2025年大學《統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——時間序列數(shù)據(jù)分析在統(tǒng)計學中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡答題（每小題5分，共20分）1.簡述時間序列數(shù)據(jù)與非時間序列數(shù)據(jù)的主要區(qū)別。2.解釋什么是時間序列的平穩(wěn)性？為什么大多數(shù)時間序列模型都要求數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性？3.簡述自回歸AR（p）模型和移動平均MA（q）模型的主要特點。4.什么是季節(jié)性時間序列？請列舉兩種常見的季節(jié)性時間序列模型。二、論述題（每小題10分，共30分）1.論述移動平均法和指數(shù)平滑法在時間序列預測中的優(yōu)缺點及適用場景。2.詳細說明如何通過自相關函數(shù)（ACF）和偏自相關函數(shù)（PACF）圖來識別時間序列模型的階數(shù)（p和q）。3.在時間序列分析中，模型診斷的重要性體現(xiàn)在哪些方面？請結合具體例子說明。三、計算題（每小題15分，共45分）1.某城市過去10年的年降水量（單位：毫米）數(shù)據(jù)如下：1200,1250,1280,1300,1320,1350,1380,1400,1420,1450。請計算該時間序列的3期移動平均和指數(shù)平滑（初始值取第一期數(shù)據(jù)），并簡要分析其趨勢。2.根據(jù)以下時間序列數(shù)據(jù)計算其自相關函數(shù)（ACF）和偏自相關函數(shù)（PACF）的前3階值，并初步判斷該時間序列可能適合哪種ARIMA模型進行擬合。數(shù)據(jù)：10,12,15,18,22,27,33,40,48,583.假設一個季節(jié)性ARIMA模型為SARIMA(1,1,1)(0,1,1)_12，請解釋該模型的含義，并說明其適用于哪種類型的時間序列數(shù)據(jù)。如果該模型已經(jīng)擬合完成，請描述如何進行模型診斷，并指出可能存在的問題及相應的處理方法。四、應用題（20分）某電商平臺過去5年的季度銷售額（單位：萬元）數(shù)據(jù)如下：100,120,150,180,220,260,310,350,400,450,500,550。請運用適當?shù)臅r間序列模型對該數(shù)據(jù)進行分析，并進行未來一個季度的銷售額預測。在分析過程中，需要說明模型的選擇理由、模型的擬合過程（無需具體計算參數(shù)）、模型診斷結果以及預測結果。可以簡要說明使用了哪些統(tǒng)計軟件或函數(shù)。試卷答案一、簡答題1.時間序列數(shù)據(jù)是按照一定時間順序排列的數(shù)據(jù)，反映了現(xiàn)象隨時間變化的動態(tài)過程；非時間序列數(shù)據(jù)則沒有時間順序的限制，可以是橫截面數(shù)據(jù)或實驗數(shù)據(jù)等。2.時間序列的平穩(wěn)性是指時間序列的統(tǒng)計特性（如均值、方差、自協(xié)方差）不隨時間推移而變化。大多數(shù)時間序列模型要求數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性，因為非平穩(wěn)數(shù)據(jù)直接建?？赡軙е骂A測結果偏差增大或模型不穩(wěn)定，而平穩(wěn)性假設是經(jīng)典統(tǒng)計推斷和許多模型（如ARIMA）有效性的基礎。3.自回歸AR(p)模型假設當前值依賴于過去p個值與誤差項的線性組合，模型形式為Y_t=c+Σ(φ_i*Y_(t-i))+ε_t。其主要特點是具有“持續(xù)性”，即過去值的效應會逐漸減弱但持續(xù)存在。移動平均MA(q)模型假設當前值依賴于過去q個誤差項的線性組合，模型形式為Y_t=c+ε_t+Σ(θ_i*ε_(t-i))。其主要特點是當前值直接受到近期誤差項的影響，且影響會隨時間衰減。4.季節(jié)性時間序列是指數(shù)據(jù)在一年內或特定周期內呈現(xiàn)重復出現(xiàn)的模式或波動。常見的季節(jié)性時間序列模型包括：季節(jié)性自回歸積分移動平均模型（SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s)，它結合了ARIMA模型和季節(jié)性因素；季節(jié)性差分指數(shù)模型（如乘法或加法模型），通過差分消除季節(jié)性影響。二、論述題1.移動平均法通過計算最近k期數(shù)據(jù)的平均值來預測下一期值。其優(yōu)點是簡單直觀，易于理解和使用，能平滑短期波動。缺點是未充分利用所有歷史信息，對長期趨勢反應遲鈍，且當k選擇不當或數(shù)據(jù)有長期趨勢/季節(jié)性時預測誤差可能較大。適用于數(shù)據(jù)波動較小、呈現(xiàn)短期周期性或需要快速獲取預測值的場景。指數(shù)平滑法賦予近期數(shù)據(jù)更高的權重，權重呈指數(shù)遞減。優(yōu)點是充分利用了所有歷史信息，計算相對簡單，對近期變化反應靈敏。缺點是平滑程度受平滑系數(shù)α影響較大，選擇不當可能導致預測偏差。適用于數(shù)據(jù)無明顯長期趨勢或季節(jié)性，或作為ARIMA模型定階的輔助方法。2.通過ACF和PACF圖識別模型階數(shù)：首先觀察PACF圖，從第p階截尾（突然變?yōu)?或接近0）或顯著下降并進入置信區(qū)間，確定自回歸項階數(shù)p。然后觀察ACF圖，從第q階截尾或顯著下降并進入置信區(qū)間，確定移動平均項階數(shù)q。對于SARIMA模型，需分別對非季節(jié)性和季節(jié)性部分進行此分析，注意季節(jié)性滯后階數(shù)為s。判斷時需結合模型理論和數(shù)據(jù)特征，并對截尾和拖尾情況進行解釋。3.模型診斷的重要性體現(xiàn)在：驗證模型假設是否滿足，確保模型的有效性和預測可靠性。診斷內容包括檢查殘差序列是否為白噪聲（均值0、方差恒定、自相關為0），殘差與預測值的關系，以及是否存在未建模的異方差、自相關或季節(jié)性結構。例如，若殘差圖顯示明顯的周期性模式，說明原模型未能充分捕捉季節(jié)性，可能需要增加季節(jié)性項或調整差分階數(shù)。三、計算題1.3期移動平均：1230,1260,1290,1320,1350,1380,1410,1440。指數(shù)平滑（α=0.1,S_0=Y_1=1200）：S_1=1200,S_2=1209,S_3=1218.1,S_4=1227.79,S_5=1237.02,S_6=1246.02,S_7=1255.82,S_8=1265.43,S_9=1274.84,S_{10}=1284.15。分析：移動平均線較為平滑，指數(shù)平滑線緊隨數(shù)據(jù)變化，兩者均顯示降水量逐年增加的趨勢。2.ACF和PACF計算（需手工計算或軟件輔助）：*ACF(1)≈0.555,ACF(2)≈0.308,ACF(3)≈0.090。*PACF(1)≈0.555,PACF(2)≈-0.231,PACF(3)≈0.036。初步判斷：ACF拖尾（逐漸變小并進入置信區(qū)間），PACF在1階截尾。這初步表明該序列可能適合AR(1)模型。3.模型含義與適用性：SARIMA(1,1,1)(0,1,1)_12模型包含一個非季節(jié)性自回歸項（p=1）、一個非季節(jié)性差分項（d=1）、一個非季節(jié)性移動平均項（q=1）、一個季節(jié)性差分項（D=1）、一個季節(jié)性移動平均項（Q=1）和季節(jié)周期s=12。適用于具有明顯一階非季節(jié)性差分（消除趨勢）、存在季節(jié)性波動（通過季節(jié)性差分消除）、且季節(jié)性波動受近期誤差和非季節(jié)性滯后值及季節(jié)性誤差影響的時間序列數(shù)據(jù)。模型診斷：擬合完成后，需檢查模型殘差。使用ACF和PACF圖檢驗殘差的自相關性，應顯示為白噪聲。進行Ljung-Box檢驗，檢驗殘差是否存在自相關。查看殘差圖，應無明顯模式。若診斷顯示殘差存在自相關或異方差，可能存在的問題包括：模型階數(shù)設定錯誤、遺漏了重要的自回歸/移動平均/季節(jié)性項、差分階數(shù)不當。處理方法包括：重新識別模型階數(shù)、增加/修改模型項、調整差分階數(shù)或考慮使用廣義最小二乘法（GLS）等。四、應用題分析過程：1.數(shù)據(jù)觀察與初步判斷：觀察數(shù)據(jù)（100,120,...,550），呈現(xiàn)明顯的逐年增長趨勢，且增長速度加快，可能存在一定的季度增長差異。2.模型選擇理由：考慮到數(shù)據(jù)存在明顯趨勢，首先需要進行差分處理。初步嘗試一階差分（ΔY_t=Y_t-Y_(t-1)），差分后數(shù)據(jù)（20,30,...,80）增長趨勢減緩，但可能仍存在季度差異。為消除趨勢并可能存在的季節(jié)性，考慮使用SARIMA模型。初步選擇SARIMA(1,1,1)(0,1,1)_4模型，其中非季節(jié)性部分為ARIMA(1,1,1)，季節(jié)性周期s=4（季度）。3.模型擬合與診斷（示意）：使用統(tǒng)計軟件（如R的`forecast`包或Python的`statsmodels`庫）擬合SARIMA(1,1,1)(0,1,1)_4模型。軟件將輸出模型參數(shù)估計值、AIC/BIC信息、殘差標準差等。進行模型診斷：檢查殘差ACF/PACF圖，若均顯示為白噪聲；進行Ljung-Box檢驗，p值顯著，表明殘差無自相關。殘差圖無明顯模式。則認為模型擬合良好。4.預測：利用擬合好的模型進行未來一個季度（第11季度）的預測。軟件將輸出預測值及置信區(qū)間。5.簡要說明軟件：過程中使