2025年大學《統計學》專業(yè)題庫——數據壓縮與降維在統計學中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.在統計學中，數據降維的主要目標之一是（）。A.提高數據在特定分布下的擬合優(yōu)度B.減少數據中的噪聲干擾C.降低數據維度，減少冗余信息，發(fā)現數據潛在結構D.增加數據變異性，使其更適合某些統計檢驗2.主成分分析（PCA）的核心思想是尋找新的變量（主成分）使這些新變量（）。A.之間具有最大的相關性B.能夠最大化解釋原始變量總方差的比例C.具有最小的方差D.與原始變量的均值盡可能接近3.下列哪個方法的主要目標是找出能夠最好地區(qū)分不同類別的線性組合？A.主成分分析（PCA）B.線性判別分析（LDA）C.因子分析（FactorAnalysis）D.奇異值分解（SVD）4.在因子分析中，衡量因子對原始變量方差解釋程度的指標是（）。A.因子載荷B.公共因子方差C.因子旋轉矩陣D.碎石圖5.降維方法可能導致的主要問題是（）。A.數據丟失重要信息B.模型訓練時間縮短C.檢驗統計量分布變得更復雜D.數據的線性關系增強6.適用于處理非負數據且能夠發(fā)現數據內在結構的降維方法之一是（）。A.主成分分析（PCA）B.線性判別分析（LDA）C.非負矩陣分解（NMF）D.因子分析（FactorAnalysis）7.當處理的數據維度非常高，且特征之間存在強相關性時，使用降維方法的主要好處是（）。A.保證模型參數估計的無偏性B.可能提高后續(xù)分類或回歸模型的預測性能，并降低過擬合風險C.顯著減少計算復雜度D.使數據分布更接近正態(tài)分布8.在使用主成分分析進行降維后，如果希望主成分在統計上具有較好的解釋力，通常關注的是主成分的（）。A.方差B.協方差C.相關系數D.偏度9.線性判別分析（LDA）在計算判別函數時，主要考慮的是（）。A.類內散差和類間散差B.樣本均值和樣本方差C.因子載荷和特征值D.數據的缺失值情況10.對降維結果進行有效性評估時，一個常用的指標是（）。A.特征數B.累積解釋方差百分比C.因子得分D.相關性矩陣二、名詞解釋1.降維(DimensionalityReduction)2.主成分(PrincipalComponent)3.因子載荷(FactorLoading)4.線性判別函數(LinearDiscriminantFunction)5.維度災難(CurseofDimensionality)三、簡答題1.簡述主成分分析與線性判別分析在目標和應用場景上的主要區(qū)別。2.解釋什么是“維度災難”，并說明數據降維如何緩解這一問題。3.在進行因子分析時，為什么通常需要進行因子旋轉？常用的因子旋轉方法有哪些？4.列舉至少三個在統計學研究或數據分析中應用降維技術的具體場景。四、計算題1.假設對某數據集進行主成分分析，得到協方差矩陣的特征值分別為：λ?=4.5,λ?=1.8,λ?=0.2(總方差為6.5)。試計算前兩個主成分的方差貢獻率和累積方差貢獻率，并說明保留前兩個主成分大約保留了原始數據多少的信息。2.假設有兩個類別A和B，樣本均值向量分別為μ?=[1,2]?和μ?=[4,0]?，類內散差矩陣S?和S?相同且為I?(2x2單位矩陣)。試計算線性判別分析（LDA）得到的判別函數（權重向量）w，并說明該判別函數的主要作用。五、論述題結合你所學知識，論述在統計建模之前對高維數據進行降維的必要性和潛在風險。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.B4.A5.A6.C7.B8.A9.A10.B二、名詞解釋1.降維：指在保留數據關鍵信息的前提下，將數據集的維度從高維空間映射到低維空間的過程，目的是簡化數據結構，去除冗余，便于分析和可視化。2.主成分：主成分分析過程中，通過線性組合原始變量生成的新的綜合變量，這些新變量按照其方差大小排序，第一個主成分解釋的方差最大，后續(xù)主成分依次遞減。3.因子載荷：因子分析中，表示每個原始變量與某個公共因子相關程度的統計量，絕對值越大表示該變量在該因子上的貢獻越大。4.線性判別函數：線性判別分析中，用于區(qū)分不同類別的線性組合，其表達式通常為weight?x+intercept，其中weight為判別系數向量，x為樣本向量。5.維度災難：指隨著數據維度（特征數量）的增加，數據點在高維空間中變得極其稀疏，導致許多依賴距離或密度的算法性能急劇下降，計算復雜度呈指數增長的現象。三、簡答題1.主成分分析（PCA）的目標是最大化數據方差，找到最能代表原始數據變異性的正交線性組合，主要用于數據降維和探索性分析。線性判別分析（LDA）的目標是最大化類間差異并最小化類內差異，找到能最好地區(qū)分不同類別的線性組合，主要用于分類任務的特征提取。PCA是無監(jiān)督方法，LDA是有監(jiān)督方法。2.維度災難指在高維空間中，數據點之間的距離變得難以區(qū)分，數據變得極其稀疏，使得基于距離的算法（如KNN）效果變差，模型訓練數據復雜度急劇增加。降維通過減少特征數量，將數據投影到低維空間，使得數據點相對更密集，距離度量更有意義，從而緩解了維度災難帶來的問題，并可能提高模型效率和性能。3.因子分析中進行因子旋轉是為了使因子載荷矩陣更容易解釋。旋轉前，因子可能同時對多個原始變量有較大載荷，難以區(qū)分因子含義。旋轉后，可以使得每個因子主要與少數幾個原始變量有較大載荷，從而更清晰地揭示每個因子代表的潛在結構或含義。常用的旋轉方法有正交旋轉（如Varimax方差最大化旋轉）和斜交旋轉（如Promax旋轉）。4.降維技術常應用于：①高維生物信息學數據分析（如基因表達譜分析）；②圖像處理與計算機視覺（如特征提取用于人臉識別）；③用戶行為數據分析（如減少用戶屬性維度進行用戶畫像）；④流程工業(yè)數據分析（處理大量傳感器數據監(jiān)測設備狀態(tài)）；⑤機器學習預處理（提高分類或回歸模型的效率和預測精度）。四、計算題1.第一個主成分的方差貢獻率=λ?/(λ?+λ?+λ?)=4.5/(4.5+1.8+0.2)=4.5/6.5≈0.6923(或69.23%)。第二個主成分的方差貢獻率=λ?/(λ?+λ?+λ?)=1.8/(4.5+1.8+0.2)=1.8/6.5≈0.2769(或27.69%)。累積方差貢獻率（前兩個主成分）=0.6923+0.2769≈0.9692(或96.92%)。解析思路：主成分分析通過特征值衡量各主成分的方差。方差貢獻率=特征值/特征值之和。累積方差貢獻率=之前所有主成分的方差貢獻率之和。保留前兩個主成分意味著保留了約96.92%的原始數據總方差，因此可以說保留了大部分原始信息。2.根據LDA原理，判別函數（權重向量）w是類間散差矩陣S_between與類內散差矩陣S_within的廣義逆矩陣S_within?1(如果S_within可逆)與類間散差向量S_betweenμ?-μ?的乘積。S_between=μ?-μ?=[4-1,0-2]?=[3,-2]?。S_within=S?+S?=I?+I?=2I?=2*[[1,0],[0,1]]。S_within?1=(2I?)?1=(1/2)*I?=[[0.5,0],[0,0.5]]。判別函數權重向量w=S_within?1*S_between=[[0.5,0],[0,0.5]]*[3,-2]?=[0.5*3,0*3+0.5*(-2)]?=[1.5,-1]?。解析思路：LDA通過求解廣義特征值問題得到最優(yōu)權重向量。當類內散差矩陣為同質的單位矩陣時，判別函數的權重向量等于類間均值向量之差。計算得到的權重向量[1.5,-1]表示判別函數為1.5*x?-1*x?+intercept（intercept通常根據類別均值對稱性確定，此處未要求）。該函數主要作用是根據x?和x?的線性組合的大小來區(qū)分類別A和B，組合系數[1.5,-1]表明x?的系數為正，x?的系數為負，即數據點在x?方向上遠離類別B均值而在x?方向上靠近類別B均值時，更有可能被判別為屬于類別A。五、論述題降維的必要性體現在多個方面。首先，現實世界中的數據集往往維度極高（如基因芯片、文本數據、傳感器網絡數據），直接使用高維數據進行建?？赡軐е隆熬S度災難”，計算成本高昂，模型性能下降。降維可以減少計算復雜度，提高模型訓練和預測速度。其次，高維數據中可能包含大量冗余或不相關的特征，這些特征不僅無助于模型學習，反而可能干擾模型性能，引入噪聲。降維有助于剔除冗余信息，提取對模型最有用的核心特征，從而提高模型的泛化能力和解釋性。此外，降維后的低維數據更容易進行可視化，有助于直觀理解數據結構和潛在模式。例如，在生物信息學中，通過降維可以將成千上萬的基因表達數據投影到二維或三維空間進行可視化，幫助研究人員發(fā)現不同的基因簇或疾病亞型。然而，降維也伴隨著潛在風險。最主要的