專題37阿基米德三角形【方法技巧與總結(jié)】如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過(guò)作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．2、若阿基米德三角形的底邊即弦過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)，則另一頂點(diǎn)的軌跡為一條直線．3、若直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)．4、底邊長(zhǎng)為的阿基米德三角形的面積的最大值為．5、若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．6、點(diǎn)的坐標(biāo)為；7、底邊所在的直線方程為8、的面積為．9、若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則底邊的直線方程為．10、如圖1，若為拋物線弧上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)處的切線與，分別交于點(diǎn)C，D，則.11、若為拋物線弧上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點(diǎn)C，D，則．12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．圖1【題型歸納目錄】題型一：定點(diǎn)問(wèn)題題型二：交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題題型三：切線垂直問(wèn)題題型四：面積問(wèn)題題型五：外接圓問(wèn)題題型六：最值問(wèn)題題型七：角度相等問(wèn)題【典例例題】題型一：定點(diǎn)問(wèn)題例1．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．例2．已知曲線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)．（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的方程．例3．在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，為的中點(diǎn)．（1）證明：軸；（2）直線是否恒過(guò)一定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式1．在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，為的中點(diǎn)．（1）證明：軸；（2）直線是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型二：交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題例4．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)，到直線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過(guò)定點(diǎn)；（Ⅲ）過(guò)（Ⅱ）中的點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，求，交點(diǎn)滿足的軌跡方程．例5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在軸上方，且到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1，（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別異于原點(diǎn)，在曲線的，兩點(diǎn)處的切線分別為，且，交于點(diǎn)，求證：在定直線上．例6．已知拋物線．的焦點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，與曲線相交于點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，求證點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值．變式2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）若以，為直徑的圓的方程為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)，分別作拋物線的切線，，證明：，的交點(diǎn)在定直線上．變式3．拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其準(zhǔn)線的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作拋物線的切線，證明兩條切線的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．題型三：切線垂直問(wèn)題例7．已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：切線和互相垂直；（2）求證：直線與軸平行；（3）求面積的最小值．例8．已知拋物線的方程為，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求切線，的方程；（2）若點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線和互相垂直．例9．已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓和拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)．設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．變式4．拋物級(jí)的焦點(diǎn)到直線的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于，，，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線，兩切線的交點(diǎn)為，求證：．題型四：面積問(wèn)題例10．已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最小值．例11．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比動(dòng)點(diǎn)到直線的距離大1，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)做曲線的切線，切點(diǎn)分別為、，求的面積的最小值例12．已知點(diǎn)、，直線與相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之差為，點(diǎn)的軌跡為曲線．（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；（Ⅱ）為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)做曲線的切線，切點(diǎn)分別為、，求的面積的最小值．變式5．如圖，已知拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，焦點(diǎn)為，且，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于點(diǎn)，，且直線交線段于點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）（?。┣笞C：為定值；（ⅱ）設(shè)，的面積分別為，，求的最小值．變式6．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，過(guò)、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求面積的最小值．題型五：外接圓問(wèn)題例13．已知是拋物線的頂點(diǎn)，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．（1）試判斷直線是否經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn)？若是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓圓心，求點(diǎn)的軌跡方程．例14．已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程．題型六：最值問(wèn)題例15．如圖，已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，與軸分別交于，．（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，記，兩點(diǎn)到直線的距離分別為，；求當(dāng)取最大值時(shí)的面積．題型七：角度相等問(wèn)題例16．如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作拋物線的兩條切線、，且與拋物線分別相切于、兩點(diǎn)．（1）求的重心的