2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)近代發(fā)展概覽考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分）1.通常認(rèn)為，解析幾何的創(chuàng)立標(biāo)志著數(shù)學(xué)研究從算術(shù)代數(shù)向幾何代數(shù)的轉(zhuǎn)變，其關(guān)鍵人物是？A.勒讓德B.歐拉C.笛卡爾D.牛頓2.微積分的創(chuàng)立通常歸功于牛頓和萊布尼茨，他們分別被稱為？A.流數(shù)法和微分學(xué)B.微積分學(xué)和流數(shù)法C.微積分學(xué)和無窮小量D.流數(shù)法和無窮小量3.下列哪一項(xiàng)不屬于概率論作為一門獨(dú)立數(shù)學(xué)分支發(fā)展過程中的重要里程碑？A.帕斯卡-費(fèi)馬概率論correspondenceB.伯努利大數(shù)定律C.拉格朗日微分方程求解D.貝葉斯定理的提出4.非歐幾何的發(fā)現(xiàn)打破了歐氏幾何平行公理的唯一性，其中黎曼幾何屬于哪種非歐幾何？A.雙曲幾何B.橢圓幾何C.拋物幾何D.仿射幾何5.集合論的創(chuàng)立對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，其基本概念（如集合、元素、屬于關(guān)系）通常歸功于哪位數(shù)學(xué)家？A.康托爾B.羅素C.布爾巴基D.哥德爾二、填空題（每空1分，共10分）6.17世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上的黃金時(shí)代，除了微積分的創(chuàng)立，__________的系統(tǒng)研究也是這一時(shí)期的重要特征。7.18世紀(jì)的數(shù)學(xué)以分析學(xué)的發(fā)展為主要標(biāo)志，歐拉在__________、__________和數(shù)論等多個(gè)領(lǐng)域做出了巨大貢獻(xiàn)。8.19世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大難題（三等分角問題、倍立方問題、化圓為方）最終被證明是不可解的，這通常歸功于伽羅瓦和阿貝爾在__________方面的開創(chuàng)性工作。9.開普勒通過對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的觀察，總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)三定律，其中第一定律指出行星繞太陽(yáng)的軌道是一個(gè)__________。10.非歐幾何的誕生不僅拓展了空間的觀念，也深刻影響了后來的__________發(fā)展，例如相對(duì)論。三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共15分）11.簡(jiǎn)述牛頓和萊布尼茨在創(chuàng)立微積分時(shí)的主要思想方法的異同。12.簡(jiǎn)述集合論創(chuàng)立過程中面臨的主要悖論及其意義。13.簡(jiǎn)述拓?fù)鋵W(xué)作為一門獨(dú)立數(shù)學(xué)分支的主要研究對(duì)象及其特點(diǎn)。四、論述題（每題10分，共20分）14.論述非歐幾何的發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生的深遠(yuǎn)影響。15.論述布爾巴基學(xué)派的結(jié)構(gòu)主義思想對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.C4.B5.A二、填空題6.幾何學(xué)7.微積分，分析學(xué)8.抽象代數(shù)9.橢圓10.拓?fù)鋵W(xué)三、簡(jiǎn)答題11.解析：*相同點(diǎn)：都基于極限思想，都使用了微積分的基本工具（導(dǎo)數(shù)、積分）來處理問題。*不同點(diǎn)：牛頓使用“流數(shù)法”和“fluent”，基于物理概念的直觀描述；萊布尼茨則引入了“微分”和“積分”的符號(hào)系統(tǒng)，更注重代數(shù)化的表達(dá)和邏輯推理。萊布尼茨的符號(hào)系統(tǒng)被廣泛接受，對(duì)微積分的發(fā)展更為有利。12.解析：*主要悖論：集合論發(fā)展初期出現(xiàn)了若干悖論，最著名的是羅素悖論（考慮“所有不包含自身的集合構(gòu)成的集合”是否包含自身），此外還有布拉利-福爾蒂悖論、康托爾悖論等。*意義：這些悖論揭示了早期集合論定義（特別是“外延性”定義）的模糊性和局限性，暴露了將無限視為實(shí)體的潛在危險(xiǎn)。它們促使數(shù)學(xué)家重新審視集合的概念和基礎(chǔ)，推動(dòng)了公理化集合論（如ZFC集合論）的建立，促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探討和公理化思潮的發(fā)展。13.解析：*主要研究對(duì)象：拓?fù)鋵W(xué)研究的是幾何圖形或空間在連續(xù)變形（如拉伸、壓縮、彎曲，但不能撕裂或粘合）下保持不變的性質(zhì)，稱為拓?fù)洳蛔兞俊＠?，連通性、緊致性、虧格等。*特點(diǎn)：它不關(guān)注精確的度量屬性（如長(zhǎng)度、面積、角度），而關(guān)注結(jié)構(gòu)性的連接關(guān)系。因此，拓?fù)鋵W(xué)也被稱為“橡皮泥幾何學(xué)”。它是一門高度抽象的理論，但對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支（分析、代數(shù)、幾何等）以及物理學(xué)（如量子場(chǎng)論、凝聚態(tài)物理）都有著極其重要的應(yīng)用。四、論述題14.解析：*打破歐氏平行公理的壟斷：非歐幾何的發(fā)現(xiàn)（特別是黎曼幾何）證明了歐氏平行公理并非幾何學(xué)唯一的公理，存在其他自洽的幾何體系，拓展了人們對(duì)“空間”的理解。*豐富數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)類型：非歐幾何的建立，使得數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以多樣化，不再局限于歐幾里得空間，為抽象代數(shù)和抽象幾何的發(fā)展提供了思想啟示。*推動(dòng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究：非歐幾何的哲學(xué)和邏輯含義引發(fā)了關(guān)于數(shù)學(xué)真理、公理系統(tǒng)選擇等深刻問題的討論，促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（mathematicalfoundations）的研究，如邏輯主義、直覺主義、形式主義等流派的探討。*促進(jìn)物理學(xué)發(fā)展：愛因斯坦的廣義相對(duì)論就是建立在黎曼幾何基礎(chǔ)之上的，非歐幾何的物理應(yīng)用證明了其強(qiáng)大的生命力，也展示了數(shù)學(xué)與物理相互促進(jìn)的關(guān)系。*培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力：學(xué)習(xí)非歐幾何有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)家的抽象思維、批判性思維和接受反直覺概念的能力。15.解析：*結(jié)構(gòu)主義思想核心：布爾巴基學(xué)派的核心思想是“結(jié)構(gòu)”（structure）主義，認(rèn)為數(shù)學(xué)的本質(zhì)是由各種基本結(jié)構(gòu)（代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、順序結(jié)構(gòu)等）以及它們之間的相互作用構(gòu)成的。數(shù)學(xué)對(duì)象不應(yīng)被視為孤立的實(shí)體，而應(yīng)看作是某個(gè)結(jié)構(gòu)中的元素。*對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響：*統(tǒng)一和協(xié)調(diào)：結(jié)構(gòu)主義試圖用統(tǒng)一的框架來協(xié)調(diào)數(shù)學(xué)各個(gè)分支，強(qiáng)調(diào)不同領(lǐng)域之間的深層聯(lián)系，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的公理化化和抽象化。*影響現(xiàn)代代數(shù)和幾何：布爾巴基學(xué)派對(duì)抽象代數(shù)（特別是伽羅瓦理論、群論、環(huán)論、域論）、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析等領(lǐng)域做出了系統(tǒng)性的貢獻(xiàn)和深入發(fā)展，其著作《數(shù)學(xué)原本》成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的經(jīng)典文獻(xiàn)。*促進(jìn)抽象化傾向：布爾巴基學(xué)派的工作極大地推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的抽象化進(jìn)程，使得許多數(shù)學(xué)家更注重