上海市進才中學(xué)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期第一次階段測試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.用描述法表示被3除余2的整數(shù)集為.

2.若全集。={幻4<3}4={川<]<3},則4/=.

3.用列舉法表示方程組：的解集

[x+),=4

4.已知匕為常數(shù),若的解集是(—=,2),則加+。>0的解集是.

5.滿足條件{?耳"口{a,〃,c,d,e}的集合用的個數(shù)是

6.已知3x+2KO,B：x<a，若。是夕的充分條件，則滿足條件的最小的整數(shù)。

為-

7.集合A={X(a-l)Y+3x-3=O}有且僅有兩個子集，則實數(shù)。=.

8.已知關(guān)于x的方程/+依+3。=0的兩個實根為占、與，+內(nèi)石二一9,則實數(shù)”.

9.已知集合9=例/-2工-320},5=何/-3好+2，〈0卜若Afl5=5,則實數(shù)”的取值

范圍是.

10.向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之

三，其余的不贊成；贊成B的比贊成A的多3人，其余H勺不贊成；另外，對A,8都不贊成

的學(xué)生數(shù)比對A,4都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人，問對4,3都贊成的學(xué)生和都不贊

成的學(xué)生各有人.

11.若集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合8qA,且4中有四個元素，則元素和能被3整除

的集合8的個數(shù)為.

12.已知關(guān)于x的不等式3x+4K〃，其中。且公bwR,若該不等式的解集恰好

4

為力],則b-a=

二、單選題

13.已知〃、b、CGR,那么下列命題中正確的是（）

B.若人>2,貝lja>/?

A.若ac>be,則”>b

cc

C.若a'>力,則D.若則

14.命題“對任意x￡R,都有x2XT的否定為（）

A.對任意x￡R,都有x2<0B.不存在x￡R,都有x2<0

C.存在xo￡R,使得xo2^）D.存在xD￡R,使得x（）2V0

15.一元二次方程翻2+歷+。=0有解是一元二次不等式ad+法+c>0有解的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

16.設(shè)。、b、。是兩個兩兩不相等的正整數(shù).若

2

++1）\（?I2））（HCN+）,則I-〃2十。2的最小值是（）

A.2007B.1949C.1297D,1000

三、解答題

17.（1）設(shè)〃?，〃為實數(shù)，比較〃『+，『與6/〃一4〃一13的值的大小；

（2）設(shè)全集為R,已知集合A=x40.，B={x\X2-32<0},求

3x-5X+

18.已知集合4=[1,7].

（1）設(shè)集合4={），|），=x2-6x+i2,xeR},求4U8；

⑵已知，”eR,設(shè)集合。={乂2〃葉1工工工3m+4},若AcC=C,求利的取值范圍.

19.在解決實際問題時，往往會有不同的思路和方法，這些方法有些正確，有些錯誤；有些

簡潔，有些復(fù)雜.

問題①：設(shè)aeR,集合股={H（kl）（xi）=O},若xeM是X￡{1,2,3}的充分條件，求：

。的取值集合.

問題②：設(shè)xwZ,a=x+3力=18—x,若cwZ,求證和c一方至少有一個數(shù)是奇數(shù)

⑴小明在解決問題①，他認為原問題等價于{1M}RL2,3},解得。的取值集合為{2,3},張

老師判斷小明解題錯誤，請計算正確的〃的取值集合；

試卷第2頁，共3頁

(2)小紅認為既然cwZ,只需根據(jù)。是奇數(shù)還是偶數(shù)，分類討論即可；小華則認為可以使用

反證法解決問題，請你選一種你認為更好的方法并證明.

20.定義區(qū)間(〃?,〃)、上小、(6,〃]、在小〃)的長度均為〃-，其中心m.

⑴求不等式—2_2x+8>0的解集區(qū)間的長度；

(2)如果數(shù)集人=a-^a,B=b,b+g都是集合[0,1]的子集，那么集合AcB,4〃的

長度的最小值和最大值分別是多少？

(3)已知不等式組；二:1一:~2、八的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和等于6,求實數(shù)攵的范圍.

2x~-1l,tr+15K">0

21.符號國表示不大于x的最大整數(shù)(xeR),例如：[L3]=l,[2]=2,[-1.2]=-2.

⑴解下列兩個方程：3=3,[2司=—3；

(2)分別研究當(dāng)x>0,x<0時，不等式[才《/〈(區(qū)+[)2是否成立，并說明理由；

⑶求方程4/一40國+51=0的實數(shù)解.

《上海市進才中學(xué)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期第一次階段測試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號13141516

答案CDDC

1.{X|X=3〃+2,〃EZ}

【分析】由描述法的格式寫出集合：集合中元素即為3H勺整數(shù)倍再加2.

【詳解】由題意知，要求集合中元素即為3的整數(shù)倍再加2,可表示為{x|x=3〃+2,〃cZ}.

故答案為：{x|x=3〃+2,〃wZ}.

2.{x|x<l}

【分析】根據(jù)集合的補集運算求解.

【詳解】\'U={x\x<3}.A={x\\<x<3}

^/4={x|x<l}

故答案為：

3.{(31)}

【分析】解方程組，并用列舉法表示點的集合.

【詳解】解方程組《.，得《故方程組解的集合為：{(3,1)}.

故答案為：{(31)}

4.(-；,+*

【分析】由不等式的解集可得。>0且人=2〃，代入不等式樂+。>0中求解即可.

【詳解】由題意，不等式，a<人解得x<2,???。>0,3=2,即〃=2a>0,

則〃x+4>()即2x+l>0,解得所以解集為(一!，+8

21z

故答案為：信司

5.7

【分析】用列舉法，直接寫出滿足條件的集合“，即可得出結(jié)果.

【詳解】滿足條件{4力}Mq{，也c,d,e}的集合M有：

答案第1頁，共10頁

{a,b,c},{a,b,d},{〃,/?,],\a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},\a,b,c,d,e).

共7個.

故答案為：7.

【點睛】本題主要由集合的包含關(guān)系確定集合的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.

6.3

【解析】首先解一元二次不等式求出。，由a是4的充分條件，所以U，2]q(fM),卻可

求出參數(shù)的取值范圍，從而得解；

【詳解】解：因為3X+240,所以a:l<x<2,因為尸:x<a,且。是尸的充分條件，

所以[l,2]q(e,a),所以。>2,所以滿足條件的最小的整數(shù)。為3

故答案為：3

【點睛】本撅考杳充分條件求參數(shù)的取值范I韋I,屬于某礎(chǔ)撅.

7.1或!

4

【分析】根據(jù)集合有且僅有兩個子集確定集合元素個數(shù)，分類討論求得〃的值.

【詳解】集合A={玳。-1)丁+31-3=0}中有且僅有一個元素，

即方程3=0有且僅有一個根.

當(dāng)〃=1時，方程有一根％=1符合要求；

2

當(dāng)awl時，A=3-4X(6/-1)X(-3)=0,解得〃=

故滿足要求的〃的值為1或

故答案為：1或;

4

8.-y/3

x,+x.=-a

【解析】根據(jù)韋達定理得到f12,帶入式子計算得到答案.

xix2=3a

【詳解】方程/+公+34=0的兩個實根，則△=〃2一]20之0,則或a<0,=”,

則片w+苔宕=%W(X]+W)=—3a2=—9,解得或a=G(舍去).

故答案為；-6.

答案第2頁，共10頁

【點睛】本題考查了二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，沒有

排除多余解是容易發(fā)生的錯誤.

9.(YO,T]U{O}U[3,X).

【分析】由題意可得集合A以及兩集合之間的包含關(guān)系，分情況討論區(qū)的解集，建立不等式

得解.

【詳解】由=3可得SjA,

又A={小2-2x-32O}={x|(x-3)(x+1)>0}=(-雙-1]"3,+8),

B={x[(x-a)(x-2a)<0},

所以當(dāng)avO時，A=(2aM,所以aW-l：

當(dāng)a=0時，3=0,滿足BgA；

當(dāng)〃>0時，8=(“,2〃)，所以。之3：

綜上，實數(shù)。的取值范圍是(-8,-i]U{o}U[3,y).

故答案為：(YO,—l]U{0}U[3,s).

10.21和8

【分析】設(shè)對事件A、8都贊成的學(xué)生人數(shù)為羽利用Venn圖列方程求解x即可.

3

【詳解】贊成4的人數(shù)為50xg=30,贊成8的人數(shù)為30+3=33,

記50名學(xué)生組成的集合為U,贊成事件A的學(xué)生全體為集合“，贊成事件8的學(xué)生全體為

集合N,

Y

設(shè)對事件A、8都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、8都不贊成的人數(shù)為鼻+1,贊成A而不贊

成8的人數(shù)為30-x,贊成A而不贊成A的人數(shù)為33--作出Venn圖如下所示，

依題意可得(30-月+(337)+X+忖+1卜50,解得x=2l,

所以對A、3都贊成的學(xué)生有21人，都不贊成的有8人.

故答案為：21和8

答案第3頁，共10頁

II.42

【分析】根據(jù)題意結(jié)合子集的概念分析求解.

【詳解】把集合A中按元素除以3的余數(shù)分成三個集合C={1,4,7},。={2,5,8},5={3,6,9},

則集合8有如下可能：

由C中的所有元素和E一個元素組成，則有3個；

由。中的所有元素和E一個元素組成，則有3個；

由C中的兩個元素和D中的兩個元素組成，

C中的兩個元素有三種可能:{1,4},{1,7},{4,7}

。中的兩個元素有三種可能：{2,5},{2,8},{5,8}

則有3x3=9個

由C中的一個元素、。中的一個元素和用的兩個元素組成，

E中的兩個元素有三種可能：{3,6},{3,9},{6,9}

則有3x3x3=27個

所以集合3的個數(shù)為3+3+9+27=42

故答案為：42

12.4

【分析】利用二次函數(shù)的對稱性，結(jié)合值域和定義域相同，可得到x==通過求解參

數(shù)，再進行檢驗，即可得出結(jié)果.

【詳解】由二次函數(shù))，=%2-31+4=：，一4丹4)+1=1&-2)2+1,所以%訪=1,

因為。>1,不等式力的解集一定是兩個區(qū)間，而不是一個區(qū)間，

所以於1,

而當(dāng)“S1時，因為二次函數(shù)關(guān)丁4=2對稱，

所以不等式的解集以切中的端點值滿足。+〃=4,

此時有X="y=力，代入得力=彳/-3b+4=3//—16〃+16=0=(3。-4)僅—4)=0,

4

解得，=,或〃=4,

484

當(dāng)人=4時，。=4一力=4>I與avl矛盾，故舍去人=鼻；

JJJ

當(dāng)〃=4時，々=4-0=。，止匕時滿足題怠，即。一。=4；

答案第4頁，共10頁

故答案為：4.

13.C

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及特例法即可作出判斷.

【詳解】對于A,若ac>hc,c<0,則故A錯誤；

對于B,若色>2,貝故B錯誤；

cc

對于C,若a'-/=(a-b)[a，+ab+b,=(a-b)+~^~>0，此時("g)+號->°，:.

a>b,故C正確；

對于D,若〃取。=一3,。=-2,則"〃，故D錯誤.

故選：C.

14.D

【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，

所以命題“對任意x￡R,都有命緲'的否定為.存在xoER,使得xo2〈O.

故選D.

15.D

【分析】根據(jù)充要條件、必要條件的定義判斷即可；

【詳解】解：對于方程公?+/?+c=0,當(dāng)一，方程有解，此時樂+c>0

4<0

的解集為空集，故充分性不成立；

A=/?2—4。。<0

若對于加+法+。>0當(dāng)<.時不等式的解集為R,此時方程加+/zr+c=O無解,

//>0

故必要性也不成立，

故一元二次方程加+bx+c=O有解是一元二次不等式加+法+c>0有解的既非充分又非

必要條件

故選：D

【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

16.C

【詳解】不妨設(shè)4>0>c,則〃+8>c+a>A+c.

答案第5頁，共10頁

因為（〃+/）+（6+。）+（。+〃）=2（幻+/+。）為偶數(shù),所以〃:、（〃+1）2、（〃+2）2必為兩奇一偶,

從而，〃為奇數(shù).

又因為〃+c>l,所以〃為不小于3的奇數(shù).

若〃=3.則{a+Ab+c,c+a}={32,42,52}.故4+6+0=((32+42+52)=52,Ra+b=52.

所以c=0,不符合要求.

若〃=5,則{4+〃,力+。,。+。}=付⑹〃2}.

a+b=72,a=30,

故'c+a=62,解得，b=19,

b+c=52.c=6.

此時，〃+/+。2=1297?

17.(1)rn2+n2>(jrn—4/t—13;(2)AryBx\<x<

3

【分析】（I）利用作差法與配方法，即可判斷兩者的大?。?/p>

（2）先解分式不等式得到集合A,再解二次不等式得到集合8,進而利用集合的交并補運

算法則及數(shù)軸法，即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）依題意，得

//+—（6"?-4/7-13）=nr-6m+〃2+4〃+13=nr-6rn+9+〃？+4〃+4

=(〃L31+5+2『NO,

故m~+n~>—4〃-13.

r—4(x-4)(3x-5)<0

⑵由得解得

3?5。0J

5-5.

故A=Jx§vx?4/貝I」4=Jxx?3或x>4}：

由x?-3x+2v0,得(x-l)(x-2)<0,解得l<x<2,

故8={x[l<x<2}；

_5

Ac8=〈x1<x<->.

3

答案第6頁，共10頁

18.⑴口收）

（2）（-oo,-3）U[0J]

【分析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合8,再求并集即可；

（2）分CW0和C=0時，由CqA列不等式（組）求解即可；

【詳解】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)可得），=f-6X+12=（X-3『+323,

所以集合8={y|yN3},又4=口,7],

所以Au3=[l,+co）.

（2）因為AcC=C,所以CqA,

所以當(dāng)C=0時，2〃?+1>3/〃+4,即〃?<一3,

l<2/n+l

當(dāng)CH0時，，3〃?+4K7,解得03〃41,

2/n+i<3//i+4

所以加的取值范圍為（—>=3）U[O』.

19.⑴{123}

⑵反證法，證明見解析?.

【分析】（I）分別討論。=1和awl兩種情況卜的集合M，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

即可.

（2）利用反證法證明即可.

【詳解】⑴根據(jù)題意可知，當(dāng)a=l時，集合2=卜|（1）2=。}={1},

此時xeM=>xe{1,2,3},即xwM是xe{1,2,3}的充分條件.

當(dāng)"I時，集合M={x|（x-l）（x-a）=O}={l.a},

因為xeM是x?123}的充分條件，即{1,4仁{1,2,3}.

所以此時〃=2或。=3

綜上”的取值集合為{1,2,3}.

（2）利用反證法證明.

假設(shè)c-a,c-b均為偶數(shù)，則（c一4）一（°一〃）=〃一"為偶數(shù).

答案第7頁，共10頁

因為j=18-1-1-3=15-右為奇數(shù)，

與人-。為偶數(shù)相矛盾，所以原假設(shè)不成立.

故C-4,〃至少有一個數(shù)是奇數(shù).

20.(1)6

⑵AC4長度的最大值為：，最小值為:；4U8長度的最大值為1,最小值為。;

366

⑶用喑依)

【分析】(I)解一元二次不等式即可得到答案；

(2)由A,"得到A,月的長度，結(jié)合A,8都是集合［0』的子集即可求解；

(3)設(shè)2/—11依+15公20的解集為C,由于342犬—14工+7的解集為［2,8］,長度為6,結(jié)

合題意可得［2,8］qC,然后分攵=0,女>0和ZvO討論2/-11履+15公之0的解集情況，列

出不等式即可求解

【詳解】(I)由一/一21+8>0得-4<x<2,

所以_/_2工+8>0的解集為(-4,2),故解集區(qū)間的長度為2-(-4)=6；

(2)由4+可得到人的長度為3,4的長度為!，

因為A,8都是集合［0』的子集，

所以AcB長度的最大值為:，最小值為：+!-1=)；

3636

AU8長度的最大值為1,最小值為之：

6

(3)由342x—l<x+7即3<<2x一］『得24x48,此不等式解集長度為6,

2x-l<x+7

3<2x-\<x+7

又不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和等于6.

2x2-\\k.x+\5k2>0

設(shè)2/_13+15小20的解集為C,則[2,8仁C,

由2/一11點+15-20得(2x-5A)(x-3〃)2。，

當(dāng)攵=0時，C=R,[2,8]qC顯然成立；

當(dāng)A>0時，C=-8苦]U",+00),