-y)(y-y2)=oo方?方=°，

則F4_L依，方程所表示的曲線是以A3為直徑的圓，故A正確，

對于B,我們令A(yù)(0,0),B(0,2),a=l,/?=-l,c=1,

此時方程化為(十一0)(工一0)-()，一。)()-2)=1,

即x2-(y2-2y)=1,化簡得x2-(y2-2y+l)=0,

得到f_(y_l)2=0,即[戈一(),_1)][1+(),一])]=0,

故得到x-y+1=0或x+y-1=0,

此時方程所表示的曲線不是雙曲線，故B錯誤，

對于C,a(x-^)(x-x)+Z?(j-y,)(y-y2)=(?,

‘玉+工2丫(y+必丫

卜一^2^)+V2_)_°(%-超『()'「必『'

—z-----------------?-------------------I------------十----------

baab4/?4a

a>()/〉()

若要使該方程表示橢圓，只需<4W。即可，C正確;

C』(不一工()'|一丫2『、八

,ab4〃4a

對于D,由C可得曲線方程為

J#]0丫(、2/、2

I2JI2J_c(玉-電)山-必)，

baab4b4a

記5為c：江+￡=￡+(3%)-+(y)'2)的面積,

baah4b4a

S?為G：Y+y2=（%一'）；（1一%）的面積?

當(dāng)G的長半軸小于等于G半徑時，S1<S2=；HAB|2,故D錯誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為

【答案】x=-l

【解析】由拋物線￡:），2=4X,可得￡（1,0）,

拋物線G的準(zhǔn)線方程為/=一1,

故答案為：x=-l.

13.已知空間三點(diǎn)A（l,2,1）,6（1,3,2）,C（2,3,1）,則以A8,AC為鄰邊的平行四邊形的面

積為.

【答案】G

【解析】因?yàn)锳（1,2,1）,6（1,3,2）,C（2,3,1）,麗=（0,1,1）,/=（1,1,0）,

所以|福卜Jo+1+1=、5,|AC|=>/1+1+0=V2,

阿AC|V2xV22,

所以sinNBAC=Vl-cos2Z.BAC=

所以以A民AC為鄰邊的平行四邊形的面積為

5=|SB||4C|sinZB4C=V2x>/2x^=5/3

14.在某次活動中，登記的8個數(shù)據(jù)內(nèi),“2，七，…，蟲的平均數(shù)為8,方差為16,其中

內(nèi)=7.后來發(fā)現(xiàn)4應(yīng)該為10,并且漏登記了一個數(shù)據(jù)14,則修正后的9個數(shù)據(jù)的平均

數(shù)為,方差為.

1CQ

【答案】9—

【解析】由題意知修正前%+/+&+…+/=8x8=64,

則/￡+…+/=64-7=57,

Q1

修正后％+3+%+芻+…+/+14=81,故修正后的9個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為亍=9

修正前g[(%i-8)~+(%一81+?+(4-8)[=16,

即得(％-8『+…+(/-8『=128-1=127,

故修正后的方差為"[(10-9『+(為—9『+…+(/-9『+(14-9)2]

=126+(%-8)~+

,+(4-8)-2(x)+…+/)+7x17

I1co

=-[26+127-2x57+7x17]=-^-.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在棱長為2的正方體ABCO-AgGA中，E,RG,”,K,L分別為

A艮B券同C，CADD4各棱的中點(diǎn).

(1)求證：入。，平面五/6月//.：

(2)求平面與平面EFGHKL夾角的余弦值.

(1)證明：連接AC,B。，因?yàn)锳BCO-A4G。為正方體，

所以BD_LAC,AAJL平面A3C3,

因?yàn)?Ou平面A8CD,所以A4_L33,

因?yàn)锳4cAC=AA4，ACu平面A/C,所以804平面

因?yàn)?(u平面AAC,所以3O_LAC，

因?yàn)榉謩e為A。,AB的中點(diǎn)，所以BD//EL,

故EL_LAC,同理可證LKJ.AC，

因?yàn)長EQLK=L,LE,LKu平面EFGHKL,

所以AC_L平面EbG”KL.

(2)解：因?yàn)锳BCO-AgGQ為正方體，所以AB_LAD,AA.1AB,AA.1ADf

以A為原點(diǎn)，A仇A。,AA所在直線分別為X軸、)，軸、Z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系,

則4（0,0,2）,C（2,2,0）,秋1,0,0）,“0,1,0）

從而后=（2,2,-2）,可=（-1,0,2）,m=（0,1,-2）,

由(1)知，ACJ.平面EFG/7KL,

故平面EFGHKL的一個法向量為后=(2,2,-2),

設(shè)平面AEL的法向量為n=(x,y,z),

力可二0-v+2z=0x=2z

則〈所以《明

>?-v=°y-2z=0y=2z

故平面\EL的一個法向量為方=(2,2,1),

百

由cos4C，萬一丁

所以平面AEL與平面EFGHKL夾角的余弦值為走

3

16.已知圓。：寸+)尸一2工+2〉-14=0,直線/:(m+2)x+(〃z-l)y+2〃?-8=0.

(1)求證：直線/恒過定點(diǎn)；

(2)當(dāng)直線/被圓。截得的弦長最短時，求出的值以及最短弦長.

(1)證明：由直線/:(〃?+2)x+(〃2-l)y+2"z-8=0,

得/:（x+y+2）w+（2x-y—8）=0,

x+y+2=（）x=2

聯(lián)立方程〈解得J

2x-y-8=0

即當(dāng)/=2,y=-4時，方程(/?7+2)x+(/?7-l)y4-2/??-8=0對實(shí)數(shù)加恒成立,

所以直線/恒過定點(diǎn)P(2,T).

(2)解：因?yàn)閳AC方程可化為(x—1『+()，+1)2=16,

可知圓心為。(1,-1),半徑r=4.

因?yàn)?可知點(diǎn)。在圓C內(nèi),

由圓的性質(zhì)可知：圓心到直線/的距離J<|CP|=ViO,

2

則弦長卜陽二242―/2>2^r-|CP|.

故當(dāng)CPJ_/時，直線/被圓C截得的弦長最短.

.—1—11

此時攵cpX勺=_1,故勺=1=二鼻=,.

KCpD。

"z+21口5

即nn-------二一，解得加二—

m-\34

最短弦長MM而°=2y]r2-|CP|2=2>/16-10=2x/6.

17.下面的三個游戲都是在袋子中裝入大小和質(zhì)地相同的小球，然后從袋子中不放回地取球.

游戲1游戲2游戲3

袋子中球的數(shù)量和2個紅球和1個白

1個紅球和2個白球2個紅球和2個白球

顏色球

取球規(guī)則取1個球依次取2個球依次取2個球

取到紅球-甲勝兩個球同色f甲勝兩個球同色一甲勝

獲勝規(guī)則

兩個球不同色”乙兩個球不同色乙

取到白球->乙勝

勝勝

(1)分別計算三個游戲中甲獲勝的概率，并判斷哪個游戲?qū)赘欣?/p>

(2)若三個游戲各進(jìn)行一次，且每個游戲的結(jié)果互不影響，求甲獲勝次數(shù)多于乙的概率.

解：(I)設(shè)事件A二“在游戲1中，甲獲勝“；事件8="在游戲2中，甲獲勝”；

事件C="在游戲3中，甲獲勝”.

游戲I：設(shè)紅球。力,白球?yàn)椤?，?個球，共3種情況4。,C,

2

甲獲勝的情況有2種?！ü适?zA)=§；

游戲2：設(shè)紅球?yàn)?。，白球?yàn)锳c,依次取2個球，共6種情況aAac,拉7,0c,ca,c〃,

2I

甲獲勝的情況有2利Sc,沙，故。(3)=二=彳；

63

游戲3：設(shè)紅球?yàn)榉瞓,白球?yàn)閏,d,依次取2個球，共12種情況:

ab,ac,ad,ba,be,bd,ca,cb,cd,da,db,de,

41

甲獲勝的情況有4種ab,ba,cd.dct故。（C）=丘=§

由于故游戲?對甲更有利?

33

（2）當(dāng)甲獲勝次數(shù)多于乙時，甲獲勝2次或3次.

設(shè)事件。二”在三個游戲中，甲獲勝3次“，事件后二"在三個游戲中，甲獲勝2次，輸一

次“，

?II

由（1）知，P（A）=-,P（fi）=-,P（C）=-,

?112

故P（D）=P（A5C）=P（A）P（B）P（C）=、XQX丁亍

。JJJ1

P（E）=P（ABC）+P（ABC]+P[ABC）

=P（A）P（B）P（C）+P|A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）

11122121291

=-X—X—+—X—X—+—X—X—=——=—.

333333333273

2111

綜上，甲獲勝次數(shù)多于乙的概率尸二夕（。口后）=。（。）+。（￡）=-+-=—.

27327

18.已知A3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（2,1）,（-2,1）,直線3。相交于點(diǎn)。，且直線的

斜率與直線8。的斜率之差是1,記動點(diǎn)。的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）已知過點(diǎn)尸（0,1）的直線《與C相交于M,N兩點(diǎn)，過M,N分別作直線4：y=-l的

垂線，垂足為RQ,R為PQ的中點(diǎn).

①證明：MR//FQ,

②設(shè)直線FQ與NR交于點(diǎn)K,記△KWR,Z\NP。的面積分別為51,邑，當(dāng)3^2=32

時，求直線4的方程.

（1）解：設(shè)點(diǎn)。（乂），），則出一色

3笠4%,即…

所以C的方程為x2=4y（x?！?）.

（2）①證明：由題知，直線4斜率存在且不為0,

設(shè)4:y=辰+1,M（內(nèi),yJ,N（x2,y2）,故尸（％,-1）,Q（x2,-1）,

r=4V

由｛,，消去y得丁一4日一4二0，

y=KX+i

因此％+%=4k，M%2=<4=16（公+1）>0恒成立，

從而R（2k,T）,

故荻=（2%—%,-1-兇）=（24_%,_2_七「），匝=（々，-2）,

又因?yàn)椋?2_內(nèi)）乂（_2）_（_2一例）￡=TZ:+2（X[+玉）+如%2=74+8女-4攵=0,

所以疏//匝，

由M,F,R三點(diǎn)不共線得MR/AFQ成立.

②解：由①知，MR//FQ,

故公KMR的面積S「與△MRQ的面積相等，

又因?yàn)镽為PQ的中點(diǎn)，所以△MRQ的面積等于aMPQ的面積的一半,

即S]=gSAMP。=；|內(nèi)一與Hy+1|,

又因?yàn)镾?=NPQ=3|工1一%I,|%+1|，

所以5s=：|再一七「.瓜+小民+1|二-(西+%)2-44q](a+2)(d+2)

O

="[(X+/『一[公玉々+2MM+W)+4],

由①知，%+々=4&,玉&=-4,

故“2=，(16/+16)(-4二+弘2+4)=8(/+1/=32,

解得z2=],即攵=±1.

所以直線/,的方程為），=/+1或y=-x+1.

19.在直角坐標(biāo)系xQy中，橢圓的離心率是半，點(diǎn)

座㈤

4在。上，直線/：），=工+m（-與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，與x

2'2

軸相交于點(diǎn)K.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）將平面*Qv沿X軸翻折，使y軸正半軸和X軸所確定的半平面與.V軸負(fù).半釉和X和所

確定的半平面所成二面角的平面角為6,且0〈夕《三.

2

JT

①當(dāng)6=一,〃?=0時，求翻折后三棱錐A一OMN的體積；