2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——微分幾何的曲率理論考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分）1.下列哪個(gè)量是黎曼流形上一個(gè)對(duì)稱的（0,2）型張量？A.法曲率B.平均曲率C.里奇曲率張量D.度量張量2.在一個(gè)二維黎曼流形中，如果存在一條測(cè)地線，其切向量在平行移動(dòng)下保持不變，那么該流形一定是？A.平面B.球面C.雙曲面D.以上都不是3.高斯方程描述了曲率張量中哪些分量之間的關(guān)系？A.R_ij-R_ijB.R_ij+R_jiC.R_ij-R_jiD.R_ij+R_ij4.如果一個(gè)流形的里奇曲率張量處處為零，那么該流形一定是？A.平行于自身B.測(cè)地線完備C.具有常數(shù)曲率D.以上都不是5.標(biāo)量曲率是黎曼曲率張量的一個(gè)特殊標(biāo)量，它等于？A.里奇曲率張量與度量張量的縮并B.里奇曲率張量與聯(lián)絡(luò)形式的外積C.度量張量的行列式D.度量張量的逆矩陣二、填空題（每題4分，共20分）1.黎曼曲率張量R^i_jkl可以通過(guò)________和________來(lái)表達(dá)。2.如果一個(gè)向量場(chǎng)X在流形上平行移動(dòng)，那么其協(xié)變導(dǎo)數(shù)?_YX滿足________。3.高斯-科里斯托夫方程描述了測(cè)地線上切向量的________。4.證明平行性定理需要用到________和________。5.里奇恒等式表明里奇曲率張量滿足________。三、計(jì)算題（每題10分，共30分）1.在二維極坐標(biāo)系下，度量張量為g_{11}=r,g_{12}=g_{21}=0,g_{22}=1。計(jì)算該坐標(biāo)系下的曲率張量分量R^1_020和R^2_021。2.證明在球面（半徑為R）上，任意測(cè)地線的長(zhǎng)度是常數(shù)。3.設(shè)聯(lián)絡(luò)形式為ω^i=A^i_jdx^j，其中A^i_j是常系數(shù)矩陣。計(jì)算該聯(lián)絡(luò)形式下的里奇曲率張量。四、證明題（每題10分，共20分）1.證明高斯方程R_ij-R_ji=0。2.證明如果黎曼流形上的一個(gè)(1,1)型張量T滿足?_XT=0對(duì)所有向量場(chǎng)X都成立，那么T必須是一個(gè)對(duì)稱張量。五、應(yīng)用題（10分）討論里奇曲率在廣義相對(duì)論中的作用。試卷答案一、選擇題1.C2.A3.C4.A5.A二、填空題1.黎曼曲率張量；度量的縮并2.沿著X的反平行移動(dòng)3.變率4.平行性定理；測(cè)地線方程5.里奇恒等式三、計(jì)算題1.R^1_020=1/r,R^2_021=-1/r解析：利用黎曼曲率張量的第一基本形式表達(dá)式，將度量張量及其導(dǎo)數(shù)代入計(jì)算即可得到結(jié)果。2.證明：球面上的測(cè)地線是圓弧，其長(zhǎng)度等于圓弧的半徑乘以圓心角，而圓心角由測(cè)地線與極軸的夾角決定，該夾角在測(cè)地線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持不變，因此測(cè)地線長(zhǎng)度為常數(shù)。3.里奇曲率張量為R^i_jkl=A^i_mA^j_n(?_mA^n_l-?_nA^m_l)-A^i_mA^k_n(?_mA^n_k-?_nA^m_k)+A^j_mA^k_n(?_mA^n_k-?_nA^m_k)解析：利用聯(lián)絡(luò)形式的定義和里奇曲率張量的表達(dá)式，將聯(lián)絡(luò)形式代入計(jì)算即可得到結(jié)果。四、證明題1.證明：利用黎曼曲率張量的對(duì)稱性和反對(duì)稱性，以及高斯方程的定義，可以證明高斯方程成立。2.證明：利用聯(lián)絡(luò)形式的定義和對(duì)稱性，以及協(xié)變導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可以證明如果?_XT=0對(duì)所有向量場(chǎng)X都成立，那么T必須是一個(gè)對(duì)稱張量。3.證明：利用測(cè)地線方程和里奇曲率張量的定義，可以證明在球面上，