2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——組合數(shù)學(xué)與離散數(shù)學(xué)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。下列每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將正確選項前的字母填在答題卡相應(yīng)位置。）1.從n個不同元素中取出k個元素，不考慮順序組成一組，稱為從n個不同元素中每次取出k個元素的（）。A.排列B.組合C.排列數(shù)D.組合數(shù)2.設(shè)集合A有m個元素，集合B有n個元素，則從集合A到集合B的映射個數(shù)是（）。A.mB.nC.mnD.2^(mn)3.在40個學(xué)生中，有30個會打籃球，有25個會打排球，且至少會打這兩種球中的至少一種的人數(shù)是55個，則兩種球都會打的共有（）個。A.10B.15C.20D.254.下列數(shù)中，哪個是素數(shù)？（）A.49B.53C.57D.615.5個不同的球放入3個不同的盒子里，每個盒子至少放一個球，不同的放法共有（）種。A.150B.210C.240D.3126.一個有向圖G包含n個頂點，則G中邊的條數(shù)最多是（）條。A.nB.n(n-1)C.n(n+1)/2D.n(n-1)/27.在一棵樹中，頂點的度數(shù)之和等于（）。A.頂點數(shù)-1B.頂點數(shù)+1C.邊數(shù)-1D.邊數(shù)+18.下列命題中，真命題是（）。A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有無數(shù)個子集C.兩個集合的交集一定是真子集D.兩個集合的并集一定是真子集9.設(shè)命題p:2是偶數(shù)，命題q:3是質(zhì)數(shù)，則命題“p且q”的真值是（）。A.真假不定B.假C.真D.無法判斷10.下列邏輯表達式，哪個是永真式？（）A.p∧?pB.p∨?pC.p∧pD.p∨p二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。請將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）1.一個排列中，若某個元素不在其原來的位置上，則稱這個元素為該排列的一個（）。2.設(shè)集合A有m個元素，集合B有n個元素，則從集合A到集合B的所有函數(shù)個數(shù)是（）。3.10個人兩兩握手的次數(shù)總和是（）次。4.在有向圖中，一個頂點的入度是指以該頂點為（）的邊的條數(shù)。5.命題邏輯中，命題p和命題q的逆否命題是（）。三、計算題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請將詳細的計算過程和答案寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.計算組合數(shù)C(10,3)。2.計算排列數(shù)P(6,4)。3.有5門課要排在一天的4節(jié)課里，每天至少安排一門課，有多少種不同的排法？4.計算有向圖G中所有頂點的度數(shù)之和，其中G有6個頂點，且每條邊都連接了兩個不同的頂點。5.計算邏輯表達式(p∧q)∨(?p∧?q)的真值表。四、證明題（本大題共3小題，每小題15分，共45分。請將詳細的證明過程寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.證明：對于任意正整數(shù)n，2^n>n。2.證明：任何一棵樹都至少有兩個度數(shù)為1的頂點。3.證明：命題邏輯中，一個命題公式是永假式，當且僅當它的否定是永真式。五、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題20分，共40分。請將詳細的解答過程和答案寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.在一個小組中有7名男生和5名女生，要選出一個小組委員會，其中包含3名男生和2名女生，有多少種不同的選法？2.一個通訊網(wǎng)絡(luò)由n個節(jié)點組成，每個節(jié)點都可以與其他節(jié)點直接或間接連接。證明：如果每個節(jié)點至少與其他兩個節(jié)點連接，則網(wǎng)絡(luò)中存在一個節(jié)點，它至少與其他三個節(jié)點連接。試卷答案一、選擇題1.B2.D3.A4.B5.C6.D7.A8.A9.C10.B二、填空題1.錯位2.n^m3.454.終點5.(?q)∧(?p)三、計算題1.C(10,3)=10!/(3!*(10-3)!)=10!/(3!*7!)=(10*9*8)/(3*2*1)=1202.P(6,4)=6!/(6-4)!=6!/2!=6*5*4*3=3603.先從5門課中選出1門安排在第一節(jié)課，有C(5,1)種選法；然后從剩下的4門課中選出2門安排在第二節(jié)課，有C(4,2)種選法；剩下的2門課安排在第三節(jié)課；最后1門課安排在第四節(jié)課。由于課程順序不同被視為不同排法，因此總的排法數(shù)為C(5,1)*C(4,2)*2!*1!=5*6*2*1=60種。但是，每天至少安排一門課，所以需要減去一天都不安排課的情況，即5門課都安排在3節(jié)課中的情況，有C(5,3)*3!=10*6=60種。因此，總的排法數(shù)為60-60=0種。這里有一個錯誤，正確的計算應(yīng)該是從5門課中選出2門安排在第一節(jié)課，有C(5,2)種選法；然后從剩下的3門課中選出2門安排在第二節(jié)課，有C(3,2)種選法；剩下的1門課安排在第三節(jié)課；最后1門課安排在第四節(jié)課。由于課程順序不同被視為不同排法，因此總的排法數(shù)為C(5,2)*C(3,2)*2!*1!=10*3*2*1=60種。4.由于每條邊都連接了兩個不同的頂點，因此每個頂點的度數(shù)為2。圖中有6個頂點，所以所有頂點的度數(shù)之和為6*2=12。這里有一個錯誤，正確的計算應(yīng)該是每條邊連接兩個頂點，所以邊的條數(shù)是頂點度數(shù)之和的一半。如果每個頂點的度數(shù)為2，那么頂點度數(shù)之和應(yīng)該是2*n，其中n是邊的條數(shù)。因此，頂點度數(shù)之和應(yīng)該是2*n=6*2=12，所以n=6。但是，題目中說每條邊都連接了兩個不同的頂點，這意味著這是一個完全圖，每個頂點都與所有其他頂點相連。在一個有n個頂點的完全圖中，頂點度數(shù)之和是n*(n-1)，因為每個頂點都與其他n-1個頂點相連。所以，頂點度數(shù)之和應(yīng)該是6*(6-1)=30。5.真值表如下：|p|q|?p|?q|p∧q|?p∧?q|(p∧q)∨(?p∧?q)||---|---|----|----|-----|-------|----------------||T|T|F|F|T|F|T||T|F|F|T|F|F|F||F|T|T|F|F|T|T||F|F|T|T|F|T|T|四、證明題1.證明：對于任意正整數(shù)n，2^n>n。使用數(shù)學(xué)歸納法證明。基礎(chǔ)情況：當n=1時，2^1=2>1，成立。歸納假設(shè)：假設(shè)對于某個正整數(shù)k，2^k>k成立。歸納步驟：需要證明2^(k+1)>k+1。2^(k+1)=2*2^k>2*k(根據(jù)歸納假設(shè))>k+k=2k。因為k是正整數(shù)，所以2k>k+1。因此，2^(k+1)>k+1。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對于任意正整數(shù)n，2^n>n成立。2.證明：任何一棵樹都至少有兩個度數(shù)為1的頂點。證明：使用反證法。假設(shè)存在一棵樹T，它不包含至少兩個度數(shù)為1的頂點。由于樹是連通的且沒有環(huán)，所以它至少有兩個頂點。如果樹只有一個頂點，那么它的度數(shù)為0，不滿足條件。如果樹有兩個頂點，那么這兩個頂點之間的邊是唯一的，每個頂點的度數(shù)為1，滿足條件。如果樹有三個或更多頂點，那么由于每個頂點的度數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍，而邊數(shù)至少為頂點數(shù)減1，所以至少有兩個頂點的度數(shù)為1。因此，任何一棵樹都至少有兩個度數(shù)為1的頂點。3.證明：命題邏輯中，一個命題公式是永假式，當且僅當它的否定是永真式。證明：使用定義和推理規(guī)則。必要性：假設(shè)命題公式P是永假式，即對于所有的真值賦值，P的值為假。那么，對于P的否定?P，對于所有的真值賦值，?P的值為真。因此，?P是永真式。充分性：假設(shè)命題公式P的否定?P是永真式，即對于所有的真值賦值，?P的值為真。那么，對于P，對于所有的真值賦值，P的值為假。因此，P是永假式。根據(jù)必要性和充分性，命題邏輯中，一個命題公式是永假式，當且僅當它的否定是永真式。五、應(yīng)用題1.在一個小組中有7名男生和5名女生，要選出一個小組委員會，其中包含3名男生和2名女生，有多少種不同的選法？從7名男生中選出3名，有C(7,3)種選法；從5名女生中選出2名，有C(5,2)種選法。因此，總的選法數(shù)為C(7,3)*C(5,2)=35*10=350種。2.一個通訊網(wǎng)絡(luò)由n個節(jié)點組成，每個節(jié)點都可以與其他節(jié)點直接或間接連接。證明：如果每個節(jié)點至少與其他兩個節(jié)點連接，則網(wǎng)絡(luò)中存在一個節(jié)點，它至少與其他三個節(jié)點連接。證明：使用反證法。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中不存在一個節(jié)點，它至少與其