1 1 1 2 3 3 大限度“發(fā)光發(fā)熱”,讓學(xué)生真實(shí)感受到存在的價(jià)值與意義，才能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生1.1數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用于不等式教學(xué)存在的問(wèn)題1.1.1教師滲透方面的問(wèn)題通過(guò)對(duì)教師在不等式教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法問(wèn)卷的調(diào)查以及學(xué)生問(wèn)卷調(diào)(1)教師個(gè)人理念的缺失，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視程度不夠社，2018.于教師注重技巧教學(xué)，一種技巧可以解決同一類(lèi)型的題目。因此學(xué)生也會(huì)偏重于練題、刷題，在一定程度上追求“題海戰(zhàn)術(shù)”,認(rèn)為只需要明白課本中的定義定理即可，缺乏對(duì)課本和習(xí)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法領(lǐng)悟和體會(huì)。(3)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能掌握不透徹盡管數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的本質(zhì)和靈魂，可是如果學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題會(huì)更加困難，而且很難發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。(4)學(xué)生缺乏良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣多數(shù)學(xué)生沒(méi)有養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的掌握是逐漸積累的結(jié)果，在不等式學(xué)習(xí)中要自覺(jué)對(duì)問(wèn)題或者知識(shí)點(diǎn)中蘊(yùn)含的思想方法進(jìn)行回顧總結(jié)，形成自己結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的理論體系。1.2.1對(duì)教師的建議(一)更新教學(xué)觀念，重視數(shù)學(xué)思想方法滲透中華人民共和國(guó)教育部發(fā)行的《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中明確提出：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。要求學(xué)生通過(guò)生活實(shí)例或自主探索活動(dòng)，掌握概念、定理等知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。由此可見(jiàn)，課標(biāo)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提出明確具體的目標(biāo)，鼓勵(lì)教師注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思想方法透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，直接找到問(wèn)題的根源。通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)考試的重心已經(jīng)有所轉(zhuǎn)移，學(xué)生不再需要將注意力過(guò)多的放在技巧解題、套用公式定理和機(jī)械式的計(jì)算上面，其核心側(cè)重點(diǎn)開(kāi)始轉(zhuǎn)向?qū)χR(shí)的理解性應(yīng)用和數(shù)學(xué)能力的考查。學(xué)生需要巧妙結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和題目所給信息，借助于數(shù)學(xué)思想方法求解問(wèn)題，得出結(jié)論。在高中階段，數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)比較多、難度較大，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到理解或應(yīng)用方面的困難，這對(duì)其學(xué)習(xí)效果大打折扣。為了改進(jìn)這樣的局面，在教學(xué)實(shí)踐中教師要努力鉆研，力求打破傳統(tǒng)課堂教學(xué)的局限性，注重對(duì)思想方法的研究增強(qiáng)教學(xué)的實(shí)效性和思想方法的應(yīng)用性，為教學(xué)活動(dòng)的有效開(kāi)展助力。教師要更新教學(xué)觀念，可以嘗試多樣的教學(xué)方法和模式，使數(shù)學(xué)思想方法和不等式有機(jī)融合在一起，將籠統(tǒng)抽象的數(shù)學(xué)思想方法變得直觀具體，打消學(xué)生對(duì)(二)借助數(shù)學(xué)文化，驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)利于學(xué)生形成嚴(yán)密的邏輯思維能力，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展2。數(shù)學(xué)文化對(duì)不等式案例1:借助趙爽弦圖證明基本不等式圖(圖6-1)中找到哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?(重現(xiàn)趙爽弦圖，喚醒學(xué)生記2楊進(jìn)霞，梁志鵬，劉博瑞.AStudyofEmbeddingMathematicalCultureinAdMathematicsTeaching[J].創(chuàng)新教育研究，2020,08(05):660-664.師：很好，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a2+b2=2ab,我們通過(guò)幾何法再一次證明了基本不等式及其成立條件(圖6-2)。C設(shè)計(jì)意圖：教師通過(guò)不斷對(duì)圖中幾何性質(zhì)向?qū)W生進(jìn)行提問(wèn)，激活學(xué)生頭腦中的原有信息，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本不等式性質(zhì)的思考和深度探究，領(lǐng)悟幾何和代數(shù)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化機(jī)制，感受數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值和內(nèi)涵，達(dá)到潛移默化的學(xué)習(xí)效果。將趙爽弦圖引入基本不等式教學(xué)，不僅可以為學(xué)生提供多種證明思路，培養(yǎng)思維的靈活性，還可以通過(guò)使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)圖形的優(yōu)美之處，激發(fā)學(xué)生的積極性，活躍課堂氣氛。教師依托數(shù)學(xué)文化進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究證明的方法，從幾何角度加深基本不等式的理解和轉(zhuǎn)化，有助于教師驅(qū)動(dòng)數(shù)形結(jié)合思想方法的(三)立足教材知識(shí)，深刻挖掘數(shù)學(xué)思想方法教師在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)扮演“導(dǎo)演”的角色，為整節(jié)課的“表演”出謀劃策，盡可能調(diào)控所有能夠預(yù)想到的因素，站在高角度看待問(wèn)題，熟悉知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，掌握知識(shí)脈絡(luò)以及準(zhǔn)確把握知識(shí)背后蘊(yùn)含的思想方法和本質(zhì)特點(diǎn)，按照知識(shí)的邏輯順序向?qū)W生傳授知識(shí)。數(shù)學(xué)思想方法和基礎(chǔ)知識(shí)的有機(jī)融合體現(xiàn)在教材的各個(gè)方面。教材編寫(xiě)著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，會(huì)更偏重于呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、定理、法則等等，所以會(huì)將重心偏向于打便于學(xué)生更系統(tǒng)的掌握基礎(chǔ)知識(shí)，但這在一定程度上也會(huì)掩藏蘊(yùn)含于其中的數(shù)學(xué)思想方法。因此，教師要認(rèn)真鉆研教材，通過(guò)多種途徑查閱資料，明確教材編寫(xiě)的意圖與特點(diǎn)，呈現(xiàn)各章節(jié)的知識(shí)體系與脈絡(luò)，抓住教學(xué)重難點(diǎn)的同時(shí)還要立足于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的結(jié)合點(diǎn)，深刻挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，將其進(jìn)行系統(tǒng)化的整理傳遞給學(xué)生。只有教師自身全面把握和理解教材中的基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法，才能更好地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，在傳授知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生思想意識(shí)，所以教師可以從以下兩個(gè)方面做到“有的放矢”:(1)了解不等式知識(shí)中數(shù)學(xué)思想方法的分布情況教材是教師進(jìn)行教學(xué)的依據(jù)，是提高教學(xué)質(zhì)量的“依靠”。數(shù)學(xué)思想方法以“無(wú)形”的方式隱藏在教材知識(shí)中，因此若要實(shí)現(xiàn)知識(shí)與思想方法的完美融合，教師首先要立足于教材，發(fā)現(xiàn)不等式中各知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，深入分析聯(lián)結(jié)點(diǎn)，便于學(xué)生理解和掌握思想方法。教師可以從兩個(gè)方面開(kāi)展工作：第一，思考某個(gè)知識(shí)點(diǎn)上可以滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法；第二，探究某個(gè)數(shù)學(xué)思想方法可以解決哪一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如：一元二次不等式求取值范圍的問(wèn)題，教師可以滲透數(shù)形結(jié)合和函數(shù)與方程的思想方法，通過(guò)直觀的圖象幫助學(xué)生在頭腦中加深對(duì)一元二次函數(shù)、方程和不等式的聯(lián)系；對(duì)于含參數(shù)的恒成立問(wèn)題，往往采取分類(lèi)討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。下面以人教A版為例，對(duì)不等式中主要數(shù)學(xué)思想方法的分布情況進(jìn)行整理：思想方化歸數(shù)形函數(shù)與方分類(lèi)討論模型思特殊與法思想結(jié)合思想想想章節(jié)思想不等式性質(zhì)√√V√√V√√1二次函數(shù)與√√1√(2)認(rèn)真?zhèn)湔n，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程透效果最好以及如何講解、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法。教師只有在備課環(huán)節(jié)考慮全面、(四)在教學(xué)過(guò)程各環(huán)節(jié)中滲透數(shù)學(xué)思想方法用能力。案例2不等式性質(zhì)師：在等式兩邊加上或者減去同一個(gè)數(shù)或式子，等式是否成立?師：如果在不等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或式子，不等式是否成立? 將未知的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的簡(jiǎn)單問(wèn)題。)師：大家可以先用具體實(shí)數(shù)驗(yàn)證不等式是否成立?生：-1<3,在不等式兩邊同時(shí)加上4,有3<7,不等式成立。師：通過(guò)取特殊數(shù)字我們知道不等式仍然成立，那么如何證明呢?(提示學(xué)生：可以利用數(shù)軸上的點(diǎn)代表實(shí)數(shù))生：可以通過(guò)數(shù)軸證明不等式成立，把數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)A、B同時(shí)沿相同方向移動(dòng)相等距離，得到另外兩個(gè)點(diǎn)A、B?,A和B與A?和B?的位置關(guān)系沒(méi)有發(fā)生改變。師：很好，如圖6-3所示。通過(guò)一般化的證明，我們知道在不等式兩邊同時(shí)加上或者減去相同的數(shù)，不等式仍然成立。用字母表示不等式性質(zhì)：如果a>b,通過(guò)上述教學(xué)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己學(xué)過(guò)的知識(shí)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由淺入深的探究出所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在整個(gè)過(guò)程中滲透著化歸、特殊與一般的思想方法。將數(shù)學(xué)思想方法滲透于構(gòu)建新知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生既可以通過(guò)主動(dòng)思考強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解和掌握，也能夠?qū)W習(xí)感受數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用過(guò)程，提高學(xué)習(xí)的興趣，逐漸實(shí)現(xiàn)知識(shí)與思想方法的融和。(2)在問(wèn)題解決中激活數(shù)學(xué)思想方法問(wèn)題是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的心臟，任何數(shù)學(xué)活動(dòng)如果脫離的問(wèn)題就會(huì)成為沒(méi)有源頭的水，好的問(wèn)題能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神和鍛煉實(shí)踐能力，逐漸豐富數(shù)學(xué)活也是反復(fù)思考運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程3。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，數(shù)學(xué)知識(shí)作為堅(jiān)實(shí)的后盾為問(wèn)題解決提供理論依據(jù)，數(shù)學(xué)思想方法則為其提供精神指導(dǎo)。在實(shí)際教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：通過(guò)課堂表現(xiàn)知道學(xué)生已經(jīng)掌握絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)，也能夠聽(tīng)明白教師的講解，可在獨(dú)立解題時(shí)仍不知如何下手，經(jīng)過(guò)稍微啟發(fā)指點(diǎn)后就會(huì)恍然大悟。分析原因有兩點(diǎn)：第一，學(xué)生頭腦中雖有數(shù)學(xué)知識(shí)，但是知識(shí)結(jié)構(gòu)性比較差，出現(xiàn)組織混亂，在運(yùn)用的時(shí)候不能抓住關(guān)鍵點(diǎn)；第二，即使有合理系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，但在解決問(wèn)題時(shí)無(wú)法激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)致做題時(shí)不能靈活應(yīng)變。為避免學(xué)生陷入“題海戰(zhàn)術(shù)”,教師應(yīng)充分發(fā)揮例題的引領(lǐng)示范作用，結(jié)合案例3求)的值域。師：從形式上看，我們能否直接利用不等式性質(zhì)求解?師：那大家知道如何求的值域嗎?生：利用基本不等式，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即x=1時(shí)，)的值域呢?(提示：當(dāng)分子分母不是齊次時(shí)，利用配湊法進(jìn)行化簡(jiǎn))師：很好，然后我們可以利用換元的方法。令t=x+1,其中t>0,那么,所以函數(shù)值域?yàn)閧yly≥9},其中當(dāng)且僅當(dāng)t=2即x=1時(shí)，y=9。師：同學(xué)們可以考慮一下，這道題體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法?主動(dòng)的參與到問(wèn)題解決活動(dòng)中來(lái)，將陌生復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，逐步分析，層層遞進(jìn)。學(xué)生通過(guò)主動(dòng)參與解決問(wèn)題的過(guò)程，不斷培養(yǎng)化歸意識(shí)，增強(qiáng)應(yīng)用化歸思想求解問(wèn)題的能力和速度。(3)在總結(jié)復(fù)習(xí)中提煉數(shù)學(xué)思想方法俗話說(shuō)“編筐織簍，全在收□”,這句話充分體現(xiàn)了課堂總結(jié)在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中的重要性。學(xué)生完成初步的學(xué)習(xí)之后，頭腦中的知識(shí)還是比較凌亂、毫無(wú)條理，通過(guò)總結(jié)與復(fù)習(xí)可以幫助學(xué)生將各個(gè)知識(shí)“串”起來(lái)，揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。總結(jié)復(fù)習(xí)是教師歸納、提煉數(shù)學(xué)思想方法的有利時(shí)機(jī)，也是學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)系統(tǒng)化的有效途徑。數(shù)學(xué)思想方法貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教材，以隱形的方式零星分布在各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)中，同一種數(shù)學(xué)思想方法可能蘊(yùn)含于不同數(shù)學(xué)知識(shí)中，而同一內(nèi)容可能滲透多種數(shù)學(xué)思想方法。教師要幫助學(xué)生建立自己的思想方法體系，經(jīng)常對(duì)所學(xué)過(guò)的思想方法進(jìn)行概括總結(jié)，提煉本質(zhì)特征，使學(xué)生對(duì)思想方法的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。教師在課堂教學(xué)中，要時(shí)常對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行總結(jié)復(fù)習(xí)，及時(shí)強(qiáng)化學(xué)生頭腦中的圖式，使其在先前知識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)新知識(shí)進(jìn)行重新編碼、存儲(chǔ)形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。一般來(lái)說(shuō)，教師在教學(xué)過(guò)程中可以通過(guò)以下兩步總結(jié)思想方法：第一步揭示數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在特征和規(guī)律；第二步解釋數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。教師首先可以總結(jié)不等式章節(jié)知識(shí)，梳理知識(shí)點(diǎn)的分布情況(如圖6-3所示),然后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合不等式知識(shí)的特點(diǎn)對(duì)每小節(jié)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉總結(jié)，同時(shí)還要對(duì)不等式中的有著相同本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，萃取提煉相同點(diǎn)。比如在求解含參數(shù)不等式解題問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)結(jié)合多種類(lèi)型題目在學(xué)生頭腦中形成操作圖示，形成應(yīng)用分類(lèi)討論思想的程序。系盡管高一學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)不等式，明白不等關(guān)系的含義和意義，但這是他們第一次系統(tǒng)地學(xué)習(xí)不等式，從更深、更廣的角度理解不等式以及掌握解題方法。不等式知識(shí)相對(duì)簡(jiǎn)單，不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)可以類(lèi)比等式性質(zhì)，一元二次函數(shù)、方程與不等式的關(guān)系在初中已經(jīng)有所接觸，所以很容易理解，學(xué)生不會(huì)對(duì)其感到太抽象，但是學(xué)生在不等式習(xí)題的表現(xiàn)卻不盡人意。就基本不等式而言，“一正二定三相等”的使用原則很容易記憶和理解，可是在具體題目中一旦遇到需要配湊、換元等技巧，學(xué)生就會(huì)束手無(wú)策；對(duì)于含參數(shù)問(wèn)題，只要和量詞相掛鉤，學(xué)生就會(huì)暈頭轉(zhuǎn)向，沒(méi)有清晰明確的方向，不知道該如何下手。很多學(xué)生都明白教材內(nèi)容，對(duì)不等式知識(shí)也有整體把握和理解，在做題時(shí)仍然會(huì)出現(xiàn)各式各樣的錯(cuò)誤，甚至同一個(gè)類(lèi)型題目連續(xù)出錯(cuò)，主要原因還是學(xué)生只明白知識(shí)表層含義，卻不懂背后相通的數(shù)學(xué)思想方法。掌握數(shù)學(xué)思想方法是實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)間遷移的有效途徑，常言道“知己知彼，方能百戰(zhàn)不殆”,只有深刻了解自己，加強(qiáng)對(duì)不等式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，明白各類(lèi)思想方法的具體含義，才能提高解題的質(zhì)量和速度，培養(yǎng)綜合實(shí)踐能力，學(xué)生可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：(1)學(xué)生自身要提高對(duì)思想方法的重視，不僅要懂知識(shí)，還要“透”知識(shí)和“化”知識(shí)，平時(shí)練習(xí)時(shí)慢慢將關(guān)注點(diǎn)從問(wèn)題“如何做”轉(zhuǎn)向“為什么這樣做”,學(xué)習(xí)和做題中多問(wèn)幾個(gè)問(wèn)什么,逐漸養(yǎng)成自己思考知識(shí)和習(xí)題中滲透的數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)慣。(2)學(xué)生要積極主動(dòng)參與課堂教學(xué)，不要只是豎著耳朵聽(tīng)老師講，經(jīng)常和教師進(jìn)行有意義的“對(duì)話”,在雙方交流互動(dòng)中掌握理解知識(shí)，在知識(shí)生成中感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力，于思維升華處加深對(duì)知識(shí)和思想方法的聯(lián)系。(3)學(xué)生要善于總結(jié)和反思，教師的指導(dǎo)始終起輔助的作用，學(xué)生自己才是學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)的掌舵者，要想使數(shù)學(xué)思想方法更快、更好、更有效的融入學(xué)生的體系，學(xué)生自己也要對(duì)教師滲透的思想方法要養(yǎng)成經(jīng)?；仡櫤头此嫉牧己脤W(xué)習(xí)習(xí)慣