2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——算法復(fù)雜度與計(jì)算理論的研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)）1.對(duì)于算法A和B，其時(shí)間復(fù)雜度分別為T_A(n)=50n^2+10n+1和T_B(n)=2^n+n^3。當(dāng)n足夠大時(shí)，以下選項(xiàng)正確描述了它們時(shí)間復(fù)雜度增長(zhǎng)率的是（）。(A)A快于B(B)B快于A(C)A與B一樣快(D)無(wú)法確定2.如果一個(gè)問題L可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被一個(gè)確定性圖靈機(jī)接受，那么問題L屬于哪個(gè)復(fù)雜性類？（）(A)NP-Hard(B)NP-Complete(C)P(D)Co-NP3.以下哪個(gè)說(shuō)法是正確的？（）(A)如果P=NP，那么所有NP完全問題都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被解決。(B)如果P≠NP，那么存在一些NP完全問題無(wú)法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被解決。(C)任何屬于P的問題也必然屬于NP。(D)任何屬于NP的問題也必然屬于P。4.證明一個(gè)問題L是NP完全的，通常需要哪兩個(gè)步驟？（）(A)證明L屬于P，并證明P=NP。(B)證明L屬于NP，并證明存在一個(gè)NP完全問題可以多項(xiàng)式時(shí)間歸約到L。(C)證明L不屬于P，并證明P≠NP。(D)證明L是可計(jì)算的，并證明它是圖靈可判定的。5.根據(jù)Church-Turing論題，以下哪個(gè)選項(xiàng)是對(duì)圖靈機(jī)模型能力的恰當(dāng)描述？（）(A)圖靈機(jī)可以解決所有數(shù)學(xué)問題。(B)圖靈機(jī)可以模擬任何物理上可實(shí)現(xiàn)的計(jì)算過(guò)程。(C)圖靈機(jī)只能處理有限集合中的元素。(D)圖靈機(jī)只能進(jìn)行簡(jiǎn)單的算術(shù)運(yùn)算。二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在橫線上）1.如果一個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為T(n)=3n^3+2n^2+5n+7，那么它的漸近時(shí)間復(fù)雜度（使用大O表示法）是________。2.語(yǔ)言{<w>|w是含有相同數(shù)量0和1的字符串}屬于P類，可以用一個(gè)______（自動(dòng)機(jī)類型）在______（時(shí)間復(fù)雜度）內(nèi)決定。3.語(yǔ)言{<M,x>|M是圖靈機(jī)，x是輸入，M在有限步驟內(nèi)接受x}是______（復(fù)雜性類）的一個(gè)成員。4.證明一個(gè)語(yǔ)言L屬于NP的一種方法是給出一個(gè)______（算法）和一個(gè)______（量），使得對(duì)于任何輸入w，如果w∈L，那么存在一個(gè)長(zhǎng)度不超過(guò)poly(|w|)的字符串s，使得______在s的輔助下能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)判定w∈L。5.設(shè)L是NP完全問題，L'是L的一個(gè)實(shí)例化，即對(duì)于L的輸入x，L'的輸入是x的一個(gè)特定形式（例如x+1）。如果L'可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被解決，是否可以得出L也一定可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)被解決？答案是________（填“是”或“否”）。三、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共10分）1.簡(jiǎn)述大O表示法、大Ω表示法和大Θ表示法的定義，并說(shuō)明它們分別適用于描述算法的什么方面。2.解釋什么是遞歸函數(shù)，并說(shuō)明原始遞歸函數(shù)和部分遞歸函數(shù)的區(qū)別。四、計(jì)算題（每小題8分，共16分）1.分析以下算法的時(shí)間復(fù)雜度（使用大O表示法）：```Functionexample(n):sum=0forifrom1ton:forjfrom1toi:sum+=ireturnsum```2.給定語(yǔ)言L={<M>|M是圖靈機(jī)且M接受至少100個(gè)不同的輸入字符串}。證明L不屬于P。五、證明題（每小題10分，共20分）1.證明語(yǔ)言L={<M>|M是圖靈機(jī)且L_M={<w>|w是偶數(shù)長(zhǎng)度的字符串}}屬于NP。2.假設(shè)存在一個(gè)可以在單帶圖靈機(jī)T上在O(n^2)時(shí)間內(nèi)解決的問題L。證明如果L屬于NP，那么P=NP。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.C4.B5.B二、填空題1.O(n^3)2.有限自動(dòng)機(jī)，線性時(shí)間3.RE(遞歸可枚舉語(yǔ)言)或R(遞歸語(yǔ)言)4.輔助輸入（witness/proof），圖靈機(jī)，接受5.否三、簡(jiǎn)答題1.解析思路：*大O表示法：定義為存在常數(shù)c和n_0，使得對(duì)于所有n≥n_0，有f(n)≤c*g(n)。適用于描述算法執(zhí)行時(shí)間或空間的上界，即最壞情況下的性能。*大Ω表示法：定義為存在常數(shù)c和n_0，使得對(duì)于所有n≥n_0，有f(n)≥c*g(n)。適用于描述算法執(zhí)行時(shí)間或空間的下界，即至少需要多少資源。*大Θ表示法：定義為存在常數(shù)c1,c2和n_0，使得對(duì)于所有n≥n_0，有c1*g(n)≤f(n)≤c2*g(n)。適用于描述算法執(zhí)行時(shí)間或空間的tightbound，即上下界都存在且相差不超過(guò)常數(shù)倍。大Θ描述了算法的漸進(jìn)行為。2.解析思路：*遞歸函數(shù)：是通過(guò)調(diào)用自身來(lái)定義的函數(shù)。通常包含基本情況（basecase，直接返回結(jié)果）和遞歸步（recursivestep，通過(guò)一個(gè)或多個(gè)較小的輸入調(diào)用自身）。*原始遞歸函數(shù)：總是終止的（是部分遞歸函數(shù)的子集）。其定義中遞歸調(diào)用只能發(fā)生在定義的開始部分，且每次遞歸調(diào)用處理的輸入規(guī)模嚴(yán)格減小。*部分遞歸函數(shù)：可能不終止（即圖靈機(jī)可能進(jìn)入死循環(huán)）。其定義中允許遞歸調(diào)用出現(xiàn)在定義的任何部分（包括結(jié)尾），且輸入規(guī)模不一定嚴(yán)格減小。四、計(jì)算題1.解析思路：*外層循環(huán)執(zhí)行n次（i從1到n）。*內(nèi)層循環(huán)在第i次執(zhí)行時(shí)，執(zhí)行i次（j從1到i）。*內(nèi)層循環(huán)體執(zhí)行的操作次數(shù)為i。*因此，總的操作次數(shù)（求和）為∑_{i=1}^{n}i*i=∑_{i=1}^{n}i^2。*已知∑_{i=1}^{n}i^2=n(n+1)(2n+1)/6，其階數(shù)為n^3。*所以，時(shí)間復(fù)雜度為O(n^3)。2.解析思路：*證明L不屬于P，即證明不存在多項(xiàng)式時(shí)間的確定性圖靈機(jī)可以決定L。*采用反證法。假設(shè)L屬于P，則存在一個(gè)確定性圖靈機(jī)T'，在多項(xiàng)式時(shí)間p(n)內(nèi)決定L。*設(shè)T是圖靈機(jī)M對(duì)應(yīng)的描述，輸入長(zhǎng)度為n。T'可以在O(p(n))時(shí)間內(nèi)輸出“接受”或“拒絕”。*可以構(gòu)造一個(gè)新的圖靈機(jī)T''，其工作方式如下：1.輸入一個(gè)字符串x。2.構(gòu)造字符串<M,x>，其中M是T'的描述，x是輸入。3.模擬T'在輸入<M,x>上運(yùn)行O(p(|<M,x>|))時(shí)間。由于|<M,x>|=c*n（c為常數(shù)），模擬時(shí)間也是多項(xiàng)式的。4.如果T'接受<M,x>，則T''接受x；如果T'拒絕<M,x>，則T''拒絕x。*由于T'存在且運(yùn)行時(shí)間多項(xiàng)式，T''也是一個(gè)在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)工作的圖靈機(jī)。*根據(jù)假設(shè)，L屬于P，意味著可以決定“圖靈機(jī)是否接受其自身描述作為輸入”。因此，T''可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)決定語(yǔ)言{<x>|存在M使得T''接受<x>，即存在M使得T'接受<M,x>}。*但是，根據(jù)停機(jī)問題（HALT問題）的不可解性，不存在能在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)決定語(yǔ)言{<M>|M是圖靈機(jī)且L_M={<w>|w是某個(gè)特定語(yǔ)言（如偶數(shù)長(zhǎng)度字符串）}}的圖靈機(jī)。*這導(dǎo)致了矛盾。因此，最初的假設(shè)“L屬于P”是錯(cuò)誤的。所以，L不屬于P。五、證明題1.解析思路：*要證明L屬于NP，需要展示L可以用一個(gè)非確定性圖靈機(jī)在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決。*給定一個(gè)輸入<M>，其中M是圖靈機(jī)的描述。*構(gòu)造一個(gè)非確定性圖靈機(jī)NDT_L，其工作方式如下：1.非確定性地選擇一個(gè)字符串s（作為輔助輸入，長(zhǎng)度poly(n)，n為|M|的長(zhǎng)度）。2.模擬圖靈機(jī)M在輸入<x>（x是M的某個(gè)特定輸入，長(zhǎng)度取決于s）上運(yùn)行s個(gè)步驟。3.檢查M運(yùn)行s步后的狀態(tài)。如果M在s步后處于接受狀態(tài)，則NDT_L接受<M>；否則拒絕。*由于s是非確定性選擇的，可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)嘗試所有可能的s（因?yàn)閜oly(n)是多項(xiàng)式）。*模擬M運(yùn)行s步的時(shí)間復(fù)雜度為O(s*|M|^k)，其中k是M的描述復(fù)雜度，s是poly(n)，所以總時(shí)間復(fù)雜度為O(poly(n)*|M|^k)，是關(guān)于輸入長(zhǎng)度（|M|）的多項(xiàng)式。*因此，NDT_L在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)工作。如果M接受至少100個(gè)不同的輸入，必然存在某個(gè)輸入x，使得模擬M在x上運(yùn)行某個(gè)poly(n)長(zhǎng)度的字符串s后能進(jìn)入接受狀態(tài)。NDT_L就能非確定性地找到這個(gè)s并接受。反之，如果NDT_L接受，說(shuō)明存在這樣的x和s。因此，NDT_L正確決定L。*所以，L屬于NP。2.解析思路：*假設(shè)存在一個(gè)可以在單帶圖靈機(jī)T上在O(n^2)時(shí)間內(nèi)解決的問題L。記這個(gè)時(shí)間為n^2_T。*假設(shè)L屬于NP。則存在一個(gè)非確定性圖靈機(jī)NT，在多項(xiàng)式時(shí)間p(n)內(nèi)決定L（p(n)是NT的工作時(shí)間，關(guān)于輸入長(zhǎng)度n）。*根據(jù)假設(shè)，NT的工作帶長(zhǎng)與輸入長(zhǎng)度n相關(guān)，記為poly(n)（即NT的復(fù)雜性類為P^poly(n)）。*我們可以將NT在輸入x上運(yùn)行的過(guò)程看作是一個(gè)由狀態(tài)、帶符和頭位置決定的序列，這個(gè)序列的長(zhǎng)度是NT的工作時(shí)間p(n)乘以NT的帶長(zhǎng)poly(n)，即復(fù)雜度為O(p(n)*poly(n))。*這個(gè)序列可以編碼為一個(gè)字符串，其長(zhǎng)度是O(p(n)*poly(n))，仍然是關(guān)于n的多項(xiàng)式。*因此，對(duì)于輸入x，可以構(gòu)造一個(gè)字符串Y(x)，其長(zhǎng)度是多項(xiàng)式，使得NT(x)接受當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)串長(zhǎng)為O(p(n)*poly(n))的串Y'，使得當(dāng)T在輸入Y'時(shí)，在O(n^2_T)時(shí)間內(nèi)接受。*我們可以將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為：判斷是否存在一個(gè)串長(zhǎng)為poly(n)的Y，使得當(dāng)將Y作為T的輸入時(shí)，T能在O(n^2_T)時(shí)間內(nèi)接受。*這個(gè)新構(gòu)造的語(yǔ)言L'可以由一個(gè)確定性圖靈機(jī)D'在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)決定：D'首先生成所有長(zhǎng)度為poly(n)的串Y，然后對(duì)于每個(gè)Y，用O(n^2_T*poly(n))的時(shí)間運(yùn)行圖靈機(jī)T（因?yàn)門的時(shí)間是n^2_T，輸入長(zhǎng)度是poly(n)），檢查T是否在O(n^2_T)時(shí)間內(nèi)接受Y?？倳r(shí)間是對(duì)所有poly(n)長(zhǎng)度的串進(jìn)行嘗試，即O((poly(n))^2*n^2_T)，這是一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式時(shí)間（假設(shè)n^2_T是關(guān)于n的多項(xiàng)式）。*因此，L'可以被一個(gè)確定性圖靈機(jī)在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決。*這意味著L'屬于P。*但是，根據(jù)假設(shè)，L是可以被單帶圖靈機(jī)在O(n^2)時(shí)間內(nèi)解決的問題。這與L'屬于P并不矛盾，因?yàn)長(zhǎng)'是L的一個(gè)編碼形式。*然而，關(guān)鍵