2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——優(yōu)化算法在生產(chǎn)調(diào)度中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述生產(chǎn)調(diào)度問題的基本要素及其相互關(guān)系。以單機(jī)調(diào)度問題為例，說明其典型目標(biāo)函數(shù)和常見約束條件。二、比較線性規(guī)劃（LP）與整數(shù)規(guī)劃（IP）在建模和求解生產(chǎn)調(diào)度問題時(shí)的主要區(qū)別。舉例說明何時(shí)使用LP模型是合適的，何時(shí)必須考慮使用IP模型。三、描述遺傳算法（GA）在解決生產(chǎn)調(diào)度問題時(shí)通常采用的編碼方式。列舉并解釋GA的三個(gè)主要遺傳算子（選擇、交叉、變異）及其在搜索過程中的作用。四、簡要介紹模擬退火（SA）算法的核心思想。說明SA算法中“退火溫度”和“降溫速率”這兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)對(duì)算法性能的影響。五、考慮一個(gè)包含3個(gè)任務(wù)需要在2臺(tái)機(jī)器上加工的流水車間調(diào)度問題（FSP），任務(wù)加工順序固定。假設(shè)任務(wù)1、2、3的加工時(shí)間分別為2、3、2單位時(shí)間。請(qǐng)：1.建立該問題的以最小化最大完工時(shí)間（Cmax）為目標(biāo)的線性規(guī)劃模型。2.若使用最短加工時(shí)間優(yōu)先（SPT）規(guī)則進(jìn)行貪心調(diào)度，請(qǐng)給出具體的調(diào)度順序和對(duì)應(yīng)的Cmax值。六、某公司有4個(gè)待處理的訂單（任務(wù)），需要分配給2部相同的機(jī)器加工。每個(gè)任務(wù)在不同機(jī)器上的加工時(shí)間已知如下表所示（單位：小時(shí)）：|任務(wù)\機(jī)器|機(jī)器1|機(jī)器2||:----------|:-----|:-----||任務(wù)1|3|4||任務(wù)2|2|3||任務(wù)3|5|2||任務(wù)4|1|5|請(qǐng)使用貪心算法（如按單機(jī)加工時(shí)間總和最小或按任務(wù)間切換成本最小等規(guī)則）設(shè)計(jì)一個(gè)分配方案，并計(jì)算該方案下所有任務(wù)在機(jī)器1和機(jī)器2上完成的總時(shí)間（假設(shè)機(jī)器可并行工作，任務(wù)一旦開始加工不得中斷）。七、假設(shè)你需要設(shè)計(jì)一個(gè)遺傳算法來解決一個(gè)復(fù)雜的流水車間調(diào)度問題。請(qǐng)簡述你在設(shè)計(jì)該算法時(shí)需要考慮的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，包括：1.如何設(shè)計(jì)合適的編碼方案？2.如何確定種群規(guī)模和遺傳算子的參數(shù)（交叉率、變異率）？3.如何設(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù)來評(píng)價(jià)解的質(zhì)量？4.需要考慮哪些終止條件？八、比較遺傳算法（GA）、模擬退火（SA）和粒子群優(yōu)化（PSO）這三種智能優(yōu)化算法在解決生產(chǎn)調(diào)度問題時(shí)各自的優(yōu)缺點(diǎn)。在哪些類型的調(diào)度問題或問題規(guī)模下，你更傾向于選擇其中某一種算法？請(qǐng)說明理由。試卷答案一、生產(chǎn)調(diào)度問題的基本要素通常包括：決策變量（如任務(wù)加工順序、開始時(shí)間、資源分配等）、目標(biāo)函數(shù)（如最小化總完工時(shí)間、最大延遲、總成本等）、約束條件（如加工順序約束、資源能力約束、時(shí)間限制等）。這些要素相互關(guān)聯(lián)，目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化需要在滿足所有約束條件的前提下進(jìn)行。二、線性規(guī)劃（LP）假設(shè)決策變量是連續(xù)的，其模型求解結(jié)果可能不是整數(shù)，這在需要任務(wù)分配數(shù)量為整數(shù)時(shí)是不合適的。整數(shù)規(guī)劃（IP）通過增加整數(shù)約束（或二元約束），強(qiáng)制決策變量取整數(shù)值，能夠處理需要離散決策的任務(wù)分配、機(jī)器選擇等問題。當(dāng)調(diào)度問題涉及如機(jī)器分配、人員安排等必須取整數(shù)的決策時(shí)，必須使用IP模型。三、遺傳算法中常用的編碼方式有：順序編碼（如排列編碼，直接表示任務(wù)的加工順序）、染色體編碼（將問題特征表示為二進(jìn)制串或?qū)崝?shù)串）。遺傳算子及其作用：1.選擇：根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)值，從當(dāng)前種群中挑選優(yōu)良個(gè)體參與下一代的生成，模擬自然選擇，保留優(yōu)秀基因。2.交叉：將兩個(gè)父代個(gè)體的基因片段進(jìn)行交換，產(chǎn)生新的子代個(gè)體，模擬生物的有性繁殖，實(shí)現(xiàn)基因重組，增加種群多樣性。3.變異：以一定的概率隨機(jī)改變個(gè)體基因片段的值，模擬生物的突變，防止算法陷入局部最優(yōu)，維持種群多樣性。四、模擬退火（SA）算法的核心思想是模擬物理系統(tǒng)中物質(zhì)的退火過程。它允許在搜索過程中接受比當(dāng)前解更差的解，其接受概率與溫差（退火溫度）和解的改善程度（或惡化程度）有關(guān)。通過初始時(shí)較高的溫度，使得算法能夠探索廣闊的解空間，接受較差解；隨著溫度逐漸降低，算法逐漸聚焦于當(dāng)前較好的解區(qū)域，最終收斂到全局最優(yōu)解（或近優(yōu)解）。關(guān)鍵參數(shù)“退火溫度”決定了初始搜索范圍和多樣性，“降溫速率”影響算法的收斂速度和解的質(zhì)量，過快的降溫可能導(dǎo)致過早收斂到局部最優(yōu)。五、1.線性規(guī)劃模型：*決策變量：設(shè)$x_{ij}$為任務(wù)$i$是否在機(jī)器$j$上加工（0-1變量）。*目標(biāo)函數(shù)：Minimize$Z=C_{max}$*約束條件：*每個(gè)任務(wù)恰好被一臺(tái)機(jī)器加工：$\sum_{j=1}^{2}x_{ij}=1$(對(duì)所有的$i=1,2,3$)*每臺(tái)機(jī)器同時(shí)只能加工一個(gè)任務(wù)：$\sum_{i=1}^{3}x_{ij}\leq1$(對(duì)所有的$j=1,2$)*加工時(shí)間累積：$S_j+\sum_{i:x_{ij}=1}p_i\leqC_{max}$(對(duì)所有的$j=1,2$)，其中$S_j$是機(jī)器$j$開始加工時(shí)的最早時(shí)間（$S_1=0$，$S_2$可設(shè)定為某個(gè)大于等于任務(wù)1開始時(shí)間的值，或隱含在Cmax中），$p_i$是任務(wù)$i$的加工時(shí)間。*任務(wù)順序約束（流水車間）：$x_{12}\leqx_{21}$,$x_{23}\leqx_{32}$(若任務(wù)1必須在任務(wù)2前在機(jī)器1加工，任務(wù)2必須在任務(wù)3前在機(jī)器2加工，則此約束需添加)。*非負(fù)性：$x_{ij}\geq0$且為整數(shù)。2.貪心調(diào)度（SPT規(guī)則）：*計(jì)算各任務(wù)在兩臺(tái)機(jī)器上的加工時(shí)間：任務(wù)1(1,2),任務(wù)2(2,3),任務(wù)3(5,2),任務(wù)4(1,5)。*按加工時(shí)間升序排列：任務(wù)4(1,5),任務(wù)1(1,2),任務(wù)3(5,2),任務(wù)2(2,3)。*分配順序（機(jī)器1,機(jī)器2）：*機(jī)器1：先加工任務(wù)4（時(shí)間1），再加工任務(wù)1（時(shí)間1+2=3），總時(shí)間3。*機(jī)器2：先加工任務(wù)2（時(shí)間3），再加工任務(wù)3（時(shí)間3+3=6），總時(shí)間6。*調(diào)度順序：機(jī)器1:4->1；機(jī)器2:2->3。*Cmax=max(機(jī)器1總時(shí)間,機(jī)器2總時(shí)間)=max(3,6)=6。六、使用貪心算法（按單機(jī)加工時(shí)間總和最小規(guī)則）：*計(jì)算所有任務(wù)在兩臺(tái)機(jī)器上的加工時(shí)間總和：*機(jī)器1：3+2+5+1=11*機(jī)器2：4+3+2+5=14*選擇加工時(shí)間總和較小的機(jī)器1先進(jìn)行任務(wù)分配。*按任務(wù)在機(jī)器1上的加工時(shí)間升序排列：任務(wù)4(1),任務(wù)2(2),任務(wù)1(3),任務(wù)3(5)。*分配順序（機(jī)器1,機(jī)器2）：*機(jī)器1：任務(wù)4（時(shí)間1），任務(wù)2（時(shí)間1+2=3），任務(wù)1（時(shí)間3+3=6），任務(wù)3（時(shí)間6+5=11）。機(jī)器1總時(shí)間11。*機(jī)器2：任務(wù)1（時(shí)間6），任務(wù)3（時(shí)間6+2=8），任務(wù)2（時(shí)間8+3=11）。機(jī)器2總時(shí)間11。*總完成時(shí)間=機(jī)器1總時(shí)間+機(jī)器2總時(shí)間=11+11=22小時(shí)。七、設(shè)計(jì)遺傳算法解決流水車間調(diào)度問題時(shí)需考慮：1.編碼方案：采用能清晰表示任務(wù)加工順序的編碼方式，如使用排列編碼（PermutationEncoding），直接將N個(gè)任務(wù)編號(hào)排列表示一個(gè)解。2.種群規(guī)模：選擇合適的種群大小，過大增加計(jì)算量，過小影響多樣性。通常根據(jù)問題規(guī)模經(jīng)驗(yàn)選擇，如50-500。3.遺傳算子參數(shù)：*交叉率(CrossoverRate)：決定進(jìn)行交叉操作的概率，如0.6-0.9。選擇單點(diǎn)交叉、多點(diǎn)交叉或均勻交叉等策略。*變異率(MutationRate)：決定進(jìn)行變異操作的概率，如0.01-0.1。變異有助于維持種群多樣性，防止早熟。4.適應(yīng)度函數(shù)：設(shè)計(jì)能準(zhǔn)確衡量解（調(diào)度方案）優(yōu)劣的函數(shù)。通?；谀繕?biāo)函數(shù)的倒數(shù)或負(fù)值，如使用最小化Cmax問題，適應(yīng)度函數(shù)可為$f(x)=\frac{1}{C_{max}(x)}$或$f(x)=-C_{max}(x)$，并可能需要加入罰函數(shù)處理約束違規(guī)情況。八、遺傳算法（GA）、模擬退火（SA）、粒子群優(yōu)化（PSO）優(yōu)缺點(diǎn)及選擇：*GA：優(yōu)點(diǎn)是全局搜索能力強(qiáng)，不易早熟，可處理復(fù)雜非線性問題。缺點(diǎn)是參數(shù)調(diào)優(yōu)較復(fù)雜，收斂速度可能較慢，編碼方式選擇影響大。*SA：優(yōu)點(diǎn)是能以較高概率找到全局最優(yōu)解，尤其在初始解較差時(shí)。缺點(diǎn)是參數(shù)（溫度、降溫速率）敏感，收斂速度受溫度影響，實(shí)現(xiàn)相對(duì)復(fù)雜。*PSO：優(yōu)點(diǎn)是概念簡單，參數(shù)較少，收斂速度通常較快，尤其適合連續(xù)優(yōu)化問題。缺點(diǎn)是在離散優(yōu)化問題（如調(diào)度順序）中可能需要特殊處理（如離散粒子概念），處理復(fù)雜約束能力相對(duì)弱，后期可能陷入局部