高三數(shù)學第二學期三角函數(shù)與解三角形多選題單元易錯題提高題學能測試試題一、三角函數(shù)與解三角形多選題1．在中，角、、的對邊分別為、、，面積為，有以下四個命題中正確的是（）A．的最大值為B．當，時，不可能是直角三角形C．當，，時，的周長為D．當，，時，若為的內(nèi)心，則的面積為【答案】ACD【分析】利用三角形面積公式，余弦定理基本不等式，以及三角換元，數(shù)形結合等即可判斷選項A；利用勾股定理的逆定理即可判斷選項B；利用正弦定理和三角恒等變換公式即可判斷選項C；由已知條件可得是直角三角形，從而可以求出其內(nèi)切圓的半徑，即可得的面積即可判斷選項D.【詳解】對于選項A：（當且僅當時取等號）.令，，故，因為，且，故可得點表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點，如下圖所示：目標函數(shù)上，表示圓弧上一點到點點的斜率，數(shù)形結合可知，當且僅當目標函數(shù)過點，即時，取得最小值，故可得，又，故可得，當且僅當，，即三角形為等邊三角形時，取得最大值，故選項A正確；對于選項B：因為，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，故選項B錯誤；對于選項C，由，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡得，因為，所以化簡得，因為，所以，所以，則，所以，所以，，，因為，所以，，所以的周長為，故選項C正確；對于選項D，由C可知，為直角三角形，且，，，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積為所以選項D正確，故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是正余弦定理以及面積公式，對于A利用面積公式和余弦定理，結合不等式得，再利用三角換元、數(shù)形結合即可得證，綜合性較強，屬于難題.2．在單位圓O：上任取一點，圓O與x軸正向的交點是A，將OA繞原點O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角記為，若x，y關于的表達式分別為，，則下列說法正確的是（）A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)；B．在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；C．在上恒成立；D．函數(shù)的最大值為.【答案】ACD【分析】依據(jù)三角函數(shù)的基本概念可知，，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷A、B；根據(jù)輔助角公式知，再利用三角函數(shù)求值域可判斷C；對于D，，先對函數(shù)求導，從而可知函數(shù)的單調(diào)性，進而可得當，時，函數(shù)取得最大值，結合正弦的二倍角公式，代入進行運算即可得解．【詳解】由題意，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，，對于A，函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，故A正確；對于B，由正弦，余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故B錯誤；對于C，當時，，故C正確；對于D，函數(shù)，求導，令，則；令，則，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當即，時，函數(shù)取得極大值，又當即，時，，所以函數(shù)取得最大值，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：考查三角函數(shù)的值域時，常用的方法：（1）將函數(shù)化簡整理為，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）利用導數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.3．如圖，的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．若，且，是外一點，，，則下列說法正確的是（）A．是等邊三角形B．若，則，，，四點共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為【答案】AC【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求，再利用，可知為等邊三角形，從而判斷；利用四點，，，共圓，四邊形對角互補，從而判斷；設，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，判斷．【詳解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等邊三角形，A正確；B不正確：若四點共圓，則四邊形對角互補，由A正確知，但由于時，，∴B不正確．C正確，D不正確：設，則，，，，，，，，∴C正確，D不正確；故選：AC.．【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．4．中，，BC邊上的中線，則下列說法正確的有（）A．為定值 B．C． D．的最大值為【答案】ABD【分析】A利用向量的加減法及向量的數(shù)量積公式運算即可，B根據(jù)余弦定理及角的互補運算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出范圍即可，D根據(jù)余弦定理及基本不等式求出的最小值即可.【詳解】對于A，，為定值，A正確；對于B，，故B正確；對于C，由余弦定理及基本不等式得（當且僅當時，等號成立）,由A選項知，，解得，故C錯誤；對于D，（當且僅當時，等號成立），因為，所以，又，所以的最大值，D選項正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，屬于難題.5．（多選題）已知，則下列式子成立的是（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】對原式進行切化弦，整理可得：，結合因式分解代數(shù)式變形可得選項.【詳解】∵，，整理得，∴，即，即，∴C、D正確.故選：CD【點睛】此題考查三角函數(shù)的化簡變形，根據(jù)弦切關系因式分解，結合平方關系變形.6．已知函數(shù)的定義域為，若對于任意分別為某個三角形的邊長，則稱為“三角形函數(shù)”，其中為“三角形函數(shù)”的函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】結合三角形的性質(zhì)有:兩邊之差小于第三邊，得若為“三角形函數(shù)”則恒成立，即恒成立即可，根據(jù)條件求出函數(shù)的最大值和最小值，進行判斷即可.【詳解】解:①，則，則恒成立,則滿足條件②當時，當時，函數(shù)取得最小值,當時，函數(shù)取得最大值，則不恒成立，則不滿足條件③，則不滿足條件恒成立，故不是④，，則，則，則恒成立，故滿足條件故選【點睛】本題考查了三角形的性質(zhì)及“三角形函數(shù)”的概念，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為恒成立是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度.7．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．B．是函數(shù)圖象的一個對稱中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上的值域是【答案】BC【分析】首先求得函數(shù)，再根據(jù)選項，整體代入，判斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】，，故A錯誤；，故B正確；時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；時，，當時，函數(shù)取得最小值-1，當時，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)的值域是.故選：BC【點睛】思路點睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對于函數(shù)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點，因此判斷直線或點是否是函數(shù)的對稱軸和對稱中心時，可通過驗證的值進行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也可以求的范圍，驗證此區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間.8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．函數(shù)的周期為B．函數(shù)在單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關于直線對稱D．該圖象向右平移個單位可得的圖象【答案】ACD【分析】先根據(jù)圖像求出的解析式，再分別驗證A、B、C、D是否正確.對于A：利用周期公式求周期；對于B：利用復合函數(shù)“同增異減”求單調(diào)區(qū)間；對于C：計算，看是否經(jīng)過頂點；對于D：利用“左加右減”判斷.【詳解】由圖像可知：A=2，周期；由解得：故函數(shù)對于A：，故A正確；對于B：當時，所以在上不單調(diào).故B錯誤；對于C：當時，即直線是的一條對稱軸.故C正確；對于D：向右平移個單位得到，故D正確.故選：ACD【點睛】求三角函數(shù)解析式的方法：(1)求A通常用最大值或最小值；(2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函數(shù)上的點帶入即可求解.9．設函數(shù)，已知在有且僅有5個零點，則下列結論成立的有（）A．在有且僅有2個零點B．在單調(diào)遞增C．的取值范圍是D．將的圖象先右移個單位，再縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍，得到函數(shù)【答案】BC【分析】首先利用圖象直接判斷A選項；再利用函數(shù)在有且僅有5個零點，求得的范圍，并利用整體代入的方法判斷B選項；最后利用圖象的變換規(guī)律，求得變換之后的解析式，判斷D.【詳解】A.如圖，上函數(shù)僅有5個零點，但有3個最小值點，這3個最小值點就是在上的3個零點；B.時，若函數(shù)在有且僅有5個零點，則，得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故BC正確；D.函數(shù)的圖象先右移個單位后得到，再將橫坐標擴大為原來的2倍，得到，故D不正確；故選：BC【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是求出的取值范圍，首先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間有5個零點，首先求的范圍，再分析的圖象，求得的范圍.10．已知，，，，則（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先根據(jù)，判斷角的范圍，再根據(jù)求；根據(jù)平方關系，判斷的值；利用公式求值，并根據(jù)角的范圍判斷角的值；利用公式和，聯(lián)合求.【詳