第06講有理數(shù)的乘方與混合運算(知識點+題型+強化訓(xùn)練)

I目錄

知識梳理

1.乘方的意義2.乘方的運算3.10”的意義4.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)

5.還原用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)6.有理數(shù)混合運算的法則7.“24點”游戲

8利.用計算器進行有理數(shù)的基本運算9.準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)

題型鞏固

，有理數(shù)理的概念理解二、有理數(shù)的乘方運算

三、有理數(shù)乘方逆運算四、乘方運算的符號規(guī)律

五、乘方的應(yīng)用六、用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

七、將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)八、算“24”點

九、含乘方的有理數(shù)混合運算十、程序流程圖與有理數(shù)計算

I計算器一一有理數(shù)十二、求?個數(shù)的近似數(shù)

十三、求近似數(shù)的精確度十四、近似數(shù)推斷取推范圍

強化訓(xùn)練

單選題(10)填空題(8)解答題(8)

知識梳理

知識點L乘方的意義

1.乘方的意義求n個相同因數(shù)a的積的運算叫作乘方，乘方的結(jié)果叫作幕.

”個。

一般地，ax“x…x〃個〃記作an,其中a叫作底數(shù),n回作指數(shù).?！弊x作“a的n次基”(或“a

的n次方”).

2.乘方與乘法的關(guān)系Q"表示n個相同因數(shù)a的積,其中相同的因數(shù)是底數(shù)，因數(shù)的個數(shù)是指數(shù)，因

此，可以把相同因數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為乘方或把乘方轉(zhuǎn)化為乘法.

知識點2.乘方的運算

1.有理數(shù)乘方的符號法則

2.有理數(shù)的乘方運算有理數(shù)的乘方運算同有理數(shù)的乘法運算一樣分兩步走：一是確定結(jié)果的符號；二

是確定結(jié)果的絕對值.

a：-an及（一〃）”的異同點與聯(lián)系

項目

an—an(一〃)"

K同意義不同n個。相乘的積n個〃相乘的積的相反數(shù)n個一。相乘的積

點底數(shù)不同aa-a

相同點指數(shù)都是n

n為正奇數(shù)

-an=（一。）〃，且一“〃，La）〃均與互為相反數(shù)（。W0）

聯(lián)系

n為正偶數(shù)

〃”=（一〃）"，且〃"，（一均與一〃"互為相反數(shù)［a豐0）

n為正整數(shù)

/=一〃"=【一〃)"=0(a=0)

知識點3.10〃的意義

10’表示1后面有n個0的數(shù)，即10//=100---0-

”個0

特別解讀

10”表示n個10相乘的積.

知識點4.用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)

科學(xué)記數(shù)法

一般地，一個大于10的數(shù)可以表示成aX10”的形式，其中1Wa<10,n是正

定義

整數(shù)，這種記數(shù)方法叫作科學(xué)記數(shù)法

確定〃的方將原數(shù)的小數(shù)點移到最高數(shù)位的數(shù)字后邊即可得到a的值

法

確定n的方①用整數(shù)的位數(shù)來確定n,n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.②按小數(shù)點移動的位數(shù)來確定

法n,小數(shù)點向左移動了幾位，n就等于幾

知識點5.還原用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)

還原方法把用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)ax10〃還原成原數(shù)時，只需把a中的小數(shù)點向右移動n位，

并去掉乘號和10”即可，若向右移動的位數(shù)不夠，則用0補足.注意還原時，不要弄錯原數(shù)的位數(shù).

知識點6.有理數(shù)混合運算的法則

1.有理數(shù)的混合運算法則

先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的.

2.有理數(shù)的混合運算需注意的幾個問題

⑴有理數(shù)的運算，加減法是第一級運算；乘除法是第二級運算；乘方是第三級運算.一個式子中含有多級

運算時，先做第三級運算，再做第二級運算，最后做第一級運算，有括號時，先做括號內(nèi)的運算，一般按

照小括號、中括號、大括號的順序進行運算.

⑵靈活運用運算律，改變運鳧順序，可以簡化計算.

知識點7.“24點”游戲

“24點”游戲是這樣進行的：從一副撲克牌（去掉大、小王）中任意抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混

合運算（每張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號），使得運算結(jié)果為24或一24.其中紅色撲克牌代

表負(fù)數(shù)，黑色撲克牌代表正數(shù)，A,J,Q,K分別代表1,11,12,13.由于任意取出的四張牌上的數(shù)

字經(jīng)過什么運算才能得到24或一24具有不確定性，因此大家要靈活運用有理數(shù)的加、減、乘、除、乘

方運算，要多嘗試、多探索.

知識點8.利用計算器進行有理數(shù)的基本運算

1.利用計算器進行有理數(shù)的基本運算

利用計算器進行簡單計算時，遵循“從左到右”的原則進行，即與算式的書寫順序相同，尤其是有理數(shù)的混合

運算，也是從左到右，而無需考慮“先乘方，再乘除，最后加減〃的運算順序.

2.使用訂算器進行簡單運算的步驟與方法

開機

（1）開機：按開機鍵Q,以接通計算器的電源：

（2）輸入：按照算式的書寫順序輸入數(shù)據(jù)，即從左往右依次輸入，最后按Q）鍵顯示計算結(jié)果；

⑶關(guān)機：先按鍵，再按?鍵，關(guān)閉計算器.

知識點9.準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)

1.準(zhǔn)確數(shù)與實際完全相符的數(shù)，稱為準(zhǔn)確數(shù).

【分析】本題考查了有理數(shù)'幕的定義，根據(jù)指數(shù)基的定義進行解答即可.

【詳解】解：m底數(shù)是彳，

2

故答案為：-.

3.概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運算叫做除方，如2+2+2,(-3)-r(-3)v(-3)v

(-3)等.類比有理數(shù)的乘方,我們把2Q2記作2③,讀作“2的圈3次方3(?3)-?3)+(?3)?

(-3)記作(-3)④，讀作“-3的圈4次方〃，一般地，把心氣W(80)記作/，讀作憶的圈〃次方〃.

初步探究

(1)直接寫出計算結(jié)果：2③=_，--=_；

I2J

(2)關(guān)于除方，下列說法錯誤的是一

A.任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；

B.對于任何正整數(shù)〃，1的圈〃次方都等于1:

C.3④=4③

D.負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù).

深入思考：

我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如

何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？

(1)試試：仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成塞的形式.

(-3)的圈4次方=；5的圈5次方=；(-；)的圈6次方=.

(2)想一想：將一個非零有理數(shù)。的圈〃次方寫成轅的形式等于；

(3)算一算：24+23+(-8)x2③.

4

【答案】初步探究(1)~:-8；(2)C；深入思考(1)系，甲，2;(2)n_2；(3)-1.

【知識點】有理數(shù)幕的概念理解

【分析?】理解除方運算，利用除方運算的法則和意義解決初步探究，通過除方的法則，把深入思考的除方

寫成轅的形式解決(1),總結(jié)(1)得到通項(2).根據(jù)法則計算出(3)的結(jié)果.

【詳解】初步探究

解：初步探究

(1)2③=2+2+2」，

2

M+50卜｛|+信卜卜｛|=1+卜升馬卜卜｛|=(-2)+/卜｛|=-8故答案為:-8;

(2)A、任何非零數(shù)的圈2次方就是兩個相同數(shù)相除，所以都等于1；所以選項A正確；

B、因為多少個1相除都是1,所以對于任何正整數(shù)〃，1?都等于1：所以選項B正確：

C、3④=3+3+3+3=]4③=4+4+4=]則3④/4③；所以選項C錯誤：

94

D、負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方，相當(dāng)于奇數(shù)個負(fù)數(shù)相除，則結(jié)果是負(fù)數(shù)：負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方，相當(dāng)于偶數(shù)個負(fù)數(shù)相

除，則結(jié)果是正數(shù).所以詵項D正確：

本題選擇說法錯誤的，故選C；

深入思考

(1)(一3嚴(yán)=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=1x(I)2=1；

5⑤=5+5+5+5+5=143=｝：

=Ix2x2x2x2

=24:

故答案為："，卷，24?

(2)a"=a+a+a...+a=】+a"2=-.

故答案為：.

a

(3)244-23+(-8)x2?

=24+8+(-8)xg

=3-4

=-1.

【點睛】本題考查了新運算，塞的運算.解決問題的關(guān)鍵是掌握新運算的法則，理解新運算的意義.

題型二、有理數(shù)的乘方運算

4.(24-25七年級上?陜西西安?階段練習(xí))下列式子中，正確的是()

A.-102=(-10)x(-10)B.3?=3x2

【答案】C

【知識點】有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

逐一分析各選項的運算是否正確，重點考查乘方運算的符號和計算規(guī)則.

【詳解】解：選項A：-102表示先計算1()2=100,再取負(fù)號，結(jié)果為TOO；而(-10)x(-10)=100,顯然不

等，故A錯誤.

選項B：32=3x3=9,但3x2=6,兩者不等，故B錯誤.

選項C：J?丫表示三個相乘，右邊-4的計算順序不影響結(jié)果，

V2)，\Z)\2)\27o222

同樣為-:，故等式成立，c正確.

O

選項D：2,=8,32=9,兩者不等，故D錯誤.

故選C.

5.(2025七年級上?全國?專題練習(xí))計算：f—1—=;i—?-=;-f——=;--=.

I3jI2jIV5

［容案］更

【口親】98_1--49--5

【知識點】有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)乘方的定義計算即可；

【詳解】解：,中.一)-4；

卜9T

（3丫9

I7；49

224

---=---?

55

故答案為華；磊；~|-

6.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）計算:

⑴IT）、

（2）-34;

⑸?產(chǎn)

【答案】（1）81

（2）-81

（5）1

【知識點】有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

（1）原式直接進行四次方運算即可得到答案；

（2）原式直接進行四次方運算即可得到答案；

（3）原式直接進行立方運算即可得到答案；

（4）原式將分子進行立方運算即可得到答案；

（5）根據(jù)-1的偶次方等于1可得結(jié)果.

【詳解】（1）解:（-3）=34=81；

（2）解：-34=-81;

⑷解：*=T；

(5)解：(-1)2°24=1.

題型三、有理數(shù)乘方逆運算

7.(22?23七年級上?廣東東莞?期中)6?=36,(2創(chuàng)Y=2?32=49=36,由此你能算出*x)

1

A.6B.8D.十分麻煩

.8

【答案】B

【知識點】有理數(shù)乘方逆運算

(1Y3

【分析】先把原式變形為不)1x2\從而得到2x，X23,即可求解.

12,I2

【詳解】解：236xQ

z1、33

=^x-x23

(iY3

=2x—x23

I2)

=Px23

=1x8

=8

故選：B.

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方運算，掌握有理數(shù)乘方的意義是解題的關(guān)鍵.

8.如果一個數(shù)的平方是那么這個數(shù)是

【答案】±|

【知識點】有理數(shù)乘方逆運算

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運算即可求出答案.

【詳解】解：=；,

???這個數(shù)是土;，

故答案為：±g.

【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練運用有理數(shù)的乘方運算，本題屬于基礎(chǔ)題型.

9.觀察下面三行數(shù)：

2,-4,8,-16,32,-64,……；①

-4,2,-10,14,-34,62..........②

1,-2,4,-8,16,.......(3)

⑴用式子表示第①行數(shù)的第20個數(shù)字：:

⑵用式子表示第②行數(shù)的第21個數(shù)字：：

⑶用式子表示第③行數(shù)的第〃個數(shù)字：;

⑷是否存在正整數(shù)〃，取每行的第〃個數(shù)字相加的和為254,若存在，求〃的值，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴-2”

⑵(-2尸-2

⑶且

4

⑷存在，〃=10

【知識點】有理數(shù)乘方逆運算、數(shù)字類規(guī)律探索

【分析】(1)找到規(guī)律：第〃個數(shù)為-(-2『，據(jù)此即可解答；

⑵找到規(guī)律：第〃個數(shù)為(-2)"-2,據(jù)此即可解答；

⑶找到規(guī)律：第〃個數(shù)為(-2)"一2,據(jù)此即可解答；

⑷根據(jù)題意列出方程，即可解答.

【詳解】(1)解：:2,-4,8,-16,32,-64,……，

???第〃個數(shù)為-(-2)",

故用式子表示第①行數(shù)的第20個數(shù)字為：-(-2戶=-2?。，

故答案為：-22°;

(2)解：v-4,2,-10,14,-34.62,......,

「?第〃個數(shù)為(-2)"-2,

故用式子表示第②行數(shù)的第21個數(shù)字為：(-2廣-2,

故答案為：(-2廣-2；

(3)解：----J,1,-2,4,-8,16,....

???第〃個數(shù)為(一2廣,

故答案為：(2)：

4

(4)解：存在；

根據(jù)題意得：一(一2)"十(一2)"-2+匕?-=254，

得-2+^L=254，

4

得(-2)"=256x4=28X22=2,0=(-2)'°,

故片10.

【點;睹】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的變化得出每一行第〃個數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵.

題型四、乘方運算的符號規(guī)律

10.對于任意有理數(shù)4,下列各式不一定成立的是()

A.>0B.a1=(-a)2C.Ia|=|-aID.a'=(-a)3

【答案】D

【知識點】乘方運算的符號規(guī)律

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方及絕對值性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：A./20一定成立，故4選項不符合題意；

B./=(_。)2一定成立，故《選項不符合題意：

C.|。|=|一?|一定成立，故C選項不符合題意;

D./=(-°)3不一定成立，故。選項符合題意.

故選D.

【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方，掌握有理數(shù)的乘方運算的符號法則是解答本題的關(guān)鍵.

11.（23-24七年級上?廣東韶關(guān)?階段練習(xí)）若［++|6-2卜0,則。=,b=.

【答案】2

【知識點】絕對值非負(fù)性、乘方運算的符號規(guī)律

【分析】本題考查了絕對值的非負(fù)性及乘方運算的符號規(guī)律，根據(jù)絕對值的非負(fù)性及乘方的非負(fù)性即可求

解，熟練掌握絕對值的非負(fù)性及乘方運算的符號規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：依題意得：。+<=0,即：。=一?，

22

〃-2=0,即：b=2,

故答案為：二,2.

2

題型五、乘方的應(yīng)用

12.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）若（>?+（2廣1）2=0,則的值是（）

I11

A.-B.1C.-D.-

248

【答案】A

【知識點】乘方的應(yīng)用

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，有理數(shù)的乘方；

根據(jù)偶次方的非負(fù)性求出x=-；,y=再根據(jù)有理數(shù)的乘方法則進行計算即可.

【詳解】解：???（g+x）2+（2y-l）2=0,

+x=0,2y-l=0,

7'

故選:A.

13.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非〃.如

圖，將一個邊長為1的正方形紙片依次分割為若干部分，部分①的面積是:，部分②的面積是:，部分

③的面積是:，…，以此類推，第〃部分的面積是二（〃是大于1的整數(shù)）.請你用“數(shù)形結(jié)合”的思想計算

o2

【答案】14

【知識點】乘方的應(yīng)用

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的應(yīng)用.觀察圖形可知：陰影的部分的面積為那么所求的式子其實

就是正方形的面積減去陰影部分的面積.

【詳解】解：觀察圖形，可得陰影部分的面積=3+:+!+…+￡=1-

故答案為：1-

14.（24-25七年級上?福建莆田?期中）計算機常用二進制來表示字符代碼，它是用。和1兩個數(shù)來表示數(shù)，

滿二進一,例：二進制數(shù)10000轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)：Ix2'+Ox23+Ox22+Ox2i+O=16:其他進制也有類似的

⑴根據(jù)以上信息，將二進制數(shù)"1011〃轉(zhuǎn)化為十進制數(shù).

⑵中國古代《易經(jīng)》一書中記載，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)鼠，即“結(jié)繩記數(shù)如圖，一位婦女在

從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿五進一，用來記錄采集到的野果數(shù)量.請計算采集到的野果數(shù)量.

【答案】⑴11

⑵采集到的野果數(shù)量為327個

【知識點】乘方的應(yīng)用

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的應(yīng)用，解的關(guān)鍵是：

（1）根據(jù)題意寫成1x23+0x22+1x2X1x2°,進而進行計算即可求解:

（2）由于滿五進一，類似于五進制數(shù)，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)為：2X5J+3X52+0X5,+2X5°，進而計算即可求解.

【詳解】（1）解：1011轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)是：

1X23+OX22+1X2'+1X20

=8+04-2+1

=11;

（2）解：由于滿五進一，類似于五進制數(shù)，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)為：

2X53+3X52+0X5'+2X5°

=250+75+0+2

=327.

答：采集到的野果數(shù)量為327個.

題型六、用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

15.（25-26七年級匕全國?課后作業(yè)）原子鐘是以原子的規(guī)則振動為基礎(chǔ)的各種守時裝置的統(tǒng)稱，其中氫脈

澤原子鐘的精度達到了170萬年誤差不超過1s.數(shù)據(jù)170萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）.

A.17x10$B.1.7x10°C.1.7xl07D.0.17xl07

【答案】B

【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】本題考杳了科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握“把一個大于10的數(shù)表示成4X10"的形式，其中1工。＜10,〃是

正整數(shù)”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:170=170x10000=1700000

用科學(xué)記數(shù)法表示為1700000=1.7xlO6

因此，170萬用科學(xué)記數(shù)法表示為1.7x106,

故答案為：B.

16.（24-25七年級上?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?期中）法國奧運會期間，巴黎總計接待訪客數(shù)量約1120萬人次.其

中數(shù)據(jù)1120萬用科學(xué)記數(shù)法表示為

【答案】1.12xl07

【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1＜忖＜10,〃為整數(shù)，

正確確定。的值以及〃的值是解題的關(guān)鍵.根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式即可解答.

【詳解】解：1120萬=11200000=1.12x107.

故答案為：1.12x107.

17.(23-24七年級上?全國?課堂例題)用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

(1)100000000=；

(2)3080000=；

⑶-101075000=.

【答案】⑴1X108

⑵3.08x1()6

(3)-1.01075x10s

【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中1＜忖＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原

數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】(1)100000000=1x108:

故答案為：1x10，；

(2)3080000=3.08xIO6

故答案為：3.08x106；

(3)-101075000=-1.01075xl08

故答案為：-1.01075xl08.

【點睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“xIO。的形式，其中1＜同＜10,?

為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

題型七、將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)

18.(24-25七年級上?全國?課后作業(yè))下列求原數(shù)不正確的是()

A.3.56xIO4=35600B.4.67x106=4670000

C.2xlO7=200D.3x10s=30000

【答案】D

【知識點】將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)

【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法一原數(shù)，科學(xué)記數(shù)法qxlO"表示的數(shù)，"還原”成通常表示的數(shù)，就是把a

的小數(shù)點向右移動〃位所得到的數(shù).逐項判斷即可.

【詳解】解:A、3.56xIO4=35600.故本選項不符合題意;

B、4.67xlO6=4670000,故本選項不符合題怠:

C、2x1()2=200,故本選項不符合題意;

D、3x10s=300000,此項計算不正確，符合題意.

故選：D.

19.(24-25七年級上?全國?課后作業(yè))下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)原來各是什么數(shù)？

lx)06=:-5.78x105=：5.03406xl()4=.

【答案】1000000-57800050340.6

【知識點】將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)

【分析】本題主要考查將科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原，將?個用科學(xué)記數(shù)法axl()"(14d<10)表示的數(shù)還原時,

〃是兒就移動|n|位，是正數(shù)向右移，是負(fù)數(shù)向左移；根據(jù)上步所述，1x10。用小數(shù)表示時，要把小數(shù)點向右

移動6個位置，同理還原其余數(shù).

【詳解】解：1x106=1000000：

-5.78x10s=-578000；

5.03406xlO4=50340.6：

故答案為：1000000；-578000：50340.6.

20.(25-26七年級上?全國?課后作業(yè))把下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的原數(shù)填在橫線上.

(1)3.618x103=.

⑵-2.1x10"=.

⑶-7.123x102=

⑷-8x10$=.

【答案】⑴3668

(2)-21000

(3)-712.3

(4)-800000

【知識點】將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)

【分析】本題考查了的是科學(xué)記數(shù)法的表示方法，解答的關(guān)鍵是理解掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法.

科學(xué)記數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)形式為。xl0"(l引H<10)(n為整數(shù))；數(shù)據(jù)”3.618x1()3"中的。=3.618,指數(shù)n等于3,

所以需要把3.618的數(shù)小數(shù)點向右移動3位，就得到原數(shù)，同理解答其他小題.

【詳解】解：(1)3.6l8xl0J=3618；

(2)-2.1X104=-21000：

(3)-7.123xl02=-712.3；

(4)-8x10s=-800000.

故答案為：（1）3618；（2）-21000；（3）-712.3：（4）-800000.

題型八、算“24”點

21.（24-25七年級上?湖北武漢?開學(xué)考試）下面各組數(shù)中，不能通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24

的是（）

A.1,1,7,7B.2,2,8,8

C.1,1,2,8D.1,1,4,6

【答案】A

【知識點】算"24"點

【分析】本題考查有理數(shù)的四則運算，通過嘗試不同的四則運算組合，判斷每組數(shù)字是否能得到24.

【詳解】解：A、無法通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24；

B、8x（8-2）+2=24,即可以通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24；

C、8x（2+l）xl=24,即可以通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24；

D、4x6x1x1=24,即可以通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24.

故選：A

22.（24-25七年級上?內(nèi)蒙古烏海?階段練習(xí)）請你在2,-3,4,-5,6中任選四個數(shù)，利用有理數(shù)的混合

運算，使得這四個數(shù)的運算結(jié)果為24,請列出2種表達式

【答案】2X[6+（-3）]X4=24,6-2-4x（-5）=24

【知識點】算"24"點

【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握“二十四點''游戲規(guī)則是解本題的關(guān)鍵.任選四個數(shù)，用加

減乘除乘方任意運算連在一起，結(jié)果為24即可.

【詳解】解：2X[6+（-3）]X4=24,

6-2-4x（-5）=24；

故答案為：2X[6+（-3）]X4=24,6-2-4x（-5）=24.

23.（24-25七年級上?廣東佛山?期中）24點游戲是一種使用撲克牌來進行的益智類游戲，游戲內(nèi)容是：從一

副撲克牌（去掉大王、小王剩下52張）中任意抽取4張牌，把牌面上的數(shù)字進行混合運算，使得運算結(jié)果

為24.每張牌必須用一次且只能用一次，可以加括號.其中明?表示正，和?表示負(fù)，4J，。，K分別

代表1,11,12,13.

圖1

圖2

(1)在玩“24點〃游戲時，小明抽到圖1的4張牌，請你幫他寫出2個運算結(jié)果為24的算式:,—

(2)在玩“24點〃游戲時，小剛抽到圖2的4張牌，請你幫他寫出1個運算結(jié)果為24的算式：.

【答案】(1)(-4)x(-6)x(3-2),(-4x2)x(-6+3)(答案不唯一)(2)7x[3—(-3+7)](答案不唯?)

【知識點】算"24〃點

【分析】本題考查了有理數(shù)四則混合運算的應(yīng)用，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)題意可得圖1中的4張牌分別代表+2,+3,-4,-6,再根據(jù)4x6x1=24和-8x(-3)=24列出算式即

可得；

(2)先根據(jù)題意可得圖2中的4張牌分別代表+7,+3,-3,+7,再根據(jù)7x2]4=24列出算式即可得.

【詳解】解：(1)由題意得：圖1中的4張牌分別代表+2,+3,-4,-6,

則運算結(jié)果為24的算式:(-4)x(-6)x(3-2),(-4X2)X(-6+3),

故答案為：(-4)x(-6)x(3—2),(-4x2)x(-6+3)(答案不唯).

(2)由題意得：圖2中的4張牌分別代表+7,+3,-3,+7,

則運算結(jié)果為24的算式：7x[3-(-3+7)],

故答案為：7x[3-(-3+7)](答案不唯-).

題型九、含乘方的有理數(shù)混合運算

24.(24-25七年級下?湖南湘西?階段練習(xí))(-2"))-1+(-21+[(-『知x(0.25)『=()

A.0B.2048-C.-2048-D.1

88

【答案】A

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序.

先計算乘方，然后計算乘除，最后計算加減.

【詳解】(-21。)-卜51+(-2)*[(-1).x(0.25)了

i_y

_嚴(yán)十"+2,0+^-lx

4;

,O

=_2'°_±4.2+-

1616

=0.

故選:A.

25.(24-25七年級上?山東聊城?階段練習(xí))計算T6+(-2)3-22X(-；)結(jié)果應(yīng)是

【答案】4

【知識*】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考杳了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運算法則.先算乘方，再算乘除,

最后算減法即可.

【詳解】解：—16+(—2)3-22、1；

=-16-(-8)-4x

=2+2

=4,

故答案為：4.

26.(23-24七年級上?青海西寧?期中)計算

⑴-4-(-2)+(-5)+8

⑵15、(一/(—4)x(q)+(一15>手

⑶25小鳥卜㈢

⑷(-12)x

43⑵

⑸4+3+昌+￡

(6)(-2)-(5-8)+24+(-3)x]

【答案】⑴1

Q

⑵-%

嗚

(4)2

(5)8

(6)y

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握相關(guān)運算法則，正確的計算是解題的關(guān)鍵:

(1)根據(jù)加減運算法則，進行計算即可；

(2)先進行乘法運算，再進行加減運算即可；

(3)除法變乘法，約分化簡即可；

(4)利用乘法分配律進行計算即可；

(5)利用混合運算法則和運算順序進行計算即可；

(6)利用混合運算法則和運算順序進行計算即可.

【詳解】(1)解：原式=-4+2-5+8=1；

(2)原式=15x(-2)+15x(-l)-4xi

/34\2

=15x-=一二-4x-

\77/9

=-15--

9

(3)原式=25XW(W)=/

(4)原式=(-12)x：一(―12)X；-(-12)x1=314I1=2；

?3

(5)原式=-4—-X—+16=—4—4+16=8；

(6)原式=4—(—3)—8x^=7—=y

題型十、程序流程圖與有理數(shù)計算

27.（24-25七年級上?湖北黃岡?期末）如圖所示是某計算程序，若輸入數(shù)字2,則最后輸出的結(jié)果是（）

/輸入/、?

【答案】A

【知識點】程序流程圖與有理數(shù)計算

【分析】本題考查了有理數(shù)乘法與減法的應(yīng)用，讀懂計算程序圖是解題的關(guān)鍵.將x=2代入程序圖，根據(jù)

有理數(shù)的乘法與減法法則講行計算:，直到計算結(jié)果人?于10即可得.

【詳解】解：輸入x=2時，輸出的結(jié)果為2x4-2=8-2=6<10,

輸入x=6時，輸出的結(jié)果為6x4-2=24—2=22>10,

則最后輸出的結(jié)果是22,

故選:A.

28.（24-25七年級上?福建莆田?階段練習(xí)）按如圖程序計算，如果輸入的數(shù)是-；2，那么輸出的數(shù)

是.

I輸入FTX（-6）H+2（二］）1輸出

【答案】3

【知識點】程序流程圖與有理數(shù)計算

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)的乘法：同號得正，異號得負(fù)，再把絕對值相乘.

根據(jù)有理數(shù)的運算法則，可得答案.

【詳解】解：依題意，-：x（—6）=4,4+2=2,2-（-1）=3,

二?輸出的數(shù)是3,

故答案為：3.

29.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）小亮在電腦上設(shè)計了一個有理數(shù)的運算程序：輸入〃，按"”鍵，再輸

入3,得至U運算a*力=一/一2/一—

⑴求(-2)*；的值：

(2)小明在運算程序計算時，屏幕顯示“該程序無法操作〃，猜想他在輸入數(shù)據(jù)時，可能出現(xiàn)什么情況，為什

么？

【答案】⑴-4：

4

(2卅=0或〃=方

【知識點】程序流程圖與有理數(shù)計算

【分析】本題考查含乘方的有理數(shù)的混合運算，除數(shù)不能為0,掌握有理數(shù)的混合運算法則是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)新定義運算法則結(jié)合有理數(shù)的混合運算法則計算即可

(2)根據(jù)除數(shù)不能為。解答即可.

【詳解】(1)解：(-2)*；

二(-2)2_\)-2x(-2)3-2-y+(-2匕

L2.

1(S、

=4---[2x(-8)-2-2]^--

412,

=4-i-(-16-2-2)x^-|>

=4-*(-20)O

=4---8

4

￡

(2)解：因為分母不能為0,所以當(dāng)6=0時程序無法操作:

因為為除數(shù)，而除數(shù)不能為0,所以當(dāng)〃時，程序無法操作.

所以有兩種可能：力=0或。=力.

題型十一、計算器一一有理數(shù)

30.與下面科學(xué)計算器的按鍵順序?qū)?yīng)的計算任務(wù)是()

rnc丁u丁rnnnkE，亍

A.-1544-5x2B.F*

C.(-15)4-5x2D.(-15)%52

【答案】D

【知識點】計算器一一有理數(shù)

【分析】根據(jù)計算器的使用方法，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得計算任務(wù)是(-15『+5-

故選：D.

【點睛】此題考查了計算器的使用方法，解題的關(guān)鍵是讓問學(xué)們能熟練應(yīng)用計算器，會用科學(xué)計算器進行

計算.

31.使用計算器計算：[12X(Y)-125+(-5)]X(-2)3=.

【答案】184

【知識點】計算器一一有理數(shù)

【分析】按照有理數(shù)的計算法則用計算器求解即可得到答案.

【詳解】解：按照計算順序可得結(jié)果為184.

故答案為：184.

【點睛】本題主要考查了計算器的使用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握計算器的使用方法.

32.用計算器計算：

2

(1)(3.2-4.5)X32-±；

5

(2)[3x(-2》+1卜卜■!).

【答案】(1)-12.1；(2)坐

6

【知識點】計算器一一有理數(shù)

【分析】(1)依據(jù)數(shù)值依次按鍵輸入即可計算得到答案：

(2)依據(jù)數(shù)值依次按鍵輸入即可計算得到答案.

【詳解】解：(1)按鍵順序為

mSQEQEaiZEDZlELIlIZ]

1o1.________7

梟為一1萬，可以按三函切換為小數(shù)格式T2L所以32-4.5)x32—：=—12.1.

(2)按鍵順序為

mDJIZICIlElELllJiEZlECIlDJEZ]

d日回回區(qū)RM

計算器顯示結(jié)果為乎.

【點睛】此題考查計算器輸入方法，利用計算謂計算的輸入順序，正確掌握輸入計算器的順序及各鍵的功

能是解題的關(guān)鍵.

題型十二、求一個數(shù)的近似數(shù)

33.（24-25七年級上糊北宜昌,期末）小華稱得一個物體的質(zhì)量為2.108kg,用四舍五入法將2.108精確到

0.01的近似數(shù)為（）

A.2B.2.10C.2.1D.2.11

【答案】D

【知識點】求一個數(shù)的近似數(shù)

【分析】本題主要考查有效數(shù)字.對千分位數(shù)字8,四舍五人即可.

【詳解】解:用四舍五入法將2.1。8精確到0.01的近似值為2.11,

故選：D.

34.（24-25七年級上?廣東韶關(guān)?期中）近似數(shù)表示3.567S（精確到0.01）；

【答案】3.57

【知識點】求一個數(shù)的近似數(shù)、求近似數(shù)的精確度

【分析】本題考查了近似數(shù)的精確取值，解題的關(guān)鍵是掌握四舍五入法取近似數(shù)的規(guī)則.

要將3.5671精確到0.01,即保留兩位小數(shù)，需看千分位上的數(shù)字，根據(jù)四舍五入法進行取舍.

【詳解】解：精確到0.01,也就是保留小數(shù)點后兩位.此時看小數(shù)點后第三位數(shù)字，3.5671小數(shù)點后笫三

位是7,

根據(jù)四舍五入法：如果尾數(shù)的最高位數(shù)字是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去并且在它的前一位進"1”,

所以3.5671精確到0.01時，因為千分位7>5,則把百分位的6進。變?yōu)?,得到3.57,即3.567陵3.57（精

確到。01）,

故答案為：3.57.

35.（25-26七年級上?全國?課后作業(yè)）用四舍五入法對下列各數(shù)取近似數(shù)：

（1）0.00457（精確到0.0001）；

（2）566.1235（精確到個位）；

（3）3.8963（精確到0.01）：

（4）0.0571（精確到千分位）.

【答案】⑴0.0046

（2）566

⑶3.90

⑷0.057

【知識點】求一個數(shù)的近似數(shù)

【分析】本題考查了近似數(shù)的精確度，近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.

（1）直接對十萬分位上的數(shù)字7進行四舍五入即可；

（2）直接對十分位上的數(shù)字1進行四舍五入即可；

（3）直接對千分位上的數(shù)字6進行四舍五入即可；

（4）直接對萬分位上的數(shù)字1進行四舍五入即可.

【詳解】（1）解：0.00457?0.0046（精確到0.0001）.

（2）解：566.1235=566（精確到個位）。

（3）解：3.8963?3.90（精確到0.01

（4）解：0.0571?0.057（精確到千分位）。

題型十三、求近似數(shù)的精確度

36.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）下面所描述的數(shù)據(jù)中，不屬于近似數(shù)的是（）

A.小明班上有45人

B.吐魯番盆地低于海平面155m

C.某次地震中，傷亡大約十萬人

D.小紅測得數(shù)學(xué)書的長度為21.0cm

【答案】C

【知識點】求近似數(shù)的精確度

【分析】本題主要考查近似數(shù)和精確數(shù)，根據(jù)近似數(shù)和精確數(shù)的概念求解即可.

【詳解】解：A、小明班上有45人，是精確數(shù)據(jù)，符合題意；

B、吐魯番盆地低于海平面155m,是近似數(shù)，不符合題意；

C、某次地震中，傷亡大約十萬人，是近似數(shù)，不符合題意；

D、小紅測得數(shù)學(xué)書的長度為21.0cm,是近似數(shù)，不符合題意；

故選：A.

37.（24-25七年級上?廣東廣州?階段練習(xí)）下列說法：①近似數(shù)5千與近似數(shù)5000精確度相同；②近似數(shù)1.6

與近似數(shù)1.60的精確度相同；③近似數(shù)L30萬與近似數(shù)1.30x10,的精確度相同.其中正確的是（填寫

序號）.

【答案】③

【知識點】求近似數(shù)的精確度

【分析】本題考查了近似數(shù)，近似數(shù)精確到哪一位，看末位數(shù)字實際在哪一位即可，掌握近似數(shù)的有關(guān)知

識是解題的關(guān)鍵.據(jù)此逐個判斷即可.

【詳解】解：①近似數(shù)5千精確到千位，近似數(shù)5000的精確到個位，故錯誤；

②近似數(shù)1.6精確到十分位，近似數(shù)1.60精確到百分位，故錯誤；

③近似數(shù)L30萬精確到百位,近似數(shù)1.30x10,精確到百位,即近似數(shù)1.30萬與近似數(shù)1.30x10」的精確度相同,

故正確：

故答案為：③.

38.下面表述中的數(shù)據(jù)，哪些是準(zhǔn)確數(shù)？哪些是近似數(shù)？

⑴實驗室里有18盞日光燈；

（2）某人的身高是168厘米：

⑶多媒體教室共有45臺電腦；

⑷世界著名海峽馬六甲海峽長1080千米.

【答案】（1）準(zhǔn)確數(shù)

（2）近似數(shù)

⑶準(zhǔn)確數(shù)

⑷近似數(shù)

【知識點】求近似數(shù)的精確度

【分析】根據(jù)近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)的定義進行判斷即可.

【詳解】（1）解：實驗室里有18盞口光燈，18是準(zhǔn)確數(shù).

（2）解：某人的身高是168厘米，其中168厘米是近似數(shù).

（3）解：多媒體教室共有45臺電腦，其中45是準(zhǔn)確數(shù).

（4）解：世界著名海峽馬六甲海峽長1080千米，其中1080千米是近似數(shù).

【點睛】此題主要考杳對近似數(shù)和精確數(shù)的概念的理解，注意它們的區(qū)別，準(zhǔn)確數(shù)就是真實準(zhǔn)確的數(shù)，而

近似數(shù)就是與準(zhǔn)確數(shù)相接近，通過估計得到的數(shù).

題型十四、近似數(shù)推斷取值范圍

39.（24-25七年級上?全國?單元測試）把數(shù)。精確到百分位得到的近似數(shù)是5.88,則下列不可能是〃的值的

是（）

A.5.878B.5.883C.5.889D.5.875

【答案】C

【知識點】近似數(shù)推斷取值范圍

【分析】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，先根據(jù)近似數(shù)的精確度得到5.875<5.885,然后分別進行判斷.

【詳解】??%精確到百分位得到的近似數(shù)是5.88,

:.5.875<?<5.885.

故選：C.

40.（23-24七年級上?湖北黃石?階段練習(xí)）近似數(shù)3.4的準(zhǔn)確值Q的取值范圍是.

【答案】3.354。<3.45

【知識點】近似數(shù)推斷取值范圍

【分析】根據(jù)近似數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】解：由題可知3.354a<3.45時,近似數(shù)是3.4.

故答案為:3.35<a<3.45.

【點睛】本題主要考查了近似數(shù)的知識點，準(zhǔn)確理解四舍五入是解題的關(guān)犍.

41.對非負(fù)有理數(shù)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為Vx>.例如：V0>=V0.48>=0,<0.64>=<1.493

>=1,<18.75>=<19.499>=19,....解決下列問題：

（1）Vjo[>=_（乃為圓周率）；

（2）若V*>=6,則x的取值范圍是

【答案】（1）3；（2）5.5眾<6.5

【知識點】近似數(shù)推斷取值范圍

【詳解】【分析】（1）利用近似數(shù)的精確度和新定義求解；

（2）利用近似數(shù)的精確度按5VxV6,但x的小數(shù)部分大于等于0.5；6<x<7,但x的小數(shù)部分小于0.5

兩種情況分析求解?.

（1）兀=3.1415…

VC.1415...<0,5,

/.<R>=3,

故答案為：3；

（2）若Vx>=6,

①當(dāng)5VxV6,但X的小數(shù)部分大于等于0.5時,即X25.5,

②當(dāng)6VxV7,但x的小數(shù)部分小于0.5時，即x<6.5,

:?x的取值范圍是5.5<x<6.5,

故答案為：5.5<x<6.5.

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.用四舍五入法按要求對0.05049分別取近似值，其中錯誤的是（）

A.0.1（精確到0.1）B.0.05（精確到百分位）

C.0.051（精確到千分位）D.0.050（精確到0.001）

【答案】C

【知識點】求近似數(shù)的精確度、求一個數(shù)的近似數(shù)

【分析】本題考查了近似數(shù)：“精確到第幾位”是精確度常用的表示形式，它可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小.

根據(jù)近以數(shù)的精確度對各選項進行判斷.

【詳解】A.0.05049*0.1（精確至U0.1）,所以A選項正確，不符合題意；

B.0.05049%0.05（精確到百分位），所以B選項正確，不符合題意；

C.0.05049。0.050（精確到千分位），所以C選項不正確，符合題意；

D.0.05049之0.050（精確到0.001）,所以D選項正確，不符合題意;

故選C.

2.科學(xué)計算器的按鍵順序如下，則計算器輸出的結(jié)果是（）

A.-3.94B.-14C.-1.06D.-3.7

【答案】A

【知識點】計算器一一有理數(shù)

【分析】本題主要考查科學(xué)計算器的使用，根據(jù)計算器的按鍵順序，寫出計算的式子，然后求值即可.

【詳解】解：用計算器計算3x（-3）-IT得-3.94.

故選：A.

3.小勤設(shè)計了一個計算程序（如圖），如果輸入的數(shù)是4,那么輸出的結(jié)果是（)

A.—6B.6C.—9D.9

【答案】D

【知識點】程序流程圖與有理數(shù)計算

【分析【本題考查了有理數(shù)運算，根據(jù)程序，當(dāng)計算的結(jié)果小于或等于0時，要將結(jié)果再輸入，直到結(jié)果

大于。才可以輸出結(jié)果.

【詳解】解：由題意得4X(-3)+2=-6,

-6<0,

-6x(-3)-2=9,

9>0,

輸出結(jié)果為9

故選：D.

4.計算：(-3)2.(-；卜(-2)的結(jié)果是()

A.9B.-9C.-36D.36

【答案】D

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，先算乘方，并把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再算乘法即可.

［詳解］解：(—2)

=9x(-2)x(-2)

=36

故選D.

5.據(jù)商務(wù)部消息，2025年以來，電動自行車以舊換新取得積極成效.截至3月11日，今年全國電動自行

車售I日、換新各166.4萬輛，超過2024年總和.數(shù)據(jù)166.4萬用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.166.4xl04B.0.1664xl07C.1.664xl(『D.1.664x1()"

【答案】D

【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】此題考查了科學(xué)