2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——時(shí)間序列模型在市場(chǎng)趨勢(shì)分析中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，包含的成分不包括：(A)趨勢(shì)成分(B)季節(jié)成分(C)循環(huán)成分(D)隨機(jī)成分2.若一個(gè)時(shí)間序列是平穩(wěn)的，則其統(tǒng)計(jì)特性（如均值、方差）：(A)隨時(shí)間變化而變化(B)不隨時(shí)間變化而變化(C)僅在特定時(shí)間段內(nèi)穩(wěn)定(D)具有明顯的周期性波動(dòng)3.對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行建模前，通常需要進(jìn)行差分處理，目的是：(A)消除趨勢(shì)成分(B)消除季節(jié)成分(C)使序列達(dá)到平穩(wěn)性要求(D)增加數(shù)據(jù)的可預(yù)測(cè)性4.ARIMA(p,d,q)模型中，參數(shù)d代表：(A)滯后階數(shù)(B)差分次數(shù)(C)模型復(fù)雜度(D)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的階數(shù)5.指數(shù)平滑方法中，Holt線性趨勢(shì)模型適用于：(A)只含有水平成分的序列(B)只含有趨勢(shì)成分的序列(C)同時(shí)含有水平和趨勢(shì)成分的序列(D)同時(shí)含有水平、趨勢(shì)和季節(jié)成分的序列6.在時(shí)間序列模型中，殘差分析的主要目的是：(A)估計(jì)模型參數(shù)(B)預(yù)測(cè)未來值(C)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ图僭O(shè)是否滿足(D)選擇合適的模型階數(shù)7.MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)γ(k)：(A)隨滯后k增大而指數(shù)衰減(B)在滯后q+1后為0(C)從第一個(gè)滯后開始線性下降(D)始終為08.下列關(guān)于季節(jié)性分解方法的描述，錯(cuò)誤的是：(A)加法模型假設(shè)季節(jié)影響與數(shù)據(jù)水平無關(guān)(B)乘法模型假設(shè)季節(jié)影響與數(shù)據(jù)水平成正比(C)指數(shù)平滑法可用于進(jìn)行季節(jié)性分解(D)季節(jié)性分解有助于揭示數(shù)據(jù)內(nèi)在模式9.使用ADF檢驗(yàn)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)時(shí)，如果原假設(shè)為“序列存在單位根（非平穩(wěn)）”，通常：(A)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，則拒絕原假設(shè)(B)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于臨界值，則拒絕原假設(shè)(C)P值大于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)(D)P值小于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)10.時(shí)間序列預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性通常用哪些指標(biāo)衡量？（請(qǐng)選擇所有適用選項(xiàng)）(A)平均絕對(duì)誤差(MAE)(B)均方誤差(MSE)(C)均方根誤差(RMSE)(D)相關(guān)系數(shù)(R)二、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述時(shí)間序列平穩(wěn)性的定義及其重要性。2.比較自回歸模型（AR）和移動(dòng)平均模型（MA）的主要區(qū)別。3.簡(jiǎn)要說明指數(shù)平滑法的基本思想，并列舉兩種常見的指數(shù)平滑模型。4.在應(yīng)用ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)前，需要進(jìn)行哪些關(guān)鍵的模型診斷步驟？三、計(jì)算與分析題（共30分）1.（10分）某公司月度銷售額數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下：120,132,141,150,160,175,185,195,205,218,230,242。假設(shè)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性趨勢(shì)，但不考慮季節(jié)性。(1)計(jì)算一階差分序列{y't}。(2)擬合一線性趨勢(shì)模型（Holt模型的一階形式）到一階差分序列{y't}，并估計(jì)模型參數(shù)（α,β?）。(3)基于擬合好的模型，預(yù)測(cè)下一年度（第13、14、15月）的差分銷售額。2.（20分）某零售商月度冰淇淋銷量數(shù)據(jù)（單位：箱）呈現(xiàn)明顯的季節(jié)性和趨勢(shì)性，數(shù)據(jù)如下：150,200,250,300,400,500,450,350,300,250,200,180。現(xiàn)欲使用Holt-Winters季節(jié)性指數(shù)平滑法進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。(1)簡(jiǎn)述Holt-Winters季節(jié)性指數(shù)平滑法的基本原理（需區(qū)分加法模型和乘法模型）。(2)假設(shè)選擇加法模型，且季節(jié)周期長(zhǎng)度為12個(gè)月。請(qǐng)簡(jiǎn)述模型參數(shù)（α,β,γ）的初始化方法。(3)假設(shè)通過模型估計(jì)得到參數(shù)α=0.1,β=0.02,γ=0.05，以及初始估計(jì)的季節(jié)性指數(shù)S?2=50,S?2=100,...,S?22=150（對(duì)應(yīng)12個(gè)月）。請(qǐng)計(jì)算第13月的預(yù)測(cè)值。(4)簡(jiǎn)述在模型應(yīng)用中，如何評(píng)估季節(jié)性指數(shù)平滑模型的預(yù)測(cè)效果。四、綜合應(yīng)用題（30分）某電商公司希望預(yù)測(cè)未來三個(gè)季度的網(wǎng)站月訪問量，以優(yōu)化服務(wù)器資源配置和營(yíng)銷策略。公司提供了過去兩年（24個(gè)月）的月訪問量數(shù)據(jù)。假設(shè)經(jīng)過初步分析，數(shù)據(jù)具有明顯的線性趨勢(shì)和固定的季節(jié)性波動(dòng)，且使用Holt-Winters加法模型進(jìn)行擬合的效果較好。模型估計(jì)參數(shù)為：α=0.15,β=0.03,γ=0.04，初始趨勢(shì)值T?=500，初始季節(jié)指數(shù)S?2=1.1,S?2=1.0,S?2=0.9,S?2=0.8,S?2=1.2,S?2=1.1（按月排列）。請(qǐng)完成以下分析任務(wù)：(1)描述你將如何利用上述信息和模型參數(shù)，計(jì)算未來三個(gè)季度（共9個(gè)月）的月訪問量預(yù)測(cè)值。請(qǐng)寫出計(jì)算過程或關(guān)鍵步驟。(2)在實(shí)際應(yīng)用中，除了模型參數(shù)和初始值，你還需要考慮哪些因素來進(jìn)一步完善或評(píng)估這個(gè)預(yù)測(cè)模型？(3)基于你的預(yù)測(cè)和分析，請(qǐng)?zhí)岢鲋辽賰蓷l關(guān)于服務(wù)器資源配置或營(yíng)銷策略的建議，并簡(jiǎn)要說明理由。試卷答案一、選擇題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.(A)2.(B)3.(C)4.(B)5.(C)6.(C)7.(B)8.(C)9.(D)10.(A),(B),(C),(D)二、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共20分）1.時(shí)間序列平穩(wěn)性的定義及其重要性。定義：時(shí)間序列平穩(wěn)性是指序列的統(tǒng)計(jì)特性（如均值、方差、自協(xié)方差函數(shù)）不隨時(shí)間推移而變化。具體來說，弱平穩(wěn)性要求均值恒為常數(shù)，方差恒為常數(shù)，且自協(xié)方差函數(shù)僅依賴于滯后期差，與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。重要性：大多數(shù)經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)時(shí)間序列模型（如ARIMA）都基于平穩(wěn)性假設(shè)。只有滿足平穩(wěn)性，模型的參數(shù)估計(jì)才具有無偏性和一致性，預(yù)測(cè)結(jié)果才具有可靠性。對(duì)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)可能導(dǎo)致虛假的精確性和錯(cuò)誤的趨勢(shì)判斷，因此通常需要通過差分、變換等方法使序列平穩(wěn)化后再進(jìn)行建模。2.比較自回歸模型（AR）和移動(dòng)平均模型（MA）的主要區(qū)別。自回歸模型（AR）：*模型形式：當(dāng)前觀測(cè)值是過去p個(gè)觀測(cè)值的線性組合，即y?=c+φ?y???+φ?y???+...+φ?y???+ε?。*自相關(guān)結(jié)構(gòu)：序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）隨滯后k增大而指數(shù)衰減至0，而偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）在滯后p處截尾（變?yōu)?），在滯后p+1及以后為0。*解釋：AR模型主要捕捉序列自身的依賴關(guān)系，即過去的值對(duì)現(xiàn)在的影響。移動(dòng)平均模型（MA）：*模型形式：當(dāng)前觀測(cè)值是過去的q個(gè)誤差項(xiàng)的線性組合，即y?=μ+ε?+θ?ε???+θ?ε???+...+θ?ε???。*自相關(guān)結(jié)構(gòu)：序列的ACF在滯后q處截尾（變?yōu)?），在滯后q+1及以后為0，而PACF隨滯后k增大而指數(shù)衰減至0。*解釋：MA模型主要捕捉序列中的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間的依賴關(guān)系，即過去的誤差對(duì)現(xiàn)在的影響。3.簡(jiǎn)要說明指數(shù)平滑法的基本思想，并列舉兩種常見的指數(shù)平滑模型。基本思想：指數(shù)平滑法是一種遞歸的預(yù)測(cè)方法，賦予近期觀測(cè)值比遠(yuǎn)期觀測(cè)值更高的權(quán)重，權(quán)重呈指數(shù)遞減。它通過加權(quán)平均過去所有觀測(cè)值（或其差分、季節(jié)成分）來預(yù)測(cè)未來值，充分利用了數(shù)據(jù)中的平滑趨勢(shì)或模式。常見的指數(shù)平滑模型：*單指數(shù)平滑模型（SimpleExponentialSmoothing,SES）：適用于只含有水平成分的序列。模型形式為S?=αy?+(1-α)S???。*雙指數(shù)平滑模型（Holt線性趨勢(shì)模型）：適用于同時(shí)含有水平成分和線性趨勢(shì)成分的序列。模型形式包含平滑項(xiàng)S?和趨勢(shì)項(xiàng)T?：S?=αy?+(1-α)(S???+T???)，T?=β(S?-S???)+(1-β)T???。4.在應(yīng)用ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)前，需要進(jìn)行哪些關(guān)鍵的模型診斷步驟？關(guān)鍵模型診斷步驟：*數(shù)據(jù)可視化檢查：觀察時(shí)間序列圖，初步判斷是否存在趨勢(shì)、季節(jié)性、周期性或異常值。*平穩(wěn)性檢驗(yàn)：使用ADF檢驗(yàn)、KPSS檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)序列是否平穩(wěn)。如果非平穩(wěn)，需進(jìn)行差分或變換直至達(dá)到平穩(wěn)性。*白噪聲檢驗(yàn)：使用Ljung-Box檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)殘差序列是否為白噪聲（即序列各項(xiàng)間無自相關(guān)性）。殘差應(yīng)近似為白噪聲，這是模型擬合良好的標(biāo)志。*殘差正態(tài)性檢驗(yàn)：檢驗(yàn)殘差是否服從正態(tài)分布（如使用Shapiro-Wilk檢驗(yàn)或觀察Q-Q圖），這對(duì)參數(shù)估計(jì)和置信區(qū)間構(gòu)建很重要。*模型參數(shù)顯著性檢驗(yàn)：檢驗(yàn)ARIMA模型中自回歸系數(shù)、移動(dòng)平均系數(shù)是否顯著不為零。三、計(jì)算與分析題（共30分）1.（10分）某公司月度銷售額數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下：120,132,141,150,160,175,185,195,205,218,230,242。假設(shè)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性趨勢(shì)，但不考慮季節(jié)性。(1)計(jì)算一階差分序列{y't}。y't=y?-y???。計(jì)算結(jié)果為：12,9,9,10,15,10,10,10,13,12,12。(2)擬合一線性趨勢(shì)模型（Holt模型的一階形式）到一階差分序列{y't}，并估計(jì)模型參數(shù)（α,β?）。模型形式：y't=αy't+(1-α)(α?+β?(t-1))，其中α?是初始趨勢(shì)估計(jì)。初始估計(jì)：α?≈(y????-y????)/n≈(132-120)/11=1.82(或用更精確的加權(quán)平均法)。令T?=α?=1.82。使用基本的最小二乘法或遞推公式估計(jì)α和β?。遞推估計(jì)（簡(jiǎn)化示例，實(shí)際可能更復(fù)雜）：α≈0.33,β?≈0.92。（注：實(shí)際參數(shù)值可能因計(jì)算方法不同略有差異）(3)基于擬合好的模型，預(yù)測(cè)下一年度（第13、14、15月）的差分銷售額。預(yù)測(cè)公式：?'t??=αy't+(1-α)T?+mβ?。預(yù)測(cè)第13月差分值：?'??=αy'??+(1-α)T??+β?=α*12+(1-α)*1.82+0.92≈12*0.33+0.67*1.82+0.92≈4.96+1.22+0.92≈7.1。預(yù)測(cè)第14月差分值：?'??=αy'??+(1-α)T??+β?≈α*9+(1-α)*(1.82+0.92)+0.92≈9*0.33+1.82+0.92≈2.97+1.82+0.92≈5.71。預(yù)測(cè)第15月差分值：?'??=αy'??+(1-α)T??+β?≈α*10+(1-α)*(2.74+0.92)+0.92≈10*0.33+3.66+0.92≈3.3+3.66+0.92≈7.88。（注：此處T??=T?+1*β?=1.82+0.92,T??=T??+β?=2.74,T??=T??+β?）2.（20分）某零售商月度冰淇淋銷量數(shù)據(jù)（單位：箱）呈現(xiàn)明顯的季節(jié)性和趨勢(shì)性，數(shù)據(jù)如下：150,200,250,300,400,500,450,350,300,250,200,180。現(xiàn)欲使用Holt-Winters季節(jié)性指數(shù)平滑法進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。(1)簡(jiǎn)述Holt-Winters季節(jié)性指數(shù)平滑法的基本原理（需區(qū)分加法模型和乘法模型）?；驹恚篐olt-Winters方法通過引入季節(jié)性指數(shù)來同時(shí)處理趨勢(shì)和季節(jié)性。模型包含平滑項(xiàng)S?、趨勢(shì)項(xiàng)T?和季節(jié)性指數(shù)f?（對(duì)應(yīng)月份）。*加法模型假設(shè)季節(jié)影響是固定幅度的，與數(shù)據(jù)水平無關(guān)。模型形式為y?=Level+Trend+Seasonal+ε?。更新公式涉及L期（季節(jié)周期）的移動(dòng)平均來估計(jì)Level和Trend，以及當(dāng)前觀測(cè)值與相應(yīng)季節(jié)指數(shù)的差來更新季節(jié)指數(shù)。*乘法模型假設(shè)季節(jié)影響與數(shù)據(jù)水平成正比。模型形式為y?=Level*Trend*Seasonal*ε?。更新公式涉及L期移動(dòng)平均的乘積來估計(jì)Level和Trend，以及當(dāng)前觀測(cè)值與相應(yīng)季節(jié)指數(shù)的比來更新季節(jié)指數(shù)。(2)假設(shè)選擇加法模型，且季節(jié)周期長(zhǎng)度為12個(gè)月。請(qǐng)簡(jiǎn)述模型參數(shù)（α,β,γ）的初始化方法。初始化方法：*Level(L?)：初始水平估計(jì)，可使用首期L個(gè)值的平均值，或首期值加上前L/2個(gè)趨勢(shì)差的平均值。*Trend(B?)：初始趨勢(shì)估計(jì)，可使用首期L個(gè)值的趨勢(shì)差的平均值。*季節(jié)指數(shù)(S?2,i=1,2,...,L)：初始季節(jié)指數(shù)，可通過將各期數(shù)據(jù)除以對(duì)應(yīng)的初始水平（如L?）并求均值得到，或直接計(jì)算各期數(shù)據(jù)與首期數(shù)據(jù)的平均差值。（示例：S?2=(150-L?)/L?,S?2=(200-L?)/L?,...,S?22=(180-L?)/L?，然后求12個(gè)S?2的平均值得到初始季節(jié)指數(shù)的估計(jì)。）(3)假設(shè)通過模型估計(jì)得到參數(shù)α=0.1,β=0.02,γ=0.05，以及初始估計(jì)的季節(jié)性指數(shù)S?2=1.1,S?2=1.0,S?2=0.9,S?2=0.8,S?2=1.2,S?2=1.1,S?2=1.0,S?2=0.9,S?2=0.8,S??2=1.2,S??2=1.1（按月排列）。請(qǐng)計(jì)算第13月的預(yù)測(cè)值。預(yù)測(cè)公式：????=L?+mB?+f???。需要計(jì)算L??,B??,f??。假設(shè)L??,B??已由模型迭代計(jì)算得到。f??=S?2(因?yàn)?3月對(duì)應(yīng)第一個(gè)季節(jié)周期內(nèi)的第一個(gè)月)。第13月預(yù)測(cè)值：???=L??+B??+S?2。（注：此處未給出L??和B??的具體數(shù)值，無法計(jì)算出最終數(shù)字，但過程是明確的。）(4)簡(jiǎn)述在模型應(yīng)用中，如何評(píng)估季節(jié)性指數(shù)平滑模型的預(yù)測(cè)效果。評(píng)估方法：*可視化：繪制實(shí)際值與預(yù)測(cè)值的對(duì)比圖，觀察擬合和預(yù)測(cè)效果。*誤差指標(biāo)：計(jì)算MAE,MSE,RMSE等指標(biāo)衡量預(yù)測(cè)誤差的大小。*模型選擇：如果有多個(gè)模型（如加法vs乘法，不同參數(shù)），可通過AIC,BIC等準(zhǔn)則選擇最優(yōu)模型。*殘差分析：檢查模型殘差是否近似白噪聲，是否符合模型假設(shè)。*預(yù)測(cè)區(qū)間：計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間，評(píng)估預(yù)測(cè)的不確定性。四、綜合應(yīng)用題（30分）某電商公司希望預(yù)測(cè)未來三個(gè)季度的網(wǎng)站月訪問量，以優(yōu)化服務(wù)器資源配置和營(yíng)銷策略。公司提供了過去兩年（24個(gè)月）的月訪問量數(shù)據(jù)。假設(shè)經(jīng)過初步分析，數(shù)據(jù)具有明顯的線性趨勢(shì)和固定的季節(jié)性波動(dòng)，且使用Holt-Winters加法模型進(jìn)行擬合的效果較好。模型估計(jì)參數(shù)為：α=0.15,β=0.03,γ=0.04，初始趨勢(shì)值T?=500，初始季節(jié)指數(shù)S?2=1.1,S?2=1.0,S?2=0.9,S?2=0.8,S?2=1.2,S?2=1.1（按月排列）。(1)描述你將如何利用上述信息和模型參數(shù)，計(jì)算未來三個(gè)季度（共9個(gè)月）的月訪問量預(yù)測(cè)值。請(qǐng)寫出計(jì)算過程或關(guān)鍵步驟。計(jì)算步驟：1.準(zhǔn)備：確定模型參數(shù)α=0.15,β=0.03,γ=0.04，初始值T?=500，初始季節(jié)指數(shù)S?2=1.1,S?2=1.0,...,S?2=1.1。確定當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)t?=24（最后一個(gè)月）。2.迭代更新（如果需要）：雖然題目未明確當(dāng)前L?,B?,S?2的值，但預(yù)測(cè)需要基于模型最后的狀態(tài)。通常需要從t?開始，使用觀測(cè)值y??,y??,...進(jìn)行迭代計(jì)算，更新L,B,S直至t??（第33月）。這里假設(shè)L,B,S的最終值已經(jīng)通過迭代計(jì)算得到，記為L(zhǎng)??,B??,S??,S??,...,S?。3.預(yù)測(cè)未來值：*預(yù)測(cè)第25月(t=25)：???=L??+B??+S??。*預(yù)測(cè)第26月(t=26)：???=L??+B??+S??。*...*預(yù)測(cè)第33月(t=33)：???=L??+B??+S?。*其中S??,S??,...,S?是基于最后一個(gè)月（t=24）的季節(jié)指數(shù)S?,S?,...,S?通過更新公式計(jì)算得到的下一個(gè)周期的季節(jié)指數(shù)。4.計(jì)算下一個(gè)周期的季節(jié)指數(shù)（示例）：*S??=α(y??-L??+B??)+(1-α)(S?+β(L??-L??)+(1-β)S?)=α(y??-L??+B??)+(1-α)(S?+βB??)（假設(shè)L??已知或可用）。*S??=α(y??-L??+B??)+(1-α)(S?+β(L??-L??)+(1-β)S?)=α(y??-L??+B??)+(1-α)(S?+βB??)。*...依此類推，使用已知的