2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模的定義及其在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。二、某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每種產(chǎn)品都需要經(jīng)過(guò)兩種不同的工序加工。已知生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需要消耗第一種工序2小時(shí)，第二種工序1小時(shí)；生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需要消耗第一種工序1小時(shí)，第二種工序2小時(shí)。工廠每月可用于第一種工序的總工時(shí)為300小時(shí)，用于第二種工序的總工時(shí)為250小時(shí)。產(chǎn)品A的售價(jià)為每單位200元，產(chǎn)品B的售價(jià)為每單位150元。假設(shè)市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品A的需求不超過(guò)150單位，對(duì)產(chǎn)品B的需求不超過(guò)100單位。工廠希望每月獲得最大利潤(rùn)，請(qǐng)建立此問(wèn)題的線性規(guī)劃模型。三、某城市計(jì)劃修建一條從市中心到機(jī)場(chǎng)的地鐵線路。已知市中心到機(jī)場(chǎng)的距離為20公里，計(jì)劃每隔2公里建一個(gè)車(chē)站。由于資金限制，地鐵線路的總長(zhǎng)度不能超過(guò)25公里。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，確定車(chē)站的最佳位置，使得乘客從市中心到機(jī)場(chǎng)的總出行時(shí)間最短。假設(shè)地鐵的平均速度為40公里/小時(shí)，乘客步行速度為5公里/小時(shí)，乘客在車(chē)站的候車(chē)時(shí)間忽略不計(jì)。四、某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植兩種作物X和Y，種植這兩種作物需要消耗土地、水和勞動(dòng)力等資源。已知種植每單位作物X需要消耗土地2畝，水3立方米，勞動(dòng)力1個(gè)工時(shí)；種植每單位作物Y需要消耗土地1畝，水2立方米，勞動(dòng)力2個(gè)工時(shí)。農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有土地100畝，水150立方米，勞動(dòng)力120個(gè)工時(shí)。作物X的售價(jià)為每單位100元，作物Y的售價(jià)為每單位80元。農(nóng)場(chǎng)希望獲得最大收入，請(qǐng)建立此問(wèn)題的線性規(guī)劃模型，并說(shuō)明模型中哪些是決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。五、某公司計(jì)劃投資一個(gè)新項(xiàng)目，有三種投資方案可供選擇。方案A的預(yù)期收益為100萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為20萬(wàn)元；方案B的預(yù)期收益為80萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為10萬(wàn)元；方案C的預(yù)期收益為120萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為30萬(wàn)元。假設(shè)該公司認(rèn)為預(yù)期收益的期望值為90萬(wàn)元，請(qǐng)使用決策樹(shù)方法分析該公司應(yīng)該選擇哪種投資方案。六、某傳染病的傳播過(guò)程可以用SIR模型來(lái)描述，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示康復(fù)人群。請(qǐng)簡(jiǎn)述SIR模型的基本思想，并說(shuō)明模型中各個(gè)參數(shù)的含義。七、某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的需求量服從正態(tài)分布，均值為1000件，標(biāo)準(zhǔn)差為200件。產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件10元，庫(kù)存成本為每件每年1元，缺貨成本為每件5元。公司希望最小化總成本，請(qǐng)建立此問(wèn)題的庫(kù)存模型，并計(jì)算公司應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品才能最小化總成本。八、請(qǐng)簡(jiǎn)述蒙特卡洛模擬方法的基本原理，并舉例說(shuō)明蒙特卡洛模擬方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。試卷答案一、數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。它將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)分析和計(jì)算，得出結(jié)論并應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，從而幫助人們更好地理解問(wèn)題、解決問(wèn)題或預(yù)測(cè)未來(lái)。二、決策變量：X：每月生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量（單位：件）Y：每月生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量（單位：件）目標(biāo)函數(shù)：最大化利潤(rùn)Z=200X+150Y約束條件：1.第一種工序工時(shí)約束：2X+Y≤3002.第二種工序工時(shí)約束：X+2Y≤2503.市場(chǎng)需求約束：X≤1504.市場(chǎng)需求約束：Y≤1005.非負(fù)約束：X≥0,Y≥0三、決策變量：X1,X2,...,X10：分別表示10個(gè)車(chē)站的位置（單位：公里）目標(biāo)函數(shù)：最小化總出行時(shí)間Z=5(20-X1)+40(20-X1)+5(20-X2)+40(20-X2)+...+5(X10-20)+40(X10-20)約束條件：1.車(chē)站位置約束：0<X1<X2<...<X10<202.地鐵線路總長(zhǎng)度約束：X10-X1+(X10-X2)+...+(X10-X9)≤25四、決策變量：X：種植作物X的數(shù)量（單位：?jiǎn)挝唬℡：種植作物Y的數(shù)量（單位：?jiǎn)挝唬┠繕?biāo)函數(shù)：最大化收入Z=100X+80Y約束條件：1.土地約束：2X+Y≤1002.水約束：3X+2Y≤1503.勞動(dòng)力約束：X+2Y≤1204.非負(fù)約束：X≥0,Y≥0模型中：決策變量：X,Y目標(biāo)函數(shù)：Z=100X+80Y約束條件：2X+Y≤100,3X+2Y≤150,X+2Y≤120,X≥0,Y≥0五、方案A的預(yù)期收益為100萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為20萬(wàn)元。方案B的預(yù)期收益為80萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為10萬(wàn)元。方案C的預(yù)期收益為120萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為30萬(wàn)元。公司認(rèn)為預(yù)期收益的期望值為90萬(wàn)元。構(gòu)建決策樹(shù)：1.方案A的期望收益偏差：|100-90|=10萬(wàn)元2.方案B的期望收益偏差：|80-90|=10萬(wàn)元3.方案C的期望收益偏差：|120-90|=30萬(wàn)元選擇期望收益偏差最小的方案，即方案A。六、SIR模型的基本思想是將人群分為三類(lèi)：易感人群（S）、感染人群（I）和康復(fù)人群（R），并建立微分方程組描述三類(lèi)人群數(shù)量隨時(shí)間的變化關(guān)系。模型中各個(gè)參數(shù)的含義如下：β：傳染率，表示易感人群與感染人群接觸后感染的概率γ：康復(fù)率，表示感染人群康復(fù)的概率S(t)：t時(shí)刻易感人群的數(shù)量I(t)：t時(shí)刻感染人群的數(shù)量R(t)：t時(shí)刻康復(fù)人群的數(shù)量七、決策變量：Q：每次生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量（單位：件）目標(biāo)函數(shù)：最小化總成本Z=生產(chǎn)成本+庫(kù)存成本+缺貨成本Z=10Q+1(Q-D)/2+5max(0,D-Q)約束條件：需求量D服從正態(tài)分布N(1000,200^2)計(jì)算庫(kù)存模型需要使用庫(kù)存理論中的公式或軟件進(jìn)行計(jì)算，具體計(jì)算過(guò)程略。八、蒙特卡洛模擬方法是一種基于隨機(jī)抽樣的數(shù)值