2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——振動(dòng)系統(tǒng)中的非線性動(dòng)力學(xué)特性考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.下列哪個(gè)現(xiàn)象是線性振動(dòng)系統(tǒng)所不具備的？（）A.共振B.顫振C.混沌D.隔振2.在非線性振動(dòng)分析中，下列哪種方法適用于求解周期性外力作用下系統(tǒng)的響應(yīng)？（）A.李雅普諾夫方法B.諧波平衡法C.數(shù)值模擬方法D.多重尺度法3.下列哪個(gè)不是非線性振動(dòng)系統(tǒng)的特征量？（）A.頻率B.振幅C.分岔D.阻尼比4.KAM理論主要研究的是哪種類型的非線性振動(dòng)系統(tǒng)？（）A.自由振動(dòng)系統(tǒng)B.受迫振動(dòng)系統(tǒng)C.哈密頓系統(tǒng)D.非哈密頓系統(tǒng)5.下列哪個(gè)物理量是哈密頓函數(shù)的函數(shù)？（）A.動(dòng)能B.勢(shì)能C.動(dòng)量D.角動(dòng)量二、填空題（每空2分，共10分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）1.非線性振動(dòng)系統(tǒng)中，振幅和頻率不再保持恒定，這種現(xiàn)象稱為__________。2.在平均方法中，通過平均化得到的是__________的平均值。3.混沌現(xiàn)象的本質(zhì)是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的__________。4.判斷非線性振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性常用的方法是__________方法。5.分岔是指系統(tǒng)在參數(shù)變化時(shí)，其__________發(fā)生質(zhì)的變化的現(xiàn)象。三、計(jì)算題（每題10分，共40分）1.考慮一個(gè)單自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx+\alphax^3=F\cos\omegat$，其中$m$、$c$、$k$、$\alpha$、$F$和$\omega$均為常數(shù)。試用諧波平衡法求該系統(tǒng)在共振條件下的近似響應(yīng)。2.考慮一個(gè)二自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：$\begin{cases}m_1\ddot{x}_1+c_1\dot{x}_1+k_1x_1+k_{12}(x_1-x_2)+\beta(x_1-x_2)^3=F_1\cos\omegat\\m_2\ddot{x}_2+c_2\dot{x}_2+k_2x_2+k_{21}(x_2-x_1)+\beta(x_2-x_1)^3=F_2\cos\omegat\end{cases}$，其中$m_1$、$m_2$、$c_1$、$c_2$、$k_1$、$k_2$、$k_{12}$、$k_{21}$、$\beta$、$F_1$、$F_2$和$\omega$均為常數(shù)。試用振型疊加法求該系統(tǒng)在微幅振動(dòng)條件下的響應(yīng)。3.考慮一個(gè)單自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx+\gammax\dot{x}=0$，其中$m$、$c$、$k$和$\gamma$均為常數(shù)。試用數(shù)值模擬方法（如龍格-庫塔法）求該系統(tǒng)在初始條件$x(0)=1$，$\dot{x}(0)=0$下的響應(yīng)，并繪制響應(yīng)曲線。4.考慮一個(gè)哈密頓系統(tǒng)，其哈密頓函數(shù)為$H(q_1,q_2,p_1,p_2)=\frac{1}{2m}(p_1^2+\frac{p_2^2}{q_2})+V(q_1,q_2)$，其中$m$、$q_1$、$q_2$、$p_1$和$p_2$分別為廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量，$V(q_1,q_2)$為勢(shì)能函數(shù)。試用正則方程求該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。四、證明題（10分）證明：對(duì)于哈密頓系統(tǒng)，其哈密頓函數(shù)沿著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡是守恒的。五、綜合應(yīng)用題（25分）考慮一個(gè)實(shí)際的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，例如：一個(gè)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，或者一個(gè)橋梁結(jié)構(gòu)。請(qǐng)分析該系統(tǒng)中可能存在的非線性振動(dòng)現(xiàn)象，并提出一種或多種非線性振動(dòng)分析方法來研究該現(xiàn)象，并簡述分析步驟和預(yù)期結(jié)果。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.D4.C5.D二、填空題1.顫振2.頻率3.隨機(jī)性4.李雅普諾夫5.分岔點(diǎn)三、計(jì)算題1.解析思路：假設(shè)系統(tǒng)在共振條件下，其響應(yīng)為$x(t)=A\cos(\omegat+\phi)$，將其代入運(yùn)動(dòng)方程，利用三角函數(shù)恒等式，將方程左邊展開為關(guān)于$\cos(\omegat+\phi)$的同次冪的展開式，然后令等式兩邊相同次冪的系數(shù)相等，即可得到關(guān)于$A$和$\phi$的代數(shù)方程組，解之即可得到近似響應(yīng)。答案：略（具體計(jì)算過程略）2.解析思路：首先求出系統(tǒng)的特征方程和特征向量，將原方程化為對(duì)角化形式，然后假設(shè)每個(gè)自由度的響應(yīng)為$x_i(t)=X_i\cos(\omegat+\phi_i)$，代入對(duì)角化后的方程，得到關(guān)于$X_i$和$\phi_i$的代數(shù)方程組，解之即可得到每個(gè)自由度的響應(yīng)，再將它們組合起來即為系統(tǒng)的響應(yīng)。答案：略（具體計(jì)算過程略）3.解析思路：選擇合適的數(shù)值積分方法（如龍格-庫塔法），根據(jù)初始條件和運(yùn)動(dòng)方程，逐步計(jì)算系統(tǒng)在一系列時(shí)刻的狀態(tài)（位置和速度），并繪制出位置-時(shí)間曲線。答案：略（具體計(jì)算過程略）4.解析思路：根據(jù)哈密頓函數(shù)和正則方程$\dot{q}_i=\frac{\partialH}{\partialp_i}$，$\dot{p}_i=-\frac{\partialH}{\partialq_i}$，求出廣義速度和廣義動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，再將它們代入運(yùn)動(dòng)方程，即可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。答案：略（具體計(jì)算過程略）四、證明題解析思路：根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義和正則方程，計(jì)算哈密頓函數(shù)對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，并利用哈密頓正則方程中的循環(huán)積分，證明哈密頓函數(shù)沿著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡是守恒的。答案：略（具體證明過程略）五、綜合應(yīng)用題解析思路：選擇一個(gè)具體的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，例如轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，分析其可能存在的非線性因素（如：間隙、非線性彈簧、非線