2025年山東省濱州市五校聯(lián)考數(shù)學高二第一學期期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A. B.C. D.2．已知數(shù)列中，其前項和為，且滿足，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，則實數(shù)的值可以是（）A. B.2C.3 D.3．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)m,從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.4．已知集合A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，則A∩B＝()A.{－2，－1，0，1} B.{－1，0，1}C.{－2，－1} D.{－2，－1，0}5．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，、分別是的兩個焦點，過的直線交于、兩點，若的周長為，則的離心率為（）A. B.C. D.6．設(shè)等比數(shù)列，有下列四個命題：①{a②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；④lgan其中正確命題的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.47．2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標志著中國空間站在軌組裝建造全面展開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經(jīng)九個多月.在這段時間里，空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務(wù).一般來說，航天器繞地球運行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠）的一點稱作近（遠）地點，近（遠）地點與地球表面的距離稱為近（遠）地點高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度大約351km，遠地點高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B.C. D.8．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.9．已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.10．已知點A、是拋物線：上的兩點，且線段過拋物線的焦點，若的中點到軸的距離為3，則（）A.3 B.4C.6 D.811．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒訕俗R（圖1），標識由黨徽、數(shù)字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動展現(xiàn)中國共產(chǎn)黨團結(jié)帶領(lǐng)中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個“0”設(shè)計為兩個半徑為的相交大圓，分別內(nèi)含一個半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.12．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點A是橢圓短軸的一個頂點，且，則橢圓的離心率（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，若拋物線上的點P到該拋物線焦點的距離為5，則點P的縱坐標為_______14．已知直線與直線平行，則直線，之間的距離為__________.15．函數(shù)在處的切線方程是_________16．雙曲線上一點P到的距離最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，是棱長為的正方體，是棱的中點，是棱的中點（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求到平面的距離18．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，DC，PB的中點.（1）證明：直線PF//平面ACG；（2）求直線PD與平面ACG所成角的正弦值.19．（12分）某餐館將推出一種新品特色菜，為更精準確定最終售價，這種菜按以下單價各試吃1天，得到如下數(shù)據(jù)：（1）求銷量關(guān)于的線性回歸方程；（2）預計今后的銷售中，銷量與單價服從（1）中的線性回歸方程，已知每份特色菜的成本是15元，為了獲得最大利潤，該特色菜的單價應(yīng)定為多少元？（附：，）20．（12分）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一個法向量.21．（12分）茶樹根據(jù)其茶葉產(chǎn)量可分為優(yōu)質(zhì)茶樹和非優(yōu)質(zhì)茶樹，某茶葉種植研究小組選取了甲，乙兩塊試驗田來檢驗某種茶樹在不同的環(huán)境條件下的生長情況．研究人員將100株該種茶樹幼苗在甲，乙兩塊試驗田中進行種植，成熟后統(tǒng)計每株茶樹的茶葉產(chǎn)量，將所得數(shù)據(jù)整理如下表所示：優(yōu)質(zhì)茶樹非優(yōu)質(zhì)茶樹甲試驗田a25乙試驗田10b已知甲試驗田優(yōu)質(zhì)茶樹的比例為50%（1）求表中a，b的值；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，是否有99%的把握認為甲，乙兩塊試驗田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響？附：，其中．0.100.050.01k2.7063.8416.63522．（10分）已知橢圓，離心率為，橢圓上任一點滿足（1）求橢圓的方程；（2）若動直線與橢圓相交于、兩點，若坐標原點總在以為直徑的圓外時，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應(yīng)的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.2、D【解析】由求出，從而可以求，再根據(jù)已知條件不等式恒成立，可以進行適當放大即可.【詳解】若n=1，則，故；若，則由得，故，所以，，又因為對恒成立，當時，則恒成立，當時，，所以，，，若n為奇數(shù)，則；若n為偶數(shù)，則，所以所以，對恒成立，必須滿足.故選：D3、A【解析】根據(jù)分步計數(shù)乘法原理求得所有的)共有12個，滿足兩個向量垂直的共有2個，利用古典概型公式可得結(jié)果.【詳解】集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù),有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)，有3種方法，所以，所有的共有個，由向量與向量垂直,可得，即,故滿足向量與向量垂直的共有2個：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【點睛】本題主要考查分步計數(shù)乘法原理的應(yīng)用、向量垂直的性質(zhì)以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.4、D【解析】根據(jù)集合交集的運算法則計算即可.【詳解】∵A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，則A∩B＝{－2，－1，0}.故選：D.5、A【解析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)的周長為得出，最后根據(jù)求出的值，即可求出的離心率.【詳解】因為橢圓的面積為，所以長半軸長與短半軸長的乘積，因為的周長為，所以根據(jù)橢圓的定義易知，，，，則的離心率，故選：A.6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)對四個命題逐一分析，由此確定正確命題的個數(shù).【詳解】是等比數(shù)列可得（為定值）①為常數(shù)，故①正確②，故②正確③為常數(shù)，故③正確④不一定為常數(shù)，故④錯誤故選C.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】根據(jù)遠地點和近地點，求出軌道即橢圓的半長軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的半長軸為a，半焦距為c.則根據(jù)題意得;解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A8、B【解析】根據(jù)向量加法和減法法則即可用、、表示出.【詳解】故選：B.9、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D10、D【解析】直接根據(jù)拋物線焦點弦長公式以及中點坐標公式求結(jié)果【詳解】設(shè)，，則的中點到軸的距離為，則故選：D11、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個弓形面積，結(jié)合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點坐標，四邊形邊長均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B12、D【解析】依題意，不妨設(shè)點A的坐標為，在中，由余弦定理得，再根據(jù)離心率公式計算即可.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則橢圓的左焦點的坐標為，右焦點的坐標為，依題意，不妨設(shè)點A的坐標為，在中，由余弦定理得：，，，，解得.故選：D.【點睛】本題考查橢圓幾何性質(zhì)，在中，利用余弦定理求得是關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據(jù)拋物線的定義，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意：拋物線的準線為，設(shè)點P的縱坐標為，由拋物線定義可得，解得，所以點P的縱坐標為4.故答案為：414、【解析】利用直線平行與斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式即可得出【詳解】解：因為直線與直線平行，所以，解得，當時，，，則故答案為：【點睛】熟練運用直線平行與斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式，是解題關(guān)鍵15、【解析】求得，利用導數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，，，故在處的切線方程是，整理得：.故答案為：.16、2【解析】設(shè)出點P的坐標，利用兩點間距離公式結(jié)合二次函數(shù)求出最小值即可作答.【詳解】設(shè)，則，即，于是得，而，則當時，，所以雙曲線上一點P到的距離最小值為2.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法可求得到平面的距離.【小問1詳解】解：以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的坐標系則、、、、、、，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，，，由，取，可得，所以，，直線與平面所成角的正弦為小問2詳解】解：設(shè)平面的一個法向量，，，由，即，令，得，，所以點到平面的距離為即到平面的距離為18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接EC，設(shè)EB與AC相交于點O，結(jié)合已知條件利用線面平行的判定定理可證得OG//平面PEF，再由三角形中位線定理結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC//平面PEF，從而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面GAC，進而可證得結(jié)論，（2）由已知可證得PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可【小問1詳解】證明：連接EC，設(shè)EB與AC相交于點O，如圖，因為BC//AD，且，AB⊥AD，所以四邊形ABCE為矩形，所以O(shè)為EB的中點，又因為G為PB的中點，所以O(shè)G為△PBE的中位線，即OG∥PE，因為OG平面PEF，PE?平面PEF，所以O(shè)G//平面PEF，因為E，F(xiàn)分別為線段AD，DC的中點，所以EF//AC，因為AC平面PEF，EF?平面PEF，所以AC//平面PEF，因為OG?平面GAC，AC?平面GAC，AC∩OG＝O，所以平面PEF//平面GAC，因為PF?平面PEF，所以PF//平面GAC.【小問2詳解】因為PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因為AB⊥AD，所以PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），所以，設(shè)平面ACG的法向量為，則，所以，令x＝1，可得y＝﹣1，z＝﹣1，所以，設(shè)直線PD與平面ACG所成角為θ，則，所以直線PD與平面ACG所成角的正弦值為.19、（1）（2）24【解析】（1）求出，的值，根據(jù)公式求出的值，代入公式即可求出回歸直線方程（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出利潤，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解【詳解】解：（1）由題意得，，，，得，，所以關(guān)于的線性回歸方程為：.（2）由題意得，每份菜獲得的利潤，∴當時，取最大值，∴單價應(yīng)定為24元，可獲得最大利潤.【點睛】本題考查回歸直線的求法與應(yīng)用，著重考查計算化簡的能力，屬基礎(chǔ)題20、【解析】建立空間直角坐標系，由向量法求法向量即可.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則設(shè)平面ACD1的法向量.，又為平面ACD1的一個法向量，化簡得令x=1，得y=z=1.平面ACD1的一個法向量.【點睛】本題主要考查了求平面的法向量，屬于中檔題.21、（1）；（2）有99%的把握認為甲、乙兩塊