2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——多層次建模與分析技術(shù)探討考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題干后的括號內(nèi)）1.在一個多層線性模型（MLM）中，個體層面的某個自變量對因變量的影響在不同群體（如不同學(xué)校）中是否存在差異，這通常通過檢驗?zāi)膫€部分來實現(xiàn)？(a)單位層面的隨機(jī)截距(b)個體層面的固定效應(yīng)(c)單位層面的隨機(jī)斜率(d)個體層面的隨機(jī)截距2.對于來自多層邏輯回歸模型的分析結(jié)果，解釋某個自變量的效應(yīng)時，通常指的是該變量對因變量發(fā)生某事件的什么概率的影響？(a)平均概率(b)條件概率(c)比率風(fēng)險（OddsRatio）(d)概率變化量3.當(dāng)多層線性模型中存在嚴(yán)重的層次間相關(guān)時，如果不使用多層次模型而采用傳統(tǒng)的單層回歸模型，最可能導(dǎo)致的后果是？(a)標(biāo)準(zhǔn)誤被低估(b)模型參數(shù)估計量不再是無偏的(c)模型擬合優(yōu)度指標(biāo)（如R2）被過高估計(d)無法進(jìn)行模型診斷4.在多層模型中，衡量模型擬合程度的赤池信息量準(zhǔn)則（AIC）主要考慮了哪些因素？(a)模型參數(shù)的數(shù)量和似然函數(shù)值(b)樣本量、模型參數(shù)數(shù)量和似然函數(shù)值(c)樣本量、模型復(fù)雜度和殘差平方和(d)模型參數(shù)數(shù)量和殘差的標(biāo)準(zhǔn)差5.假設(shè)我們研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，數(shù)據(jù)按班級組織。班級平均成績存在差異，且班級內(nèi)學(xué)生的成績存在相關(guān)性，但班級間學(xué)生的成績相關(guān)性很小。最適合用來分析這種數(shù)據(jù)的模型是？(a)單層線性回歸模型(b)雙層線性模型（學(xué)生層面和班級層面）(c)三層線性模型(d)泛化估計量（GEE）6.在多層模型分析中，所謂的“嵌套數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”指的是什么？(a)數(shù)據(jù)中同時包含了連續(xù)型和分類型變量(b)數(shù)據(jù)觀察值可以同時被歸類到多個不同的層次或類別中(c)數(shù)據(jù)存在大量的缺失值(d)數(shù)據(jù)收集過程采用了分層抽樣的方法7.對于一個兩層線性模型，如果隨機(jī)截距項的方差估計顯著不為零，這通常意味著什么？(a)不同層級的截距沒有共同均值(b)個體層面的效應(yīng)在層級的平均水平上存在差異(c)層級間的均值存在系統(tǒng)性差異(d)模型存在嚴(yán)重的多重共線性問題8.當(dāng)使用統(tǒng)計軟件（如R的lme4包）擬合多層模型時，輸出結(jié)果中通常報告的“邊際均值”（MarginalMeans）指的是什么？(a)在控制了所有自變量后，每個層級中因變量的平均數(shù)(b)在特定自變量水平下，考慮了層級結(jié)構(gòu)后的因變量平均數(shù)(c)每個層級中因變量的樣本平均數(shù)(d)模型預(yù)測的總體平均因變量水平9.在多層模型中，對隨機(jī)效應(yīng)進(jìn)行估計時，通常使用的方法是？(a)最小二乘法(b)最大似然估計(c)回歸分析(d)卡方檢驗10.如果一個多層模型的結(jié)果顯示某個個體層面的自變量對因變量的效應(yīng)在不同單位層面（如學(xué)校）上沒有顯著差異（隨機(jī)斜率方差為零），這意味著什么？(a)該自變量在個體層面沒有影響(b)該自變量在單位層面的平均水平上沒有影響(c)該自變量的效應(yīng)受到其他未觀測變量（學(xué)校差異）的調(diào)節(jié)(d)該自變量與因變量之間不存在相關(guān)性二、簡答題（每小題5分，共25分。請簡明扼要地回答下列問題）1.請簡述多層線性模型（MLM）與普通最小二乘回歸（OLS）在處理嵌套數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（例如，學(xué)生嵌套于班級）時的主要區(qū)別。2.在多層邏輯回歸模型中，解釋一個自變量的效應(yīng)時，與多層線性模型相比，需要考慮哪些額外的因素？3.多層模型中，固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)有何根本區(qū)別？請分別說明它們在模型中起什么作用？4.進(jìn)行多層模型分析時，檢驗?zāi)Ｐ图僭O(shè)（如殘差正態(tài)性、方差同質(zhì)性）為什么重要？簡要說明兩種常用的殘差診斷方法。5.當(dāng)研究者懷疑某個自變量對不同層級的均值具有差異化影響時，應(yīng)該在模型中如何處理？請說明其基本思路。三、計算與推導(dǎo)題（每小題10分，共20分。請根據(jù)要求進(jìn)行計算或推導(dǎo)）1.假設(shè)一個簡化的兩層線性模型（無自變量，僅截距）用于分析學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（Y），數(shù)據(jù)嵌套在班級（J）中。模型設(shè)定為：Y_ij=β??+u?_j+ε_ij，其中i表示學(xué)生，j表示班級。假設(shè)從某個班級j獲得了一個樣本，其學(xué)生成績數(shù)據(jù)如下（n=5）：[75,78,82,80,77]。請計算該班級學(xué)生的平均成績（?_j），并解釋該平均成績與模型中的β??和u?_j的關(guān)系。假設(shè)該班級的殘差平方和（SSE_j）為10。請簡要說明如何利用此班級信息來估計u?_j的方差（Var(u?_j)）。（注意：此處無需進(jìn)行復(fù)雜計算，只需說明計算思路或基本公式）。2.在一個包含一個單位層面自變量X（如學(xué)校資源水平）和一個個體層面自變量Z（如學(xué)生家庭背景）的兩層線性模型中，模型形式為：Y_ij=β??+β?X_j+β?Z_i+u?_j+u?X_j+ε_ij。請推導(dǎo)出個體層面自變量Z對因變量Y_ij的總效應(yīng)（包括直接效應(yīng)和間接效應(yīng)）的表達(dá)式。并解釋其中各部分的含義。四、分析與應(yīng)用題（共35分）假設(shè)一項研究旨在探討小學(xué)五年級學(xué)生的閱讀理解能力（因變量，連續(xù)型）受到哪些因素的影響。研究人員收集了來自10個不同班級（單位層面）的數(shù)據(jù)，每個班級有20名學(xué)生（個體層面）。數(shù)據(jù)中包含了學(xué)生的性別（男=1，女=0，分類變量）、家庭社會經(jīng)濟(jì)地位（SES，連續(xù)型變量）以及班級的平均閱讀輔導(dǎo)時間（連續(xù)型變量）。部分?jǐn)?shù)據(jù)摘要信息如下（注意：以下數(shù)據(jù)僅為示例，并非真實數(shù)據(jù)，請不要使用統(tǒng)計軟件進(jìn)行分析，僅根據(jù)描述回答問題）：研究者使用統(tǒng)計軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，擬合了一個包含性別、SES和班級平均輔導(dǎo)時間的兩層線性模型（不考慮交互項）。模型的部分輸出結(jié)果摘要如下：*邊際模型（個體層面）：*Y_ij=β??+β?Z_i+u?_j+ε_ij*β??(截距)=50.0,SE=2.0,t=25.0,p<0.001*β?(SES效應(yīng))=1.5,SE=0.3,t=5.0,p<0.001*Var(u?_j)=4.0*單位模型（班級層面）：*Y_j=β??+β?X_j+u?_j*β??(截距)=52.0,SE=1.5,t=34.7,p<0.001*β?(輔導(dǎo)時間效應(yīng))=0.8,SE=0.2,t=4.0,p=0.025*Var(u?_j)=3.0*模型整體擬合信息：AIC=1500,BIC=1550請根據(jù)上述信息，回答以下問題：1.（5分）解釋模型中個體層面截距β??和單位層面截距β??的含義有何不同？2.（6分）解釋模型中個體層面自變量SES（家庭社會經(jīng)濟(jì)地位）的效應(yīng)（β?=1.5）的含義。如果某個學(xué)生的SES比平均水平高一個單位，預(yù)計其閱讀理解能力會怎樣變化？3.（6分）解釋模型中單位層面自變量X（班級平均輔導(dǎo)時間）的效應(yīng)（β?=0.8）的含義。如果某個班級的平均輔導(dǎo)時間比其他班級多1小時，預(yù)計該班級學(xué)生的平均閱讀理解能力會怎樣變化？4.（8分）分析模型結(jié)果中隨機(jī)效應(yīng)Var(u?_j)的含義。比較個體層面的Var(u?_j)=4.0和單位層面的Var(u?_j)=3.0，你能得出關(guān)于學(xué)生閱讀理解能力變異來源的什么結(jié)論？5.（10分）假設(shè)研究者還考慮了性別變量，并擬合了一個包含性別、SES、輔導(dǎo)時間及其交互項的模型。請基于現(xiàn)有信息，推測該模型中可能出現(xiàn)哪些顯著的效應(yīng)項？并簡要說明為什么這些效應(yīng)項可能重要或有趣。同時，提及在分析此類交互效應(yīng)時需要注意的一個潛在問題。---試卷答案一、選擇題1.(c)2.(c)3.(a)4.(b)5.(b)6.(b)7.(a)8.(b)9.(b)10.(b)二、簡答題1.解析思路：多層模型承認(rèn)數(shù)據(jù)點之間存在層次結(jié)構(gòu)（如學(xué)生嵌套于班級），并在模型中明確包含能夠解釋這種結(jié)構(gòu)變異的隨機(jī)效應(yīng)。OLS模型將所有數(shù)據(jù)點視為獨立同分布，忽略了潛在的層次結(jié)構(gòu)，可能導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)誤低估、參數(shù)估計偏誤以及模型設(shè)定不當(dāng)。2.解析思路：多層邏輯回歸同樣需要解釋邊際效應(yīng)（如OddsRatio），但還需考慮層級結(jié)構(gòu)。例如，某個自變量的OddsRatio可能在不同學(xué)校（單位層面）存在差異（通過檢驗隨機(jī)斜率），此時需要分別解釋在不同學(xué)校背景下該變量的效應(yīng)，或者解釋其平均效應(yīng)。此外，還需要注意概率的解釋是條件概率（給定其他變量和組別）。3.解析思路：固定效應(yīng)代表的是在控制了模型中其他變量后，自變量對因變量的平均影響，不隨層級變化。隨機(jī)效應(yīng)代表的是層級（如班級、學(xué)校）之間在某個固定變量上的平均差異或變化，反映了數(shù)據(jù)中未被觀測到的、隨層級變化的變異。固定效應(yīng)回答“平均而言...”，隨機(jī)效應(yīng)回答“層級之間差異如何？”。4.解析思路：模型假設(shè)是模型參數(shù)估計和推斷有效性的基礎(chǔ)。若違反假設(shè)（如殘差非正態(tài)、方差非同質(zhì)），可能導(dǎo)致參數(shù)估計有偏、標(biāo)準(zhǔn)誤不準(zhǔn)確、假設(shè)檢驗結(jié)果錯誤。殘差診斷通過檢查殘差分布（如正態(tài)概率圖、QQ圖）、殘差與預(yù)測值的關(guān)系（如散點圖）來評估假設(shè)是否滿足。常用方法包括查看殘差的正態(tài)性檢驗統(tǒng)計量和分布圖，以及檢查殘差與預(yù)測值、各自變量之間的散點圖或相關(guān)性，看是否存在模式，表明可能存在未考慮的變量、非線性關(guān)系或異方差性。5.解析思路：如果懷疑自變量對不同層級的均值有差異化影響，應(yīng)在模型中加入該自變量與隨機(jī)效應(yīng)的交互項。例如，對于兩層模型，如果X是單位層面自變量，Z是個體層面自變量，可以加入交互項u?X_j（即隨機(jī)斜率）。模型形式變?yōu)閅_ij=β??+β?X_j+β?Z_i+u?_j+u?X_j+ε_ij。這樣可以檢驗并估計自變量X對因變量Y的影響是否因單位j而異。三、計算與推導(dǎo)題1.解析思路：*計算平均成績：β??代表了所有班級的共同均值（理論上），但更準(zhǔn)確的班級平均成績估計是β??+u?_j。然而，通常u?_j是未知的。在沒有其他信息時，班級平均成績的估計就是該班級所有觀測值的樣本均值，即(75+78+82+80+77)/5=79.0。這與β??+u?_j的關(guān)系是，79.0是基于樣本數(shù)據(jù)對β??+u?_j的一個估計。*估計隨機(jī)截距方差：Var(u?_j)的估計通?；谀Ｐ蛿M合后的信息。一個基本思路是利用殘差。對于班級j，計算每個學(xué)生i的殘差e_ij=Y_ij-(β??+u?_j)。班級層面的殘差平方和（SSE_j）可以表示為Σ_ie_ij2。理論上，Var(u?_j)的無偏估計量是SSE_j/(n-1)，其中n是班級j內(nèi)的觀測數(shù)量。在此例中，SSE_j=10，n=5，故估計方差Var(u?_j)≈10/(5-1)=10/4=2.5。2.解析思路：*推導(dǎo)總效應(yīng)：總效應(yīng)是Z對Y的總影響，包括直接效應(yīng)和通過X間接傳遞的效應(yīng)。首先，Z對Y的直接效應(yīng)是β?。其次，Z通過X對Y的影響取決于β?和u?。具體來說，X對Y的效應(yīng)是β?+u?X_j（因為X是單位層面的）。而X與Z之間的關(guān)系（是否相關(guān)）會影響間接效應(yīng)。在最簡單的情況下，如果假設(shè)X和Z在個體層面不相關(guān)（或模型已考慮了這種關(guān)系），則Z通過X對Y的間接效應(yīng)可以近似看作是u?*β?。因此，總效應(yīng)ΔY_ij/ΔZ_i大致為β?+u?β?。更精確地，考慮層級結(jié)構(gòu)，總效應(yīng)可能隨X_j變化，即β?+u?β?+u?_j（如果u?_j也與Z相關(guān)）。但通常題目要求的是基本形式，故β?+u?β?是核心。四、分析與應(yīng)用題1.解析思路：個體層面截距β??是在控制了性別（性別=0，即男性）和家庭社會經(jīng)濟(jì)地位（SES=0，即平均水平）后，所有學(xué)生閱讀理解能力的平均期望值。它代表了基準(zhǔn)水平。單位層面截距β??則是所有班級共同的平均閱讀理解能力基準(zhǔn)值（理論上），它是在不考慮任何班級特征如輔導(dǎo)時間的情況下，所有班級學(xué)生閱讀理解能力的平均期望值。兩者的解釋對象和基準(zhǔn)不同，前者是學(xué)生層面的基準(zhǔn)，后者是班級層面的基準(zhǔn)。2.解析思路：β?=1.5表示家庭社會經(jīng)濟(jì)地位（SES）每增加一個單位，預(yù)計學(xué)生的閱讀理解能力（Y_ij）的邊際均值（考慮了班級效應(yīng)但未考慮性別效應(yīng)）會平均增加1.5個單位。這里的“預(yù)計”是因為模型估計的是平均關(guān)系，實際值會因個體差異而不同。需要注意的是，這里的解釋是基于邊際模型（個體層面模型），它控制了性別，但未控制班級輔導(dǎo)時間等其他潛在影響因素。3.解析思路：β?=0.8表示班級平均輔導(dǎo)時間（X_j）每增加1小時，該班級學(xué)生閱讀理解能力的平均期望值（Y_j，即班級層面的均值）會平均增加0.8個單位。這個效應(yīng)是在模型中控制了班級層面的截距β??和其他未報告的班級層面變量后估計出來的。它反映了輔導(dǎo)時間對班級整體閱讀水平的影響。4.解析思路：個體層面的Var(u?_j)=4.0表示在同一個班級內(nèi)，學(xué)生閱讀理解能力（Y_ij）的期望值（即班級平均成績β??+β?X_j）圍繞其班級平均水平的變異方差（基于模型中個體層面截距的估計方差）約為4.0。單位層面的Var(u?_j)=3.0表示不同班級之間，學(xué)生閱讀理解能力平均期望值（Y_j=β??+β?X_j）圍繞總體平均水平的變異方差（基于模型中單位層面截距的估計方差）約為3.0。比較兩者，可以推斷學(xué)生閱讀理解能力的大部分變異（方差為4.0）是發(fā)生在個體層面（即同一個班級內(nèi)學(xué)生之間的差異），而班級層面（不同班級之間）產(chǎn)生的平均期望值的變異相對較?。ǚ讲顬?.0）。這表明班級內(nèi)部的差異是影響閱讀理解能力的主要來源。5.解析思路：*可能出現(xiàn)的顯著效應(yīng)項