專題4向量綜合歸類

目錄

講高考...................................................................................1

題型全歸納...............................................................................4

【題型一】向量夾角................................................................4

【題型二】線性運(yùn)算1：基底型基礎(chǔ)..................................................7

【題型三】線性運(yùn)算2：雙線交點(diǎn)型..................................................9

【題型四】線性運(yùn)算3：“趙爽弦圖”模型..............................................13

【題型五】向量基底“象限坐標(biāo)軸”.................................................16

【題型七】向量最值...............................................................19

【題型八】數(shù)量積.................................................................23

【題型九】模及其應(yīng)用.............................................................25

【題型十】投影...................................................................27

【答案】-1........................................................................27

【題型十一】面積與奔馳定理.......................................................28

專題訓(xùn)練.........................................................................32

講高考

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足切=?|a-2勿=3,則（）

A.—2B.—1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解:??,|〃一2力|2=|〃|2-44“+4的，

又丁|a|=|=\/3,\a-2b|=3,，9="4。"+4x3=13-44S?*.ab=\故選：C.

2.（福建?高考真題）已知|O4blJO8|=G,O/VOB=0,點(diǎn)C在內(nèi)，且ZAOC=30。.

設(shè)OC=+R）,則'等于（）

H

16

A.-B.3C.—D.G

33

【答案】B

【分析】由題意可得。4_LOB,建立坐標(biāo)系，由已知條件可得。＜?=（皿、萬(wàn)〃），進(jìn)而可得

tan300=^=^,即可得答案.

m3

【詳解】解：因?yàn)閨O4|=1,|OB|=g,OA-OB=0.

所以Q4J_O兒又因?yàn)辄c(diǎn)C在/AO8內(nèi)，且400=30。，建立如圖所示的坐標(biāo)系：

乂因?yàn)?。=〃?。A+〃08（次、〃￡1＜）,所以O(shè)C=（m,百〃），j3FfU.tan30o=—=—,

m3

所以巴=3.故選：B.

n

3.（山東?高考真題）在直角A8C中C。是斜邊AB上的高，則下列等式不成立的是)

A.\AC^=AC-ABB.\CI^=BA-BC

|2（ACA8）.（848C）

C.AB=ACCDD.CD-----------------------

11\AB\

［答案］C

【分加】根據(jù)向量模、數(shù)量積的運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，ACAB=|^C|-|-cosA=\AC\-\AC\=\AC^,A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，BA-BC=\13C\-\BA|-cosB=|Z^c|?|BC|=|^c|：=|c/?|\B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，ACCD=^AB+BCyCD=ABCD+BCCD

=|CD|.|BC|-（-cosZBCD）=-|CD|2*|AB|2,c選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，根據(jù)三角形的面積公式可知：

T網(wǎng).國(guó)=3網(wǎng)同網(wǎng)?阿=阿.阿,

結(jié)合AB選項(xiàng)的分析可知:

[ACAB\[BABC^|AC|2-|CB|

二|e『,D選項(xiàng)正確.故選：C

4.（2022,全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在工3C中，點(diǎn)力在邊A8上，DD-2DA.t^CA-m^CD-n,

則CB=（）

A.3/77-2/?B.-2m+3nC.3m+2nD.2in+3n

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出._______________

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA，所以4O=2D4，即CD-CB=2（CA-C。），

所以C8=3CO—2cA=3n-2m=-2m+3n.

故選：B.

5.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C':）/=2/加（p>U）焦點(diǎn)”的直

線與C交于4,B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M（p,0）,若IAPRAA/I,則（）

A.直線A3的斜率為2mB.\OB\4OF\

C.\AB\>4\OF\D.NOAM+NO8W<180。

【答案】ACD

【分析】由,再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表

示出直線人8的方程，聯(lián)立拋物線求得畤-季）,即可求出|。卻判斷B選項(xiàng):由拋物線

的定義求出|4B|=答即可判斷C選項(xiàng)；由O/VOBvO，求得/A08,ZAMB為

鈍角即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,易得產(chǎn)皮,0）,由|AF|=HM可得點(diǎn)A在尸M的垂直平分線上，則A點(diǎn)橫

p

坐標(biāo)為5+°=3〃,

2-T

瓜P

代入拋物線可得八2〃則工苧率），貝!直線47的斜率為藥2_萬(wàn)=2?,

T-i

A正確；

對(duì)于B,由斜率為2#L可得直線A3的方程為x=11后＞'+彳P，聯(lián)立拋物線方程得

12c

2py_p_二°，

2

設(shè)8（芭方），則逅〃+）,產(chǎn)直〃，則兇=一蚓，代入腦物線得

=2〃F，解得

263

%=］，則嗎

對(duì)于C,由拋物線定義知：|人河=￥+^+〃=答＞2〃=4|0月，C正確；

對(duì)于D,0408=（當(dāng)，口嗎「殍）二斗爭(zhēng)當(dāng)卜冬卜一斗＜0,則/A03為

鈍角，

乂M4.M8=（/丹）.（.步等尸第T上季卜季卜W<0,則4MB

為鈍角，

又ZAO8+ZAM8+NOAA1+NO8M=360,則NOAM+NO8Mv180,D正確.

【詳解】

設(shè)a-2c與c-2%夾角為。，a-4。與c-2〃所成夾角為產(chǎn)，

4-48=(a-2r)+2(c-2Z?),

所以，卜-4.=-2c|+4|c-2/?|+4p/-2c|-|c-2b|cos/z=5+4coscr,①

(a-4/7)(c-2Z?)=[(a-2r)+2(c-2b)}(c-2/?)=(a-2c|(c-2Z?)+2c-2b

=2+cosa>0,②

又^/-4Z?j-(c-2Z?)=|fl-4^|-|c-2Z?|cos^=|?-4Z?|cos/7>0=>cos/7>0,③

②與③聯(lián)立可得k-44cos4=2+cosa=>\a-?cos/=(2+cosa)2>④

.??①④聯(lián)立可得

(2+cosa)~cos%-1,16cos2。-25+935+4cosa9

cos2'pn=----------—=1+------------=1+——------------—=-+------------+-------------

5+4cosa5+4cosa16(5+4cosa)816l6(5+4cosa)

、3_(5+4cosa93

>-+2------------------------------=-,

8y1616(5+4cosa)?4

當(dāng)且僅當(dāng)cosa=—；時(shí)，取等號(hào)，cos2Z?>|=>cos/7>^,匹[0,司，則即嗎

Ha-4/?與c-2b所成夾角的最大值是~,故選：A.

6

例題2.已知單位向量a,b，C滿足a-3〃=2技?，貝山與a+&c夾角的余弦值為()

A.一3B.-立C.一也D.一叵

3223

【答案】A

【分析】

根據(jù)a,〃，c為單位向量，變形后平方可得：出〃=g,6c=-手，GC=0,利用夾角

公式求出b與a+75c夾角的余弦俏.

【詳解】

a，b，c；為單位向量.

對(duì)。-3)=2岳兩邊平方，即片-6。?。+〃=2缶2,可得：?./?=1；

由。-3人=2&c可得：a=2a+3b，兩邊平方，可得：/?-(?=-—;

3

由〃-35=2夜c可得：a-2yf2c=3b，兩邊平方，可得：ac=0,所以

a+V2c|=yja2+2y/2a-c+2c2=x/3.

b{a+\[lc)ab+\f2b-c=_3.故選:

cos(b,a+\p2c')=A

Ixg

網(wǎng)4+缶|3

【講技巧】

求平面向量夾角的方法：

⑴定義法：利用向量數(shù)量積的定義得cos<db>=62i，

m其中兩向量的取值

范圍是［0,可；

(2)坐標(biāo)法：若非零向量〃=(玉方)、b=(x2,y2),則cos<a』A=而孝隨力

兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有>0,反之不成立；兩個(gè)向量夾角為鈍角，則有。?八0,

反之不成立

【練題型】

1.已知〃=(cosa,-l,sina),/?=(sina,-l,cosa),則向量〃+〃與〃-b的夾角為()

A.90°B,60°C.30°D.0°

【答案】A

【分析】

結(jié)合空間向最的夾角坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換化簡(jiǎn)求出夾角的余弦值，進(jìn)而可得到結(jié)

果

【詳解】

因?yàn)閍=(cosa,—l,sina),/?=(sin(z,-l,cosa),

所以a+b=(cosa+sina,-2,sina+cosa),〃-Z?=(cosa-sina,0,sina-cosa),

設(shè)向量a+Z?與a-b的夾角為夕，則

cosa+sinQ)x(cosa-sina)+(-2)x0+(sina+cosa)(sina-cosa)

J(cosa+sina)~+(-2)-+(sina+cosaa-sina)"+02+(sina-cosa)

cos*23a-sin2a+O+sin2a-cos2a

=0<

j6+2sin2axj2-2sin2a

2.己知向量〃，人滿足|a|=2,Z>=(U),a?b=-2，設(shè)a與a+Z>的夾角為。，則cos<9=

A.；B.--C.-D.--

2222

【答案】C

【分析】

由已知條件，求出卜+W及。?(〃+/”，然后利用向量的夾角公式即可求解.

【詳解】_____

解：因?yàn)椴凡?,力=(1/)，a-b=-2,所以忖=42+］2=拉,

所以k+@+/?)+2〃.〃+/?=,2?+2x(-2)+(&)=近，

〃?(〃+/>)=〃+ab=22-2=2,

a\a^b\2叵

所以cos9=，r~~r^=--T==—,故選：C.

耶+82x722

3.已知兩個(gè)單位向量〃，上的夾角為則〃與的夾角為()

A—B-C.空D.空

3243

【答案】A

【分析】

先由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出4，卜-1再由夾角公式求解即可.

［詳解］_________

叫=-=l—=；,卜一q==6-2m=1,

設(shè)〃與的夾角為內(nèi)則cose=：?j）=J_=L又。40,司，則4與〃的夾角為R

W"41x123

故選：A.

【題型二】線性運(yùn)算1：基底型基礎(chǔ)

【講題型】

例題1.在AA/C中，BD=DC，AP=PD，且8P=4A8+〃AC,則％+〃=（）

11

A.1B.—C.——D.-1

22

【答案】C

【分析】

3.1-

根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得3P=--A3+-AC,再結(jié)合BP=/IAB+〃AC,求

44

得以4〃的值，即可求解.

【詳解】

由題意在?ASC中，BD=DC,AP=PD，

根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：BP=-BA+-BD=-BA+-BC

2224

=--AB+-（AC-AB\=--AB^-AC,

24、f44

又由BP=%AB+〃AC,所以4=一。,〃=,，所以幺+〃=-3+:=-1.故選：C.

44442

例題2.設(shè)。為.ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，8/）=2￡>C,M為4。的中點(diǎn)，則M5=（）

A.-AB--ACB,-AB--AC

6336

C.—ABH—ACD.—ABH—AC

6336

【答案】A

【分析】

畫出圖形，由平面向量的線性運(yùn)算法則結(jié)合圖形即可得解.

【詳解】

由題意畫出圖形，如圖，

因?yàn)?Z)=2￡>C，M為AO的中點(diǎn),

―?2一—-1一

所以BO=—BC,MA=一一AD,

32

22、7223

二'48-,(4。-48)=348-14。.故選：A.

23、,63

【講技巧】

用已知向量表示某一向量的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，?定要結(jié)合圖形，以羽形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.如首尾相接的若干向量之和，等

「由起始向最的始點(diǎn)指向末尾向最的終點(diǎn)的向策.

【練題型】

1.設(shè)M是AABC邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，若AN=4A8+〃AC,則幾十〃的值

為()

111

A.1B.—C.-D.-

234

【答案】B

【分析】

設(shè)及W=〃C，通過(guò)再利用向量的加減運(yùn)算可得AN=上1AB+gAC，

222

結(jié)合條件即可得解.

【詳解】

設(shè)BM=tBC，

則有

AN=-AM=-(AB+BM}=-AB+-tBC=-AB+-(AC-AB}=—AB+-AC

22、72222、722

又AN=^AB+pAC，

所以，2，有2十/=3+!=上故選B.

t222

u=—

2.已知在.A6c中，點(diǎn)M在邊3c上，且8c=-2。3，點(diǎn)E在邊AC上，且4E=，EC,

2

則向量EM=()

A.-AC+-ABB.-AC-^-AB

2362

C.—ACH—ABD.—AC+—AB

2662

【答案】B

【分析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算得EM=EC+CM，由此可求出答案.

解：:8C=—2cM，AE=-EC,???CM=gcB=：（AB—AC）,EC=^AC,

2

.A..

AEM=EC+CM=-AC+-AB,故選：B.

62

3.已知在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)M、N分別是BC、C。的中點(diǎn)，如果A3=Q，AO=人,

那么向量MN二（)

1-1rI?1rC.J1

A.—a——bB.——a+—bD.—a

222222

【答案】B

【分析】

作出圖形，利用平面向量加法法則可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示:

???點(diǎn)M、N分別是5C、C。的中點(diǎn)，

...肥％="。十。'=!右。十,。。=工人￡＞一』入6=一‘白十,從故選：B.

222222

【題型三】線性運(yùn)算2：雙線交點(diǎn)型

【講題型】

例題.如圖，中，AD=DB,AE=EC,CD與BE交于F,設(shè)/二々，

1AC=b，

AF=xa+yb?貝I（乂刃為（）

【答案】A

【分析】

延長(zhǎng)4b交BC于點(diǎn)M，由于4。=。及AE=EC,C￡＞與既交于尸，可知：點(diǎn)廠是

△A/C的重心，利用三角形里心的性質(zhì)和向量的平?行四邊形法則即可得到答案.

【詳解】

延長(zhǎng)4歹交BC于點(diǎn)M；AD=DB,AE=EC,CD與BE交于

8

—>2-f1T->

點(diǎn)尸是AABC的重心，，AR=—AM,AM——（4B+4C）,

32

—2T21T—I-*-11-->

...Ab=WAM=Wx彳（A8+AC）、（A8+4C）=/-/又v

332333AF=x?a+yb

;故答案選A

例題2.在4Ase中，AD=2DB，BE=2EC，直線CD與AE文于點(diǎn)F,若

AP=mAB+nAC?貝U（W）=（）

（32、（23、（34、

[77；（77）177）

【答案】D

【分析】

由向量三點(diǎn)共線，以及由基底的不同表示，由此能求出〃.

——.—.22—2—1一..0c.

AE=AB+BE=AB+-AC——A8=—AC+—A8。設(shè)”=M￡='AC+士￥"

333333

（s2A2s...2

所以QP=AP-4O=[5-§jA8+§4C,DC=AC-AD=--AB+ACO由o、尸、c共

線，所以。P〃DC

s_22

aaa'62*424

A==AP=-AB+-AC/./?=-,〃=一.故選：D.

_2177777

3

【講技巧】

向量共線定理（兩個(gè)向量之間的關(guān)系）：向量。與非零向量〃共線的充要條件是有且只有一

個(gè)實(shí)數(shù)使得/，=：〃.

變形形式：已知直線/上三點(diǎn)A、B、P,0為直線/外任一點(diǎn)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)；I,

使得：OP=（\-A）OA+AOB.

特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意“〃工0”，否

則尤可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè).證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意

向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；

另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合.

【練題型】

1.4.A〃C中，M、N分別是BC、AC上的點(diǎn)，且BM=2MC,AN=2NC,AM與BN

交于點(diǎn)則下列式子正確的是（）

3—1—1一3

A."=—AB+—ACB.AP=-AB+-AC

4224

C.AP=-AB+-ACD.AP=-AB+-AC

2442

【答案】D

【分析】

MP1--3

作出圖形，連接MV,利用相似三角形計(jì)算得出——=-,進(jìn)而可得由=-結(jié)

AP34

合平面向量的基本定理可得解.

【詳解】

如下圖所示：

PMMN1

/A\PAB,--—=—=-

APBC3

AB+-BC

2

故選：D.

AE=^-AC巫和C。相交于點(diǎn)尸，則向量成等

2.如圖，在ABC中，AD=-ABf

4f

于()

]T3T

B.-AB^-AC

77

1->3T

D.—AB+—AC

1414

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)尸分別作交AC于點(diǎn)M,作小〃AC交A3于點(diǎn)N,由平行線

得出三角形相似，得出線段成比例，結(jié)合AQ=—AB,AE=-AC,證出AM=-4。和

427

T1.

AN”AB,最后由平面向量基本定理和向量的加法法則，即可得檢和公表示成.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸分別作BW//A8交AC于點(diǎn)M，作EN//AC交A3于點(diǎn)N,

-*1一＞|一

已知AD=-A8,AE=—AC,?.?/W//AC，則AWE△ABE和AMb-△ACQ,

42

MF2ME-^-=—

MFMEMFMC

則:——=——且——=——，即：南二Z且"8A。，所以

ABAEADAC

4

二MC

MF_2ME_4，

~AB~AC~AC

33-*

則：MC=8ME,所以4M=」AC,解得：AM=-AC,

77

NFNBNFND

同理EW//AZ?,4NBFAABE和4NFD-/XACD，則：一=—且一=—

AEA-BA’C一A…D

NFNBNFND1

------1

即：1A8且AC1，所以N尸_2_4NO,

—/iC-/\ts——

24ACABAB

則：NB=8ND,即A3-AN=8（A。-AN）,

所以A8—AN=8（；A8—AN）,即48—AV=2AB—8/W,得：AN=；AB,

解得：AN=-AB,???四邊形AWW是平行四邊形，

7

->1->3T

「?由向量加法法則，得而=就+4荒，所以4/=亍48+亍4。.

1..?一

3在4,/WC中，BE=NBA,AD=QAC,BD,CE交于點(diǎn)F,則8/=()

2-112

A.-BA+—BCB.—BA+—BC

3363

C.-BA+-BCD.-BA-i-BC

4363

【答案】D

【分析】民三點(diǎn)共線，BF=2BD，進(jìn)而將3戶用8ABe表示，同理利用CF.E三

點(diǎn)共線，乂將3b用3ABe表示，根據(jù)向量基本定理建立等量關(guān)系，即可求解.

【詳解】由題意可知8O=3A+AO=8A+—AC=BA+*(8C-8A)=-8A+二BC

3333

—;一22—??

???氏￡力三點(diǎn)共線，/.5尸=/l3D=—B4+——8C,C,F,E三點(diǎn)、共線，.?.EF=〃EC,

33

1—//

BF-BE="(BC-BE),BF=〃BC十(1一〃)BE=—^~BA十〃BC,

【題型四】線性運(yùn)算3:“趙爽弦圖”模型

【講題型】

例題1.如圖所示，在八44。中，設(shè)48=凡4。=/2,AP的中點(diǎn)為。，BQ的中點(diǎn)為R,

CR的中點(diǎn)恰為P,則AP=()

2.442-

C.-a+-brD.—a+—b

7777

【答案】C

【分析】

由向量的三角形法則以及向量中點(diǎn)關(guān)系結(jié)合向量的基本定理可表示出AP.

【詳解】如圖，連接5P，則AP=AC+C尸=〃+，①AP=A8+8P=4+RP-R8②

①十②，得2Ap=a+b-R8.③

將④代入③，得2Apnd+b-gjd-gAp),解得AP=2〃+3方.故選c

例題2.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，

后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

形，如圖所示,在“趙爽弦圖"中，若后Z==族=，則晶=()

a+—bD.—a+—b

555

【答案】B

【分析】利用平面向量的加法法則和數(shù)乘向量求解.

【詳解】由題得

->->->T3T->3rTT3r3fT

BF=BC+CF=BC+-EA=BC+-\EB+BA=3C+---------BF+BA

->->3-*-16Tl2T-16->12-

即8E=BC+———BF+BA,解得BF=、BC+——BA,即B/二一a+—〃，

4(4)25252525

故選：B

【練題型】

1.如圖是由等邊AA/E和等邊AKGC構(gòu)成的六角星，圖中的8,D,F,H,J,L均

為三等分點(diǎn)，兩個(gè)等邊三角形的中心均為0.若。4=〃?0C+〃Q/,則'=()

n

【答案】B

【分析】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，8為工軸，04為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為

26，得出點(diǎn)AC/的坐標(biāo)，由向最的運(yùn)算可求得加"7的值，可得答案.

【詳解】

由平行四邊形法則，OA=2OB+OJ=2(OC+O/)+OJ=2OC+3OJ,所以m=2,

〃=3,所以'=一

n3

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，8為X軸，OA為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2石.則等邊三角形的高為

J(26AM)=3,

,9

由D,F,H,J,L均為三等分點(diǎn)，貝ij|O4|=二x3=2.|Q7|=-xJ5所以

3

A((),2),J卜苧,()}c(G,i)

O4=(0,2),OC=("l)

6〃L±^=0[n=3m2

所以〈3，解得《-所以竺故選：B.

[fn=2〃3

m=20i

uuivuuvrv

2.如圖，在AABC中，設(shè)A8=>,AC=/“AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中

點(diǎn)為P>若AP=ma+nb?則〃2+〃=()

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量基本定理及其幾何意義，結(jié)合條件可得"=；4P+2QR及

324

：AP-QR=b,解方程可求得”=即可得到m,n的值，所以得到

結(jié)果._

【詳解】解：由題意可得4P=2QP,Q3=2QR,

vAB=a=AQ+QB=-AP+2QRf①

1

__——-13

AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+—AP-QR=—AP-QR=b,②

22

__74.

由①?解方程求得”=54+三民

77

246

UU?vv/〃=_,〃=_,/〃+〃=一

再由AP=ma+nb可得777.

【題型五】向量基底“象限坐標(biāo)軸”

【講題型】

例題L如圖，QM//AB,點(diǎn)尸由射線OM、線段。8及A8的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不

UL11L1U11111,、

含邊界）.且OP=xO4+），OB，則實(shí)數(shù)對(duì)（尤丁）可以是（）

【答案】A

【分析】

本題可利用平面向量基本定理和平行四邊形法則將四個(gè)答案--代入，然后判斷點(diǎn)P的位置,

排除錯(cuò)誤答案，即可得出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)平面向量基本定理和平行四邊形法則可知：

（1AULK1uirQuiaiuuuQuin

若取一二，二，則0P=——OA+—OB=一AO+—OB,點(diǎn)尸在陰影區(qū)域內(nèi)，A正確；

I44J4444

（17、uimiuir7ulB1皿皿7皿皿

若取一三,三，則OP=--+—。8=—A。+—08,點(diǎn)P在直線43的上方，B錯(cuò)誤；

\55y5555

（11AmuIuirImil1mr1nun

若取二,一:；，則0尸=-04--0區(qū)=一。4+—30.點(diǎn)尸在直線4。的下方，C錯(cuò)誤；

U2）4242

（22、UIM?uur7uin?uuu?uun

若取一；，；，則。夕二一一。4+—。8=—八。+—。8，點(diǎn)尸在射線。加上，D錯(cuò)誤，

I33333

故選：A.

例題2.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量。4=〃，OB=b，其中（3,

1）,b=（1，3）.若0C=入a+Pb,且叱^歹SL那么C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰

影表示正確的是（）

【分析】可以使用特殊點(diǎn)代入排除法，即取值，然后計(jì)算滿足條件點(diǎn)的位置，然后排除到一

定錯(cuò)誤的答案.

【詳解】當(dāng)入一N一1時(shí)，OC=zlaII〃=（4,4）,故可以排除。答案

當(dāng)入=卜1=0時(shí)，0C=2a+〃b=（0,0）,故可以排除8答案

當(dāng)〃=,，時(shí)，0C=/la+〃〃=,4+,h=（―,故可以排除答案4

322362

故選D.

【講技巧】

UUUUUUUU

在平面向量的線性運(yùn)算中，如圖=+X）'的范圍可仿照直角坐標(biāo)系得出.

OA.OB類比于X，）'軸，直角坐標(biāo)系中有四個(gè)象限，類比在（0,04,03）中也有四

x>0x<0x<0

個(gè)象限，如第I象限有《八，第II象限有<C，第III象限有《N<0'第"象限有

y>0y>0

x>0

”0,也可類比得出其中的直線方程,二元一次不等式組表示的平面區(qū)域等等.

【練題型】

1.如圖，在△OW中，點(diǎn)產(chǎn)是線段03及48、A。的延長(zhǎng)線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）

的任意一點(diǎn)，且OP=MM+yO8,則在直角坐標(biāo)平面上，實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）所表示的區(qū)域在

直線y-x=3的右下側(cè)部分的面積是（）

B

A

O

79

A.—B.-C.4D.不能求

22

【答案】A

【分析】由點(diǎn)尸是ill線段06及A3、AO的延長(zhǎng)線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意

UUUIM4IH.IU

一點(diǎn)，作O區(qū)的平行線，壬OP=xOA+），O8中K、y所滿足的不等式表示出來(lái)，然言作

出不等式組所表示的可行域，并計(jì)算出可行域在直線）」X=3的右下側(cè)部分的面積即可.

【詳解】如下圖，過(guò).P悍MN/IOB,交40的延長(zhǎng)線于M,交AB的延長(zhǎng)線于N,

設(shè)0M=〃7A0，MP=nMN，6之0，0<?<1,

innmruniiuurauuiruumuuiruun

則OP=OM+MP=mAO+nMN=mAO+n\AM-AN

uLinuunnum、LILIHUUD

=nAO++m)lzAB-AO\=-mAO+n(\+tn)OB,

x<0x<0

x=-m

所以］〃(1+城得〈

O<n=^-<1所以，y>0

1-xx+”l

x<0

y>（）

作出不等式組｛對(duì)應(yīng)的可行域，如下圖中陰影部分所示,

x+y<1

y-x<3

2.如圖，在AOMN中，A、4分別是0M、QV的中點(diǎn)，若OP=_rOA+），OB（/,ye/?）,

且點(diǎn)P落在四邊形A8NM內(nèi)（含邊界），則高匕的取值范圍是（）

A

P

-12]「13]「13]「12「

A.B.-C.D.—

l_33」|_34j|_44j|_43」

【答案】C

【解析】

分析：利用平面向量的線性運(yùn)算，得出滿足的不等關(guān)系，再利用線性規(guī)劃思想求解.

詳解：由題意，當(dāng)尸在線段上時(shí)，x+y=l,當(dāng)尸點(diǎn)在線段MN上時(shí)，x+y=2,??.

x+y>i

x+y<2y+\_1

當(dāng)P在四邊形ABMW內(nèi)（含邊界）時(shí),又x+），+2-x+1,［，作出

x>0-----十1

y+1

y>0

不等式組（*）表示的可行域，如圖,

k0-（-0=1

x+1表示可行域內(nèi)點(diǎn)《