2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在長(zhǎng)骨病研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述微分方程在描述長(zhǎng)骨生長(zhǎng)過(guò)程中的作用，并舉例說(shuō)明一階或二階微分方程可以用來(lái)模擬哪些具體的生長(zhǎng)或變化現(xiàn)象。二、已知某長(zhǎng)骨的礦化過(guò)程可以用以下微分方程描述：$$\frac{dM}{dt}=k(A-M)$$其中，$M(t)$是時(shí)間$t$時(shí)骨礦物質(zhì)的含量，$A$是骨礦物質(zhì)的最大理論含量，$k$是正的礦化速率常數(shù)。請(qǐng)求解此微分方程，并解釋參數(shù)$A$和$k$的生物學(xué)意義。三、在研究骨質(zhì)疏松癥時(shí)，研究人員測(cè)量了不同年齡組人群的骨密度數(shù)據(jù)。假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，現(xiàn)獲得如下樣本信息：30歲組樣本均值$\bar{x}_1=1.0$g/cm2，標(biāo)準(zhǔn)差$s_1=0.1$g/cm2，樣本量$n_1=50$；50歲組樣本均值$\bar{x}_2=0.9$g/cm2，標(biāo)準(zhǔn)差$s_2=0.12$g/cm2，樣本量$n_2=60$。請(qǐng)使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法，檢驗(yàn)50歲組人群的平均骨密度是否顯著低于30歲組人群（假設(shè)兩總體方差相等）。請(qǐng)寫(xiě)出所使用的統(tǒng)計(jì)量公式，并說(shuō)明檢驗(yàn)步驟的關(guān)鍵點(diǎn)。四、考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，描述骨細(xì)胞（Osteoblasts）和破骨細(xì)胞（Osteoclasts）的數(shù)量動(dòng)態(tài)。設(shè)$B(t)$和$C(t)$分別表示$t$時(shí)刻骨細(xì)胞和破骨細(xì)胞的數(shù)量。假設(shè)骨細(xì)胞的增長(zhǎng)受限于空間和營(yíng)養(yǎng)，遵守邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型；破骨細(xì)胞數(shù)量受骨細(xì)胞數(shù)量影響，其增長(zhǎng)速率與骨細(xì)胞數(shù)量成正比。嘗試建立一個(gè)關(guān)于$B(t)$和$C(t)$的微分方程組模型，并簡(jiǎn)述你模型中各參數(shù)的生物學(xué)意義。五、在分析長(zhǎng)骨的受力情況時(shí)，常將其簡(jiǎn)化為彈性梁模型。假設(shè)一根長(zhǎng)骨（可視為均勻梁）受到均布載荷$q$的作用，其彎曲變形可以用四階常微分方程描述：$$EI\frac{d^4y}{dx^4}=q$$其中，$y(x)$是$x$位置處的撓度，$E$是材料的楊氏模量，$I$是截面的慣性矩。請(qǐng)求解此微分方程，并解釋邊界條件（如固定端、自由端）如何影響解的形式以及物理意義。假設(shè)考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的兩端簡(jiǎn)支的梁模型，求解其撓度分布。六、假設(shè)一項(xiàng)研究旨在通過(guò)動(dòng)物實(shí)驗(yàn)探究藥物X對(duì)骨再生的影響。研究人員將實(shí)驗(yàn)動(dòng)物隨機(jī)分為兩組：實(shí)驗(yàn)組接受藥物X治療，對(duì)照組不接受。在治療一段時(shí)間后，測(cè)量?jī)山M動(dòng)物特定部位骨密度。設(shè)實(shí)驗(yàn)組樣本均值$\bar{x}_1$，標(biāo)準(zhǔn)差$s_1$，樣本量$n_1$；對(duì)照組樣本均值$\bar{x}_2$，標(biāo)準(zhǔn)差$s_2$，樣本量$n_2$。請(qǐng)說(shuō)明，如果需要比較兩組骨密度的均值是否存在顯著差異，除了之前第三題提到的方法外，還有哪些統(tǒng)計(jì)方法可以考慮？并簡(jiǎn)述其中一種方法的基本原理及其適用條件。試卷答案一、微分方程能夠描述長(zhǎng)骨礦物質(zhì)含量隨時(shí)間的變化速率，從而模擬礦化、吸收等動(dòng)態(tài)過(guò)程。例如，一階微分方程可以模擬骨礦物質(zhì)的凈吸收速率與當(dāng)前礦物質(zhì)含量或某種刺激物濃度的關(guān)系；二階微分方程可以模擬骨形態(tài)發(fā)生蛋白（BMP）等信號(hào)分子調(diào)控下的骨細(xì)胞增殖與凋亡的動(dòng)態(tài)平衡，進(jìn)而影響骨生長(zhǎng)速率的變化。二、微分方程的變量分離法求解：$$\frac{dM}{A-M}=kdt$$兩邊積分：$$-\ln|A-M|=kt+C$$指數(shù)化并整理：$$A-M=Ce^{-kt}$$$$M(t)=A-Ce^{-kt}$$其中$C=e^{-C'}$為積分常數(shù)。參數(shù)$A$代表骨礦物質(zhì)含量的飽和值或最大穩(wěn)態(tài)值，即當(dāng)?shù)V化速率趨于零時(shí)的極限含量。參數(shù)$k$代表礦化過(guò)程的速率常數(shù)，反映了礦化作用的快慢。三、檢驗(yàn)方法：采用兩樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等）。統(tǒng)計(jì)量公式：$$t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$其中，$s_p$是合并標(biāo)準(zhǔn)差：$$s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$$檢驗(yàn)步驟關(guān)鍵點(diǎn)：1.計(jì)算合并標(biāo)準(zhǔn)差$s_p$。2.計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值。3.確定自由度$df=n_1+n_2-2$。4.查t分布表，根據(jù)顯著性水平$\alpha$和自由度，得到臨界值$t_{\alpha/2,df}$。5.比較觀測(cè)t值與臨界值：若$|t|>t_{\alpha/2,df}$，則拒絕原假設(shè)（均值相等）；若$|t|\leqt_{\alpha/2,df}$，則不拒絕原假設(shè)。四、微分方程組模型示例：$$\frac{dB}{dt}=rB\left(1-\frac{B}{K}\right)-dBC$$$$\frac{dC}{dt}=\alphaBC-\betaC$$其中：*$B(t),C(t)$分別為骨細(xì)胞和破骨細(xì)胞數(shù)量。*$r$為骨細(xì)胞內(nèi)源性增長(zhǎng)率，$K$為骨細(xì)胞環(huán)境容納量。*$d$為破骨細(xì)胞對(duì)骨細(xì)胞的消耗率或作用率。*$\alpha$為破骨細(xì)胞數(shù)量影響破骨細(xì)胞增長(zhǎng)的正向作用率。*$\beta$為破骨細(xì)胞的自然死亡率或消散率。該模型描述了骨細(xì)胞在無(wú)消耗時(shí)按邏輯斯蒂速率增長(zhǎng)，破骨細(xì)胞數(shù)量受骨細(xì)胞數(shù)量促進(jìn)而增長(zhǎng)，同時(shí)自身有衰減。五、求解微分方程：$$\frac{d^4y}{dx^4}=\frac{q}{EI}$$連續(xù)積分四次：$$\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{qx}{3EI}+C_1$$$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{qx^2}{6EI}+C_1x+C_2$$$$\frac{dy}{dx}=\frac{qx^3}{18EI}+\frac{C_1x^2}{2}+C_2x+C_3$$$$y(x)=\frac{qx^4}{72EI}+\frac{C_1x^3}{6}+\frac{C_2x^2}{2}+C_3x+C_4$$邊界條件影響：*對(duì)于簡(jiǎn)支梁（例如，$x=0$處撓度$y=0$，$x=L$處撓度$y=0$）：會(huì)確定$C_4=0$和$C_4+\frac{C_1L^3}{6}+\frac{C_2L^2}{2}=0$，從而得到$y(x)$的具體形式，反映梁在載荷作用下的彎曲變形。*邊界條件還可能涉及彎矩（$\frac{d^2y}{dx^2}=0$）或剪力（$\frac{dy}{dx}=0$）的限制，進(jìn)一步確定常數(shù)$C_1,C_2,C_3$。六、除兩樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等）外，還可考慮以下方法：1.兩樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差不等）：當(dāng)無(wú)法假設(shè)兩組方差相等時(shí)使用Welch'st檢驗(yàn)。2.非參數(shù)檢驗(yàn)：如Mann-WhitneyU檢驗(yàn)。當(dāng)數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布或存在異常值時(shí)適用，比較兩組中位數(shù)的差異。3.方差分析（ANOVA）：如果實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)包含更多因素（如不同劑量或時(shí)間點(diǎn)），可以使用單因素或雙因素ANOVA?；驹恚ㄒ詔檢驗(yàn)為例）：基于樣本均值和方差的差異，計(jì)算一個(gè)t