2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——線性代數(shù)與嵌入式系統(tǒng)的關系考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設V={(x?,x?,...,x?)|x?+x?+...+x?=0,x?∈R}是R?中的子集。證明V是R?的一個子空間，并求V的維數(shù)及一個基。二、計算矩陣乘積AB，其中A=[(1,2),(3,4),(5,6)],B=[(2,0,-1),(1,1,3)]。三、求解線性方程組：x?-2x?+x?=12x?+x?-3x?=-2-3x?+x?+2x?=0四、設矩陣A=[(1,1,1),(1,0,2),(0,1,-1)]。求A的特征值和對應的特征向量。五、將矩陣A=[(2,1),(1,2)]對角化。即求可逆矩陣P和對角矩陣D，使得A=PDP?1。六、已知3×3矩陣A的逆矩陣為A?1=[(1/2,0,-1/2),(-1/3,1/3,1/3),(1/6,-1/3,1/6)]。求行列式det(A)。七、考慮R2上的線性變換T：T((x?,x?))=(x?+x?,x?-x?)。1.求T在標準基{(1,0),(0,1)}下的矩陣表示。2.求T的核(Kernel)和像(Image)，并說明它們各自的維數(shù)。八、解釋如何利用線性代數(shù)中的主成分分析（PCA）思想對嵌入式系統(tǒng)中的圖像數(shù)據(jù)進行降維，以提高處理速度或降低存儲需求。簡要說明其基本步驟和涉及的關鍵數(shù)學概念。九、在嵌入式系統(tǒng)設計中，濾波器是常用模塊。簡述線性濾波器（如FIR濾波器）的設計過程中可能如何應用卷積運算，并說明卷積運算在此場景下的作用。十、在機器人或相機標定問題中，常常需要求解一系列線性方程組來獲取未知參數(shù)。假設通過實驗測量得到4組對應關系，建立了一個4x3的線性方程組Ax=b，其中A的秩為3。討論該方程組解的存在性和唯一性，并解釋其幾何意義。試卷答案一、證明V是R?的子空間：1.零向量0=(0,0,...,0)∈V，因為0?+0?+...+0?=0。2.設u=(u?,u?,...,u?),v=(v?,v?,...,v?)∈V，則u?+u?+...+u?=0且v?+v?+...+v?=0。u+v=(u?+v?,u?+v?,...,u?+v?)，且(u?+v?)+(u?+v?)+...+(u?+v?)=(u?+u?+...+u?)+(v?+v?+...+v?)=0+0=0。故u+v∈V。3.設u=(u?,u?,...,u?)∈V，k∈R，則ku=(ku?,ku?,...,ku?)，且k(u?+u?+...+u?)=k*0=0。故ku∈V。V對加法和數(shù)乘封閉，因此V是R?的子空間。求V的維數(shù)及一個基：V中的向量滿足x?+x?+...+x?=0。可以表示為x?=-(x?+x?+...+x???)。令x?,x?,...,x???為自由變量，則V中任意向量可寫為：(x?,x?,...,x???,-x?-x?-...-x???)。取以下n-1個向量：v?=(1,0,0,...,0,-1)v?=(0,1,0,...,0,-1)...v???=(0,0,...,1,-1)這些向量顯然在V中，且線性無關（若線性組合為0，則所有x?=0，矛盾）。任一v∈V均可由v?,v?,...,v???線性表示。故V的維數(shù)為n-1，v?,v?,...,v???是V的一組基。二、AB=[(1,2),(3,4),(5,6)]*[(2,0,-1),(1,1,3)]=[(1*2+2*1,1*0+2*1,1*(-1)+2*3),(3*2+4*1,3*0+4*1,3*(-1)+4*3),(5*2+6*1,5*0+6*1,5*(-1)+6*3)]=[(4,2,5),(10,4,9),(16,6,11)]三、對增廣矩陣進行行變換：[1,-2,1|1][2,1,-3|-2][-3,1,2|0]~[1,-2,1|1][0,5,-5|-4][0,-5,5|3]~[1,-2,1|1][0,5,-5|-4][0,0,0|-1]~[1,-2,1|1][0,1,-1|-4/5][0,0,0|-1]~[1,0,-1|9/5][0,1,-1|-4/5][0,0,0|-1]~[1,0,-1|9/5][0,1,-1|-4/5][0,0,0|1]此形式表明方程組無解，因為最后一行等價于0x?+0x?+0x?=1，這是矛盾的。四、計算特征多項式p(λ)=det(A-λI)：p(λ)=det([(1-λ,1,1),(1,-λ,2),(0,1,-1-λ)])=(1-λ)det([(-λ,2),(1,-1-λ)])-1*det([(1,2),(0,-1-λ)])=(1-λ)[(-λ)(-1-λ)-2*1]-1[(1)(-1-λ)-2*0]=(1-λ)(λ2+λ-2)-(λ+1)=(1-λ)(λ-1)(λ+2)-(λ+1)=(λ-1)2(λ+2)-(λ+1)=(λ2-2λ+1)(λ+2)-(λ+1)=λ3+2λ2-2λ2-4λ+λ+2-λ-1=λ3-3λ+1特征值為λ?=1(重根),λ?=-2。求λ?=1對應的特征向量：(A-I)x=0[(0,1,1),(1,-1,2),(0,1,-2)]*[(x?),(x?),(x?)]=[(x?+x?),(x?-x?+2x?),(x?-2x?)]=[0,0,0]得x?+x?=0,x?-x?+2x?=0,x?-2x?=0。由x?-2x?=0得x?=2x?。代入x?+x?=0得2x?+x?=0,3x?=0,x?=0。則x?=0,x?-0+0=0,x?=0。解為x=t[(1),(0),(0)],t≠0。對應特征向量為(1,0,0)。求λ?=-2對應的特征向量：(A+2I)x=0[(3,1,1),(1,2,2),(0,1,1)]*[(x?),(x?),(x?)]=[(3x?+x?+x?),(x?+2x?+2x?),(x?+x?)]=[0,0,0]得3x?+x?+x?=0,x?+2x?+2x?=0,x?+x?=0。由x?+x?=0得x?=-x?。代入x?+2(-x?)+2x?=0得x?+0=0,x?=0。代入3x?+(-x?)+x?=0得0=0(恒成立)。解為x=s[(0),(-1),(1)],s≠0。對應特征向量為(0,-1,1)。特征值λ?=1對應的特征向量為k?(1,0,0)(k?≠0)，特征值λ?=-2對應的特征向量為k?(0,-1,1)(k?≠0)。五、計算特征值：det(A-λI)=det([(2-λ,1),(1,2-λ)])=(2-λ)(2-λ)-1*1=λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3)。特征值為λ?=1,λ?=3。求λ?=1對應的特征向量：(A-I)x=0[(1,1),(1,1)]*[(x?),(x?)]=[(x?+x?),(x?+x?)]=[0,0]得x?+x?=0,即x?=-x?。解為x=t[(1),(-1)],t≠0。特征向量為v?=(1,-1)。求λ?=3對應的特征向量：(A-3I)x=0[(2-3,1),(1,2-3)]*[(x?),(x?)]=[(-1,1),(1,-1)]*[(x?),(x?)]=[(-x?+x?),(x?-x?)]=[0,0]得-x?+x?=0,即x?=x?。解為x=s[(1),(1)],s≠0。特征向量為v?=(1,1)。構造矩陣P和D：P=[v?,v?]=[(1,-1),(1,1)]D=[(λ?,0),(0,λ?)]=[(1,0),(0,3)]驗證P?1AP=D：P?1=1/[(1)(1)-(-1)(1)]*[(1,-1),(-1,1)]=1/2*[(1,-1),(-1,1)]=[(1/2,-1/2),(-1/2,1/2)]計算P?1AP：[(1/2,-1/2),(-1/2,1/2)]*[(2,1),(1,2)]*[(1,-1),(1,1)]=[(1/2,-1/2),(-1/2,1/2)]*[(3,0),(0,3)]=[(3/2,0),(0,3/2)]=[(1,0),(0,3)]=D。故A=PDP?1。六、det(A)=1/det(A?1)=1/(1/2*1/2*1/2-1/3*(-1/3)*(-1/3)-1/6*(-1/3)*1/2-1/6*1/3*(-1/2))=1/(1/6-1/27+1/36+1/36)=1/(1/6-1/27+2/36)=1/(1/6-1/27+1/18)=1/(1/6-1/27+3/54)=1/(9/54-2/54+3/54)=1/(10/54)=1/(5/27)=27/5。七、1.T((x?,x?))=(x?+x?,x?-x?)。在標準基e?=(1,0),e?=(0,1)下：T(e?)=T((1,0))=(1+0,1-0)=(1,1)。T(e?)=T((0,1))=(0+1,0-1)=(1,-1)。T在標準基下的矩陣表示為A=[(1,1),(1,-1)]。2.核(Kernel)T?1({0})={x∈R2|T(x)=0}。即(x?+x?,x?-x?)=(0,0)。得x?+x?=0,x?-x?=0。解為x?=0,x?=0。核中只有零向量，dim(Ker(T))=0。像是T(R2)={T(x)|x∈R2}={(x?+x?,x?-x?)|x?,x?∈R}。令y?=x?+x?,y?=x?-x?。解出x?=(y?+y?)/2,x?=(y?-y?)/2。由于y?,y?是任意實數(shù)，x?,x?也是任意實數(shù)。故T(R2)=R2。dim(Im(T))=2。八、線性代數(shù)中的主成分分析（PCA）可用于圖像數(shù)據(jù)降維。其基本思想是：圖像數(shù)據(jù)（如像素矩陣）通常包含冗余信息。PCA通過正交變換將原始數(shù)據(jù)投影到一組新的正交基上，這組新基的分量（主成分）按照它們對數(shù)據(jù)方差的貢獻度排序。通常，前幾個主成分包含了數(shù)據(jù)中的大部分信息。因此，只保留前幾個最重要的主成分，即對數(shù)據(jù)投影到低維子空間，可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)降維。降維后的數(shù)據(jù)保留了原始數(shù)據(jù)的主要特征，可用于后續(xù)處理（如加快傳輸、減少存儲空間、提高分類/識別算法效率等）。涉及的關鍵數(shù)學概念包括：數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣、特征值分解、特征向量、方差貢獻率。九、線性濾波器（如FIR濾波器）的設計和應用中廣泛使用卷積運算。FIR濾波器的輸出y[n]是其輸入x[n]與一個固定的有限長度的沖激響應h[n]進行卷積的結果：y[n]=Σx[k]h[n-k]=Σx[n-k]h[k](交換卷積順序)。沖激響應h[n]是濾波器特性的數(shù)學表示，它決定了濾波器對輸入信號的不同頻率成分的處理方式（如低通、高通、帶通等）。卷積運算在此場景下的作用是：將輸入信號x[n]通過濾波器的“線性時不變”特性進行處理，生成輸出信號y[n]。具體來說，卷積計算了輸入信號在各個時刻的加權疊加，權重由沖激響應h[n]在對應時刻的值決定。通過設計合適的h[n]，可以使特定頻率范圍的信號分量得到放大（通過零相位濾波器），而其他頻率分量的信號分量得到抑制或衰減，從而達到信號處理的目的（如去除噪聲、平滑圖像、提取特征等）。十、在機器人或相機標定問題中，通常需要根據(jù)多組已知世界坐標點P?和對應圖像坐標點p?的測量數(shù)據(jù)，來估計相機的外參（世界坐標系到相機坐標系的旋轉矩陣R和平移向量t）和內參（相機光學參數(shù)，如焦距f和主點(c?,c?)）。這往往