2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——泊松方程的理論基礎(chǔ)分析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡答題（每題6分，共30分）1.分別寫出在直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下，二維拉普拉斯算子?2的表達式。并說明泊松方程在一維情況下通常表示什么物理現(xiàn)象。2.解釋什么是格林函數(shù)。對于一個在區(qū)域Ω內(nèi)滿足?2u=f，并在邊界?Ω上滿足狄利克雷邊界條件u|?Ω=g的定解問題，請寫出利用格林函數(shù)求解該問題的一般形式（即積分形式）。3.簡述分離變量法求解邊界條件為齊次的泊松方程?2u=f在特定區(qū)域（如長為L的無限長細桿，端點絕緣）時的基本思路和步驟。4.設(shè)u?和u?是區(qū)域Ω內(nèi)分別滿足?2u?=f?和?2u?=f?，并在邊界?Ω上滿足相同狄利克雷邊界條件u|?Ω=0的兩個函數(shù)。證明：對于任意實數(shù)α和β，函數(shù)αu?+βu?也是該定解問題的解。二、計算題（每題10分，共40分）1.考慮在0<r<a的圓形區(qū)域內(nèi)，求解泊松方程?2u=1，邊界條件為u(a,θ)=0。嘗試使用分離變量法，寫出分離變量后得到的常微分方程和邊界條件，并簡述下一步求解的主要步驟（無需求解出最終答案）。2.利用球坐標(biāo)下的拉普拉斯算子?2=?/?r(?u/?r)+1/r2?/?r(r2?u/?r)+1/r??/?θ(sinθ?u/?θ)+1/r??2u/?φ2，寫出在以原點為中心的球?qū)ΨQ區(qū)域（0<r<a）內(nèi)，滿足狄利克雷邊界條件u(a,θ,φ)=f(θ,φ)的泊松方程?2u=r2f的積分形式解（即格林公式形式）。3.對于在0<x<π，0<y<π區(qū)域內(nèi)滿足?2u=x2-y2，邊界條件為u(0,y)=u(π,y)=u(x,0)=u(x,π)=0的泊松方程，若嘗試使用分離變量法，請設(shè)u(x,y)=X(x)Y(y)，寫出X(x)和Y(y)分別需要滿足的常微分方程及相應(yīng)的邊界條件。4.已知在區(qū)域0<r<1，0<θ<2π內(nèi)，泊松方程?2u=f(r,θ)的格林函數(shù)G(r,θ;r',θ')滿足以下條件：*在r'>1時，G(r,θ;r',θ')=0。*在r<1時，滿足?2G(r,θ;r',θ')=-δ(r-r')δ(θ-θ')（其中δ是Diracδ函數(shù)）。*滿足周期性條件G(r,θ+2π;r',θ')=G(r,θ;r',θ')。*滿足對稱性條件G(r,-θ;r',θ')=G(r,θ;r',-θ')。請寫出利用此格林函數(shù)求解泊松方程?2u=f(r,θ)，邊界條件為u(1,θ)=h(θ)的積分形式解。三、證明題（每題15分，共30分）1.設(shè)u(x,y)是在矩形區(qū)域0<x<a，0<y<b內(nèi)滿足齊次狄利克雷邊界條件u(0,y)=u(a,y)=u(x,0)=u(x,b)=0的函數(shù)。證明：如果u(x,y)在該區(qū)域內(nèi)不是恒等于零的解，那么u(x,y)必然可以在(0,b)上展開為以π/α和π/β為周期的正弦級數(shù)。2.設(shè)v(x,y)是在單位圓盤x2+y2<1內(nèi)滿足Laplace方程?2v=0，并在圓周x2+y2=1上取值v(ρ=1,θ)=f(θ)的函數(shù)。證明：v(x,y)可以表示為v(x,y)=(1/2)f(θ)+(1/2π)∫[0,2π]f(φ)ln[(ρ2+1-2ρcos(φ-θ))/(1-ρ2)]dφ，其中(x,y)=(ρcosθ,ρsinθ)。---試卷答案一、簡答題1.直角坐標(biāo)系：?2=?2/?x2+?2/?y2+?2/?z2；柱坐標(biāo)系：?2=?2/?r2+1/r?/?r+1/r2?2/?θ2+?2/?z2；球坐標(biāo)系：?2=?2/?r2+2/r?/?r+1/r2?2/?θ2+1/r??2/?φ2。一維泊松方程?2u/?x2=f(x)通常表示一維空間的穩(wěn)態(tài)溫度分布（若f為熱源項）或一維靜電場中的電勢分布（若f為電荷密度）。2.格林函數(shù)G(x,y;x',y')是滿足?2G(x,y;x',y')=-δ(x-x')δ(y-y')在整個平面（或區(qū)域）上，并在邊界?Ω上滿足特定條件（如G|?Ω=0或與邊界條件相關(guān)）的函數(shù)。利用格林函數(shù)求解定解問題?2u=f,u|?Ω=g的積分形式為：u(x,y)=∫∫_ΩG(x,y;x',y')f(x',y')dxdy'+∫∫_ΩΔG(x,y;x',y')g(x',y')dxdy'（其中ΔG是G對(x',y')的拉普拉斯算子，當(dāng)G在邊界上滿足特定條件時，第二項可能簡化）。對于狄利克雷問題，常用G滿足G|?Ω=0，此時積分形式為u(x,y)=∫∫_ΩG(x,y;x',y')f(x',y')dxdy'。3.基本思路是將求解區(qū)域和定解問題轉(zhuǎn)化為可分離變量的常微分方程和邊值問題。步驟通常包括：①假設(shè)解的形式u(x,y)=X(x)Y(y)；②將假設(shè)解代入偏微分方程和邊界條件，得到X(x)Y(y)=f(x,y)；③由于f(x,y)一般不能分離變量，需考慮邊界條件。對于齊次邊界條件，分離變量法適用。將方程分離變量得到X''/X=-λY''/Y=f(x,y)/(XY)，其中-λ是分離常數(shù)。由于f通常為0（否則即為非齊次方程，需另尋方法如降階或特解疊加），得到X''+λX=0和Y''+(1/λ)Y=f(x,y)/Y。④求解這兩個常微分方程，并利用齊次邊界條件確定分離常數(shù)λ和對應(yīng)解的常數(shù)。⑤將所有特解線性疊加（利用解的線性性），得到通解，再利用非齊次邊界條件或初始條件確定組合系數(shù)，得到最終解。對于本題中的細桿問題，通常是沿x方向分離變量，得到X''+λX=0,Y''=0。由于端點絕緣（Neumann邊界條件，導(dǎo)數(shù)為0），X(x)需要滿足X(0)=0,X(L)=0。4.證明：由條件，?2(αu?+βu?)=α?2u?+β?2u?=αf?+βf?=f(其中f=αf?+βf?)。同時，(αu?+βu?)|?Ω=αu?|?Ω+βu?|?Ω=α*0+β*0=0(因為u?|?Ω=u?|?Ω=0)。因此，函數(shù)αu?+βu?在區(qū)域Ω內(nèi)滿足?2u=f，在邊界?Ω上滿足u|?Ω=0。由齊次線性定解問題的解的唯一性（齊次方程+齊次邊界），αu?+βu?也是該定解問題的解。二、計算題1.設(shè)u(r,θ)=R(r)P(θ)。代入方程：?2u=1=>1/r2?/?r(r2?R/?r)+1/r2?/?θ(?P/?θ)=1。分離變量：假設(shè)R(r)P(θ)=R(r)P(θ)，得到1/r2?/?r(r2dR/dr)/R=-1/r2?/?θ(dP/dθ)/P=λ(分離常數(shù))。得到兩個方程：*對θ方程：dP/dθ=λP=>P(θ)=Acos(λθ)+Bsin(λθ)（λ必須為整數(shù)，以保證P(θ+2π)=P(θ)的周期性）。*對r方程：r2d2R/dr2+rdR/dr-λ2R=r2=>d2R/dr2+(1/r)dR/dr-λ2R/r2=1/r。令r2R=Z(r)，則方程化為Z''+Z'-λ2Z=r3。這是一個歐拉方程，通過變換z=ln(r)或直接求解可得R(r)的形式解（含r^λ和r^(-λ)項），再結(jié)合齊次邊界條件R(a)=0確定常數(shù)。下一步是利用邊界條件R(a)=0確定允許的λ值（λ_n=nπ，n=1,2,3,...），得到R_n(r)=B_nr^(-nπ)，P_n(θ)=A_ncos(nπθ)+B_nsin(nπθ)。然后將所有滿足邊界條件的特解線性疊加：u(r,θ)=Σ[n=1to∞][C_nr^(-nπ)cos(nπθ)+D_nr^(-nπ)sin(nπθ)]。最后，將f(r,θ)=1代入方程的積分形式解（格林函數(shù)法或傅里葉變換法），確定系數(shù)C_n和D_n。2.利用球坐標(biāo)格林公式：?2u=f=>u(r,θ,φ)=(1/4π)∫∫_S[u(r'θ',φ')δ(r'-r)+(r2/r'2)(?u/?r')|_{r'=r}]dS'，其中S是半徑為r的球面，dS'=r'2sinθ'dθ'dφ'。由于u(a,θ,φ)=f(θ,φ)，且r=a時上式變?yōu)閡(a,θ,φ)=(1/4π)∫∫_S[f(θ',φ')δ(r'-a)+a2/r'2(?u/?r')|_{r'=a}]sinθ'dθ'dφ'。積分第一項：∫∫_Sf(θ',φ')δ(r'-a)sinθ'dθ'dφ'=f(θ,φ)∫∫_Sδ(r'-a)sinθ'dθ'dφ'。由于δ(r'-a)意味著r'=a，且球面積分∫∫_Ssinθ'dθ'dφ'=4π，所以第一項為f(θ,φ)。積分第二項：∫∫_Sa2/r'2(?u/?r')|_{r'=a}sinθ'dθ'dφ'=a2/a2(?u/?r)|_{r=a}∫∫_Ssinθ'dθ'dφ'=(?u/?r)|_{r=a}*4π。因此，原積分形式解為：u(r,θ,φ)=f(θ,φ)+(1/π)(?u/?r)|_{r=a}。注意，這里假設(shè)了源項f只依賴于θ和φ，且u在r=a時具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。3.設(shè)u(x,y)=X(x)Y(y)。代入方程：?2u=x2-y2=>?2(XY)/?x2+?2(XY)/?y2=X''Y+XY''=(x2-y2)。分離變量：假設(shè)X''/X=-λY''/Y=(x2-y2)/(XY)，得到X''+λX=0和Y''+(1/λ)(x2-y2)Y=0。由于右側(cè)含有x2和y2，無法直接分離變量。但題目要求寫出分離變量法下的方程和邊界條件，這意味著可能是考察學(xué)生對分離變量法標(biāo)準(zhǔn)步驟的掌握。標(biāo)準(zhǔn)步驟是假設(shè)解形式，代入方程，分離變量得到兩個獨立的常微分方程。因此，這里應(yīng)關(guān)注齊次邊界條件：u(0,y)=0=>X(0)Y(y)=0=>X(0)=0。u(π,y)=0=>X(π)Y(y)=0=>X(π)=0。u(x,0)=0=>X(x)Y(0)=0=>Y(0)=0。u(x,π)=0=>X(x)Y(π)=0=>Y(π)=0。對應(yīng)的常微分方程為：X''+λX=0；Y''+(1/λ)Y=0（注意，這里的(1/λ)是為了分離變量λ，λ本身需要由邊界條件確定）。邊界條件為：X(0)=0,X(π)=0；Y(0)=0,Y(π)=0。4.利用球坐標(biāo)格林函數(shù)G(r,θ;r',θ')求解。根據(jù)格林公式：?2u=f(r,θ)=>u(r,θ)=∫∫_ΩG(r,θ;r',θ')f(r',θ')dΩ'-∫∫_Ω(?G/?r')|_{r'=r}g(r',θ')dΩ'。對于本題，邊界條件為u(1,θ)=h(θ)，其中h(θ)=g(1,θ)。代入邊界項：-∫∫_Ω(?G/?r')|_{r'=r=1}g(r',θ')dΩ'=-∫∫_S(?G/?r')|_{r'=1}h(θ')dS'。對于球坐標(biāo)格林函數(shù)G(r,θ,φ;r',θ',φ')，當(dāng)r'>1時G=0，r<1時?2G=-δ(r-r')。在球面r'=1上，由格林公式，有∫∫_S(?G/?r')|_{r'=1}dS'=1。結(jié)合G(r,θ,φ;r',θ',φ')滿足的對稱性和周期性條件，可以推導(dǎo)出(?G/?r')|_{r'=1}與G(r,θ,φ;1,θ',φ')的關(guān)系。具體推導(dǎo)過程較復(fù)雜，但最終結(jié)果為：u(r,θ)=∫∫_ΩG(r,θ;r',θ')f(r',θ')dΩ'+∫∫_S[h(θ')/4π]*∫[0,2π]∫[0,π]G(r,θ;1,cosφ',sinφ')sinφ'dφ'dψ'dθ'。其中第一項是源項f的貢獻，第二項是邊界條件h(θ')的貢獻，通過格林函數(shù)在球面上的值（或其導(dǎo)數(shù)）與邊界條件相聯(lián)系。三、證明題1.證明思路：反證法。假設(shè)u(x,y)在(0,b)上不能展開為以π/α和π/β為周期的正弦級數(shù)，則其傅里葉正弦級數(shù)展開式Σ[n=1to∞]B_nsin(nπx/a)是發(fā)散的。根據(jù)傅里葉級數(shù)的收斂定理（狄利克雷收斂條件），如果u(x,y)滿足狄利克雷條件（在[0,a]上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，在(0,a)內(nèi)分段光滑），其傅里葉正弦級數(shù)在[0,a]上的每一點x處都收斂于[u(x+0),u(x-0)]/2。由于u(x,y)滿足齊次狄利克雷邊界條件，它在邊界上恒等于0，因此在邊界點x=0或x=a處，級數(shù)收斂于0。這意味著，如果級數(shù)發(fā)散，則u(x,y)必然在[0,a]上不滿足狄利克雷條件。然而，根據(jù)題目條件，u(x,y)是該狄利克雷問題的解，因此u(x,y)必須在[0,a]上連續(xù)（至少是逐點連續(xù)，且在(0,a)內(nèi)分段光滑），滿足狄利克雷條件。這導(dǎo)致矛盾。因此，假設(shè)不成立，u(x,y)必然可以在(0,b)上展開為以π/α和π/β為周期的正弦級數(shù)。2.證明思路：利用球坐標(biāo)下的格林公式。設(shè)v(r,θ,φ)是區(qū)域x2+y2+z2<1內(nèi)滿足?2v=0，在球面x2+y2+z2=1上取值v(ρ=1,θ,φ)=f(θ,φ)的函數(shù)。設(shè)格林函數(shù)為G(r,θ,φ;r',θ',φ')，滿足?2G=-δ(r'-r)在全空間，且在無窮遠處G->0。球坐標(biāo)格林公式為：v(r,θ,φ)=∫∫∫_ΩG(r,θ,φ;r',θ',φ')?'2u(r',θ',φ')dV'-∫∫∫_Ω(?G/?r')|_{r'=r}?'2u(r',θ',φ')dV'。由于u在球內(nèi)，?'2u=0。球面S'：ρ'=1。體積元dV'=r'2sinθ'dr'dθ'dφ'。第一項積分為0。第二項在球面上：∫∫_S(?G/?r')|_{r'=1}u(r',θ',φ')sinθ'dθ'dφ