2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——排隊論與服務(wù)系統(tǒng)優(yōu)化分析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述排隊論研究的核心問題及其主要應(yīng)用領(lǐng)域。說明排隊系統(tǒng)的主要組成部分及其功能。二、解釋以下排隊論術(shù)語：到達(dá)流、服務(wù)臺、排隊規(guī)則、狀態(tài)、忙期、平均隊長、平均等待時間。三、設(shè)一個自動柜員機（ATM）服務(wù)系統(tǒng)可視為M/M/1隊列。顧客按泊松流到達(dá)，平均到達(dá)率為每小時30人（λ=30人/小時）。ATM服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)時間為1.5分鐘（μ=40人/小時）。請計算該系統(tǒng)的以下性能指標(biāo)：P0,L,Lq,W,Wq。四、在M/M/1隊列中，若平均到達(dá)率λ=10/小時，平均服務(wù)率μ=12/小時。求：（1）系統(tǒng)空閑的概率；（2）系統(tǒng)中平均有多少顧客；（3）平均等待時間Wq；（4）若要求P0≥0.8，是否需要增加服務(wù)臺？五、比較M/M/1隊列和M/G/1隊列的異同點。在什么情況下M/G/1隊列的分析更為復(fù)雜？為什么？六、一個電話呼叫中心有3條熱線，顧客按泊松流到達(dá)，平均每小時到達(dá)20個呼叫（λ=20/小時）。呼叫處理時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每個呼叫處理時間為2分鐘（μ=30/小時）。假設(shè)采用FCFS排隊規(guī)則。請計算：（1）系統(tǒng)空閑的概率；（2）平均等待在隊列中的呼叫數(shù)（Lq）；（3）一個呼叫從到達(dá)至處理完畢的平均時間（W）。七、解釋排隊論中的成本分析。在一個M/M/1系統(tǒng)中，若增加一個服務(wù)臺可使得平均服務(wù)率從μ增加到1.1μ，但增加的服務(wù)臺成本為每月5000元，而維持當(dāng)前服務(wù)臺數(shù)量不變時，每個顧客的等待成本為10元/小時。問是否應(yīng)該增加服務(wù)臺？（假設(shè)平均到達(dá)率λ=10/小時，系統(tǒng)運行時間為每月160小時）。八、設(shè)某汽車維修站只有一個修理工，顧客按泊松流到達(dá)，平均每小時到達(dá)4輛（λ=4輛/小時）。修理時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每輛汽車修理時間為15分鐘（μ=4輛/小時）。若顧客到達(dá)后發(fā)現(xiàn)維修站正在忙碌，則需排隊等待。求：（1）維修站空閑的概率；（2）平均排隊長Lq；（3）顧客的平均等待時間Wq。九、討論在M/M/c隊列中，增加服務(wù)臺數(shù)量（c）對系統(tǒng)性能指標(biāo)（如Lq,Wq）以及系統(tǒng)總成本的影響。何時增加服務(wù)臺是有效的？十、舉例說明排隊論模型在實際生活中的應(yīng)用。選擇一個具體的服務(wù)系統(tǒng)（如醫(yī)院門診、餐廳點餐、網(wǎng)站服務(wù)器等），簡述如何運用排隊論方法分析其運行狀況并提出至少兩條優(yōu)化建議，說明優(yōu)化依據(jù)。試卷答案一、排隊論研究的核心問題是研究排隊系統(tǒng)中的隨機現(xiàn)象，即顧客到達(dá)的隨機性、服務(wù)時間的隨機性以及服務(wù)臺的隨機性，并分析系統(tǒng)的運行狀態(tài)和性能指標(biāo)，以尋求系統(tǒng)最優(yōu)或近優(yōu)運行方案。主要應(yīng)用領(lǐng)域包括電信服務(wù)、交通運輸、計算機科學(xué)（如網(wǎng)絡(luò)排隊）、生產(chǎn)管理、醫(yī)院、銀行業(yè)、物流等。排隊系統(tǒng)的主要組成部分包括：輸入過程（顧客到達(dá)流）、排隊規(guī)則（顧客等待和接受服務(wù)的順序）、服務(wù)臺（提供服務(wù)的設(shè)施）和服務(wù)機制（服務(wù)時間分布）。二、到達(dá)流指顧客到達(dá)系統(tǒng)的模式，通常用概率分布描述，如泊松流。服務(wù)臺是提供服務(wù)的人員或設(shè)備。排隊規(guī)則規(guī)定顧客在等待服務(wù)時如何排列及獲得服務(wù)的順序，常見有FIFO（先到先服務(wù)）、LIFO（后到先服務(wù)）等。狀態(tài)指排隊系統(tǒng)在某一時刻的瞬間狀況，通常用系統(tǒng)中顧客數(shù)來描述。忙期指服務(wù)臺連續(xù)被占用的時間段。平均隊長指系統(tǒng)中平均存在的顧客數(shù)。平均等待時間指顧客從到達(dá)系統(tǒng)到開始接受服務(wù)的平均等待時間。三、計算步驟：1.確定系統(tǒng)參數(shù)：λ=30人/小時,μ=40人/小時。由于λ<μ，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.計算服務(wù)臺利用率：ρ=λ/μ=30/40=0.75。3.計算P0（系統(tǒng)空閑概率）：P0=1-ρ=1-0.75=0.25。4.計算L（系統(tǒng)平均顧客數(shù)）：L=ρ/(1-ρ)=0.75/(1-0.75)=3人。5.計算Lq（隊列平均等待顧客數(shù)）：Lq=ρ^2/(1-ρ)=(0.75)^2/(1-0.75)=0.5625/0.25=2.25人。6.計算W（顧客在系統(tǒng)中的平均停留時間）：W=L/λ=3/30=0.1小時=6分鐘。7.計算Wq（顧客在隊列中的平均等待時間）：Wq=Lq/λ=2.25/30=0.075小時=4.5分鐘。四、計算步驟：1.確定系統(tǒng)參數(shù)：λ=10/小時,μ=12/小時。由于λ<μ，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.計算P0（系統(tǒng)空閑概率）：P0=1-λ/μ=1-10/12=1-5/6=1/6。3.計算L（系統(tǒng)平均顧客數(shù)）：L=(λ/μ)*(μ/μ-λ)=(10/12)*(12/(12-10))=(5/6)*6=5人。4.計算W（顧客在系統(tǒng)中的平均停留時間）：W=L/λ=5/10=0.5小時。5.計算Wq（顧客在隊列中的平均等待時間）：Wq=W-1/μ=0.5-1/12=0.5-0.0833≈0.4167小時。6.增加服務(wù)臺分析：當(dāng)前為M/M/1，若增加服務(wù)臺變?yōu)镸/M/2，需計算新的P0。對于M/M/c，P0=(1-(λ/μ)^c)/c*Σ[(λ/μ)^i/i!](i=0toc-1)。此處c=2,λ/μ=10/12=5/6。P0=(1-(5/6)^2)/2*[(5/6)^0/0!+(5/6)^1/1!]=(1-25/36)/2*[1+5/6]=(11/36)/2*(11/6)=121/432。要求P0≥0.8，即121/432≥0.8。計算0.8*432=345.6。121<345.6，因此121/432<0.8。所以，需要增加服務(wù)臺。五、相同點：兩者都是研究排隊系統(tǒng)性能的經(jīng)典模型，都假設(shè)到達(dá)過程是隨機的（M表示），都假設(shè)服務(wù)時間分布是負(fù)指數(shù)分布（M表示）。它們都適用于單服務(wù)臺系統(tǒng)。不同點：M/M/1假設(shè)服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，而M/G/1假設(shè)服務(wù)時間服從任意（任意的）概率分布（G表示General）。M/M/1模型有完整的閉式解，易于計算各項性能指標(biāo)；而M/G/1模型通常沒有閉式解，分析更為復(fù)雜，一般需要使用Little定理或近似方法。M/G/1模型的分析更復(fù)雜，因為其需要處理更一般的服務(wù)時間分布，且缺乏簡單的解析公式，計算難度較大。六、計算步驟：1.確定系統(tǒng)參數(shù)：λ=20/小時,μ=30/小時（注意3條熱線總服務(wù)能力為3μ=90人/小時），c=3。由于λ<3μ，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.計算P0（系統(tǒng)空閑概率）：P0=[Σ[(λ/μ)^i/i!]]^-1。i=0,1,2,3。P0=[1+(20/30)^1/1!+(20/30)^2/2!+(20/30)^3/3!]^-1=[1+2/3+(4/9)/2+(8/27)/6]^(-1)=[1+2/3+2/9+4/81]^(-1)=[(81+54+18+4)/81]^(-1)=(157/81)^(-1)=81/157。3.計算Lq（隊列平均等待顧客數(shù)）：Lq=[c*(λ/μ)^c*P0]/[c!*(1-(λ/cμ))^2]。Lq=[3*(20/30)^3*(81/157)]/[3!*(1-(20/(3*30)))^2]=[3*(8/27)*(81/157)]/[6*(1-20/90)^2]=[192/157]/[6*(70/90)^2]=192/(157*6*(7/9)^2)=192/(942*49/81)=192*81/(942*49)=15552/46206=7776/23103。4.計算W（顧客從到達(dá)至服務(wù)完畢的平均時間）：W=Wq+1/μ。首先計算Wq。Wq=Lq/λ=(7776/23103)/20=388.8/23103小時。W=388.8/23103+1/30=(388.8+770.1)/23103=1158.9/23103小時。七、成本分析步驟：1.計算當(dāng)前系統(tǒng)（M/M/1,μ=40人/小時）的性能指標(biāo)：λ=10/小時。系統(tǒng)空閑概率P0=1-λ/μ=1-10/40=0.75。系統(tǒng)忙的概率P(忙)=1-P0=0.25。平均等待時間Wq=λ/(μ(μ-λ))=10/(40(40-10))=10/(40*30)=10/1200=1/120小時。2.計算當(dāng)前系統(tǒng)的總成本：等待成本=λ*Wq*單位等待成本=10*(1/120)*10元/小時=10/12元/小時。每月運行時間160小時，總等待成本=10/12*160=133.33元/月。3.計算增加服務(wù)臺后的系統(tǒng)性能指標(biāo)（M/M/2,μ=1.1*40=44人/小時）：λ=10/小時。P0=[Σ[(λ/μ)^i/i!]]^-1。i=0,1,2,3,...。P0=[1+(10/44)^1/1!+(10/44)^2/2!+...]^(-1)。由于λ/μ=5/22<1，P0=1/[1+(5/22)+(25/22^2)+...]=1/Σ[(5/22)^i/i!](i=0to∞)。這是一個幾何級數(shù)求和。P0=1/[1/(1-5/22)]=1/[1/(17/22)]=17/22。4.計算新系統(tǒng)的等待時間Wq：Wq=[c*(λ/μ)^c*P0]/[c!*(1-(λ/cμ))^2]*(1/μ)。Wq=[2*(10/44)^2*(17/22)]/[2!*(1-(10/(2*44)))^2]*(1/44)=[2*(25/1936)*(17/22)]/[2*(1-5/88)^2]/44=[850/(1936*22)]/[2*(83/88)^2]/44=[850/42592]/[(2*6889)/7744]/44=850/42592/13778/7744/44。簡化計算：Wq=(850/42592)*(7744/13778)/44。Wq=(850*7744)/(42592*13778*44)小時。此計算復(fù)雜，可近似處理或使用軟件。為簡化，假設(shè)Wq'計算結(jié)果為已知。5.計算增加服務(wù)臺后的總成本：新等待成本=λ*Wq'*單位等待成本=10*Wq'*10元/小時。每月總成本=新等待成本+增加的服務(wù)臺成本=10*Wq'*10+5000元。比較新舊總成本：133.33元<100*Wq'+5000元。若100*Wq'+5000<133.33，則不增加。100*Wq'<-4866.67，此情況不可能。因此，應(yīng)增加服務(wù)臺。八、計算步驟：1.確定系統(tǒng)參數(shù)：λ=4輛/小時,μ=4輛/小時（1個修理工，總服務(wù)能力為4輛/小時）。由于λ<μ，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.計算P0（系統(tǒng)空閑概率）：P0=1-λ/μ=1-4/4=1-1=0。3.計算Lq（隊列平均等待車輛數(shù)）：Lq=[c*(λ/μ)^c*P0]/[c!*(1-(λ/cμ))^2]。由于P0=0，Lq=0。4.計算Wq（車輛在隊列中的平均等待時間）：Wq=Lq/λ=0/4=0小時。九、增加服務(wù)臺（c）對系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響：1.Lq（隊列平均等待顧客數(shù)）：隨著c的增加，Lq通常會顯著下降。當(dāng)c增加到一定程度，Lq會迅速減小，但Lq的下降速度會逐漸減慢，呈現(xiàn)邊際效益遞減的趨勢。2.Wq（顧客平均等待時間）：Wq通常也會隨著c的增加而顯著下降，同樣存在邊際效益遞減的現(xiàn)象。3.系統(tǒng)總成本：增加服務(wù)臺會增加固定成本（如設(shè)備折舊、人員工資）。同時，由于Lq和Wq的下降，顧客等待成本會降低。系統(tǒng)總成本是服務(wù)臺成本和顧客等待成本之和。增加服務(wù)臺初期，總成本可能上升（因為服務(wù)臺成本增加幅度大于等待成本減少幅度），當(dāng)c增加到某個點后，總成本開始下降，直到某個最優(yōu)服務(wù)臺數(shù)量c*，使得總成本最低。超過c*繼續(xù)增加服務(wù)臺，總成本會再次上升（因為服務(wù)臺成本增加過多，而等待成本減少已不顯著）。何時增加服務(wù)臺是有效的：增加服務(wù)臺是