2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——控制理論在工程系統(tǒng)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項(xiàng)的字母填在括號內(nèi)）1.系統(tǒng)的特征方程為D(s)=s3+2s2+3s+4，根據(jù)勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)（）。A.有一根在s左半平面B.有兩根在s左半平面C.有一根在s右半平面D.所有根都在s左半平面2.若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=(s+2)/(s2+3s+2)，其零點(diǎn)是（）。A.-2B.-1C.1D.-33.已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=K/(s(s+1)(s+2))，當(dāng)K增大時(shí)，系統(tǒng)（）。A.穩(wěn)定性變好B.穩(wěn)定性變差C.穩(wěn)定性不變D.穩(wěn)定性變化趨勢不確定4.一階系統(tǒng)G(s)=1/(T?s+1)，其時(shí)間常數(shù)T?表示（）。A.系統(tǒng)的上升時(shí)間B.系統(tǒng)的超調(diào)量C.系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間D.系統(tǒng)響應(yīng)速度的快慢5.在控制系統(tǒng)中，引入負(fù)反饋的主要目的是（）。A.提高系統(tǒng)的型別B.減小系統(tǒng)的阻尼比C.提高系統(tǒng)的開環(huán)增益D.提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抑制干擾二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在橫線上）1.若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=5/(s2+2s+5)，其自然頻率ω?為______，阻尼比ζ為______。2.繪制奈奎斯特圖時(shí)，若開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s=jω處有一個(gè)零點(diǎn)，則奈奎斯特曲線在該點(diǎn)附近會(huì)______（填“穿越”或“繞過”），并且穿越方向與原點(diǎn)距離為______。3.對于二階系統(tǒng)，若要求其單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量σ?≤5%，則阻尼比ζ的取值范圍應(yīng)在______之間。4.將傳遞函數(shù)G(s)=s/(s2+s+1)變換為狀態(tài)空間表達(dá)式（可控標(biāo)準(zhǔn)形），其狀態(tài)方程為x?=Ax，其中A=______。5.在PID控制中，比例(P)、積分(I)、微分(D)三項(xiàng)分別主要用來克服系統(tǒng)的______響應(yīng)、______響應(yīng)和抑制______。三、計(jì)算題（共45分）1.（10分）已知閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為s?+2s3+3s2+4s+5=0。試用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并說明在s右半平面的根的個(gè)數(shù)。2.（10分）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=K(s+3)/(s(s+1)(s+2))。試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖（至少標(biāo)出起點(diǎn)、終點(diǎn)、分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)、漸近線參數(shù)），并分析當(dāng)K從0變化到無窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)根的變化趨勢。3.（15分）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=10/(s2+2s+10)。試求該系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)，并計(jì)算其超調(diào)量σ?、上升時(shí)間t?和調(diào)節(jié)時(shí)間t?。4.（10分）設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K/(s(s+1))。若要求閉環(huán)系統(tǒng)在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差ess≤0.1，試確定滿足此要求的開環(huán)增益K的取值范圍。并說明該系統(tǒng)是否可以通過添加積分環(huán)節(jié)來消除穩(wěn)態(tài)誤差。四、設(shè)計(jì)題（20分）已知一階被控對象G?(s)=1/(10s+1)，希望設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無超調(diào)（即σ?=0%），且調(diào)節(jié)時(shí)間t?盡可能短。請采用合適的控制策略（如PID控制），確定控制器的傳遞函數(shù)Gc(s)，并簡要說明設(shè)計(jì)思路。試卷答案一、選擇題1.C2.A3.B4.D5.D二、填空題1.2；0.52.繞過；無窮大3.0<ζ≤0.74.[[-1-1],[10]]5.穩(wěn)態(tài)；滯后；干擾三、計(jì)算題1.解析思路：利用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。首先構(gòu)造勞斯表，然后觀察勞斯表第一列元素的正負(fù)號變化。第一列元素中出現(xiàn)負(fù)號表示對應(yīng)頻率平面的右半平面有根。根據(jù)第一列元素符號變化的次數(shù)確定右半平面根的個(gè)數(shù)。答案：勞斯表：s3|135s2|240s1|100s?|500第一列元素符號變化一次（從+1到-1）。系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有一根根。2.解析思路：繪制根軌跡圖需遵循根軌跡繪制的基本規(guī)則：起點(diǎn)和終點(diǎn)、漸近線、實(shí)軸上的根、分離與會(huì)合點(diǎn)、根軌跡的走向。首先確定起點(diǎn)（K=0，s=0,-1,-2）和終點(diǎn)（K→∞，s=-3）。計(jì)算漸近線數(shù)目（n-m=1條）、角度（-180°）和交點(diǎn)（-2）。在實(shí)軸上，-∞到-3和-1之間為根軌跡段。檢查分離點(diǎn)（實(shí)軸上G(s)H(s)符號改變的點(diǎn)，需解方程），此處無分離點(diǎn)。會(huì)合點(diǎn)（虛軸上G(s)H(s)符號改變的點(diǎn)，需解方程），此處無會(huì)合點(diǎn)。根軌跡從-2出發(fā)，沿實(shí)軸到-3，然后進(jìn)入s左半平面，隨著K增大，閉環(huán)根逐漸向-3靠近。答案：（此處無法繪制圖形，請根據(jù)規(guī)則自行繪制）根軌跡從s=0,-1,-2出發(fā)，沿實(shí)軸到s=-3終止。有一條漸近線，位于s=-2，角度為-180°。閉環(huán)根隨著K增大，從s=0,-1,-2逐漸移動(dòng)到s=-3附近。3.解析思路：對于標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)，可以直接利用二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)公式求解性能指標(biāo)。首先將給定傳遞函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)形式對比，確定ωn和ζ。然后根據(jù)公式計(jì)算σ?=exp(-ζπ/√(1-ζ2))*100%，t?=π/ωd=π/ωn√(1-ζ2)（ωd=ωn√(1-ζ2)為阻尼振蕩頻率），t?=4ζωn。注意檢查阻尼比是否在0和1之間。答案：對比G(s)=10/(s2+2s+10)，得ωn2=10,ωn=√10,2ζωn=2,ζ=1/√10。σ?=exp(-π/√(1-(1/√10)2))*100%≈13.5%。t?=π/(√10*√(1-(1/√10)2))≈2.2s。t?=4*(1/√10)*√10=4s。4.解析思路：計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差ess需要利用終值定理，ess=lim(s→0)sR(s)/(1+G(s))。對于單位反饋系統(tǒng)，ess=lim(s→0)s/(1+G(s))。將G(s)=K/(s(s+1))代入計(jì)算。為消除穩(wěn)態(tài)誤差，需要系統(tǒng)至少有一個(gè)積分環(huán)節(jié)（即開環(huán)傳遞函數(shù)中s=0的因子）。檢查G(s)是否含有s=0的因子。答案：G(s)=K/(s(s+1))。ess=lim(s→0)s/(1+K/(s(s+1)))=lim(s→0)s2(s+1)/(s(s+1)+K)=lim(s→0)s(s+1)/(s+1+K/s)=0/(1+K/0)=0。若要消除穩(wěn)態(tài)誤差，需要G(s)H(s)含有s=0的因子，即系統(tǒng)需要串聯(lián)一個(gè)積分環(huán)節(jié)（1/s）。此時(shí)ess=lim(s→0)s/(1+K/(s(s+1))*(1/s))=lim(s→0)s/(1+K/(s2+s))=lim(s→0)s3(s+1)/(s2+s+K)=0。因此，原系統(tǒng)已是無差系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差為0，不需要添加積分環(huán)節(jié)。滿足ess≤0.1的K值范圍是0<K<∞。四、設(shè)計(jì)題解析思路：設(shè)計(jì)目標(biāo)是閉環(huán)系統(tǒng)無超調(diào)（σ?=0%），這意味著閉環(huán)系統(tǒng)必須是臨界阻尼或過阻尼的二階系統(tǒng)（ζ=1或ζ>1）。首先確定被控對象的傳遞函數(shù)G?(s)=1/(10s+1)，其時(shí)間常數(shù)為T=10。目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)控制器Gc(s)使得閉環(huán)傳遞函數(shù)具有臨界阻尼特性。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gb(s)=Gc(s)G?(s)/(1+Gc(s)G?(s))。要求閉環(huán)系統(tǒng)為臨界阻尼二階系統(tǒng)，其標(biāo)準(zhǔn)形式為Gb(s)=ωn2/(s2+2ωns+ωn2)，其中ζ=1。通過比較分母多項(xiàng)式，可以推導(dǎo)出Gc(s)的形式。由于被控對象是一個(gè)積分環(huán)節(jié)的慣性環(huán)節(jié)，為了使其成為臨界阻尼，控制器通常需要引入一個(gè)積分環(huán)節(jié)和一個(gè)額外的零點(diǎn)來抵消原系統(tǒng)的零點(diǎn)并增加一個(gè)極點(diǎn)。常見的控制器形式為PI控制器或PID控制器。這里選擇PID控制器Gc(s)=Kp(s+z?)/(Tis+1)，其中Kp,Ti,z?為待定參數(shù)。需要選擇z?=1（抵消G?(s)的零點(diǎn)s=-1/10）和Ti=10（增加一個(gè)極點(diǎn)s=-1/Ti）。為簡化，可以設(shè)Kp=1，得到Gc(s)=(s+1)/(10s+1)。驗(yàn)證：閉環(huán)傳遞函數(shù)Gb(s)=[(s+1)/(10s+1)]*[1/(10s+1)]/[1+(s+1)/(10s+1)]*[1/(10s+1)]=(s+1)/(100s3+111s2+21s+1)。要求為臨界阻尼，分母應(yīng)為s2+2s+1。比較可知，上述Gc(s)可以使閉環(huán)系統(tǒng)成為臨界阻尼（如果Kp足夠大）。更直接的方法是使用狀態(tài)反饋或輸出反饋設(shè)計(jì)，但對于此題，提供一個(gè)基于頻域或古典控制理論的設(shè)計(jì)思路即可。答案：采用PID控制策略。設(shè)控制器傳遞函數(shù)為Gc(s)=Kp(s+z?)/(Tis+1)。為使閉環(huán)系統(tǒng)無超調(diào)，需使閉環(huán)系統(tǒng)為臨界阻尼二階系統(tǒng)?？紤]被控對象G?(s)=1/(10s+1)含有零點(diǎn)s=-1/10。設(shè)計(jì)PID控制器Gc(s)=Kp(s+1/10)/(Tis+1)=Kp(