2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——圖像分析中的數(shù)學(xué)算法設(shè)計(jì)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題4分，共20分）1.在圖像處理中，下列哪種技術(shù)主要用于提高圖像的對(duì)比度？A.圖像濾波B.圖像增強(qiáng)C.圖像分割D.圖像重建2.用于描述圖像局部區(qū)域紋理特征的統(tǒng)計(jì)量是？A.灰度共生矩陣B.頻譜特征C.形態(tài)學(xué)特征D.鄰域灰度值3.下列哪種算法不屬于基于邊緣的圖像分割方法？A.Canny邊緣檢測(cè)算法B.K-means聚類(lèi)算法C.Sobel算子D.Roberts算子4.在圖像重建問(wèn)題中，常用的正則化方法有？A.最小二乘法B.Tikhonov正則化C.最大似然估計(jì)D.迭代法5.下列哪種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)常用于表示圖像的鄰域關(guān)系？A.樹(shù)B.圖C.隊(duì)列D.鏈表二、填空題（每小題4分，共20分）1.圖像灰度直方圖均衡化是一種常用的圖像增強(qiáng)技術(shù)，其主要目的是______。2.圖像邊緣檢測(cè)是圖像分割的重要步驟，常用的邊緣檢測(cè)算子包括Sobel算子、Prewitt算子和______。3.在圖像特征提取中，常用的特征包括顏色特征、紋理特征和______。4.圖像重建是指從采集到的離散數(shù)據(jù)中恢復(fù)原始圖像的過(guò)程，常用的圖像重建方法包括反投影法和______。5.小波變換是一種常用的圖像處理工具，它在圖像分析中的應(yīng)用包括圖像壓縮、圖像增強(qiáng)和______。三、簡(jiǎn)答題（每小題6分，共30分）1.簡(jiǎn)述圖像增強(qiáng)的目的是什么，并列舉兩種常用的圖像增強(qiáng)方法。2.解釋什么是圖像分割，并簡(jiǎn)述圖像分割的基本步驟。3.描述圖像邊緣檢測(cè)的基本原理，并比較Sobel算子和Canny算子的優(yōu)缺點(diǎn)。4.簡(jiǎn)述圖像特征提取的意義，并列舉三種常用的圖像特征。5.解釋什么是圖像重建，并簡(jiǎn)述反投影法的基本原理。四、計(jì)算題（每小題10分，共30分）1.設(shè)有一幅8位灰度圖像，其3x3鄰域的灰度值如下所示：```100110120908070605040```請(qǐng)計(jì)算該鄰域的Sobel算子梯度幅值。2.設(shè)有一幅256x256的圖像，其灰度值服從均值為128，方差為64的高斯分布?，F(xiàn)采用均勻量化方法將其量化為4級(jí)灰度圖像，請(qǐng)計(jì)算量化間隔和量化誤差。3.設(shè)有一幅二維圖像f(x,y)，其離散傅里葉變換為F(u,v)。請(qǐng)寫(xiě)出圖像f(x,y)的實(shí)部和虛部的表達(dá)式。五、編程題（15分）編寫(xiě)一段Python代碼，實(shí)現(xiàn)以下功能：讀取一幅灰度圖像，對(duì)其應(yīng)用Sobel算子進(jìn)行邊緣檢測(cè)，并將結(jié)果保存為新的圖像文件。提示：可以使用OpenCV庫(kù)實(shí)現(xiàn)圖像讀取和保存。六、開(kāi)放性問(wèn)題（15分）針對(duì)圖像去噪問(wèn)題，提出一種新的算法思路，并簡(jiǎn)述其原理和步驟。試卷答案一、選擇題1.B2.A3.B4.B5.B二、填空題1.全局對(duì)比度2.Roberts算子3.形狀特征4.迭代法5.圖像去噪三、簡(jiǎn)答題1.圖像增強(qiáng)的目的是為了改善圖像的質(zhì)量，使其更適合人類(lèi)視覺(jué)系統(tǒng)觀察或機(jī)器分析。常用的圖像增強(qiáng)方法包括：直方圖均衡化、濾波增強(qiáng)、對(duì)比度拉伸等。解析思路：圖像增強(qiáng)的目的是提升圖像的視覺(jué)效果或突出圖像中的特定信息。直方圖均衡化通過(guò)重新分布圖像的灰度級(jí)，增強(qiáng)圖像的全局對(duì)比度。濾波增強(qiáng)通過(guò)設(shè)計(jì)合適的濾波器，抑制噪聲或平滑圖像。對(duì)比度拉伸通過(guò)調(diào)整圖像的灰度范圍，增強(qiáng)圖像的局部對(duì)比度。2.圖像分割是指將圖像劃分為若干個(gè)互不重疊的區(qū)域，每個(gè)區(qū)域內(nèi)的像素具有相似的性質(zhì)。圖像分割的基本步驟包括：預(yù)處理、特征提取、分割算法、后處理。解析思路：圖像分割是圖像分析的重要步驟，它將圖像從整體上分解為具有不同特征的局部區(qū)域。預(yù)處理步驟通常包括去噪、灰度化等操作。特征提取步驟用于提取圖像中的紋理、顏色、形狀等信息。分割算法根據(jù)提取的特征將圖像劃分為不同的區(qū)域。后處理步驟用于優(yōu)化分割結(jié)果，例如去除小的噪聲區(qū)域、連接斷裂的區(qū)域等。3.圖像邊緣檢測(cè)的基本原理是利用圖像灰度不連續(xù)性，通過(guò)計(jì)算圖像的梯度或差分，識(shí)別圖像中的邊緣像素。Sobel算子是一種常用的邊緣檢測(cè)算子，它通過(guò)計(jì)算圖像的梯度幅值來(lái)檢測(cè)邊緣。Canny算子是一種優(yōu)化的邊緣檢測(cè)算子，它通過(guò)多級(jí)閾值處理和邊緣跟蹤來(lái)獲得更精確的邊緣結(jié)果。Sobel算子計(jì)算簡(jiǎn)單，但對(duì)噪聲敏感；Canny算子魯棒性強(qiáng)，但計(jì)算復(fù)雜度較高。解析思路：邊緣是圖像中不同區(qū)域的交界處，通常表現(xiàn)為灰度值的突變。邊緣檢測(cè)算子通過(guò)計(jì)算圖像的梯度或差分，識(shí)別灰度值發(fā)生變化的像素。Sobel算子利用sobel算子矩陣對(duì)圖像進(jìn)行卷積，得到圖像的x方向和y方向的梯度，然后計(jì)算梯度的幅值。Canny算子通過(guò)高斯濾波、梯度計(jì)算、非極大值抑制、雙閾值處理和邊緣跟蹤等步驟，實(shí)現(xiàn)更精確的邊緣檢測(cè)。4.圖像特征提取的意義在于將圖像中的信息轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的數(shù)值表示，以便于后續(xù)的圖像分析、圖像識(shí)別等任務(wù)。常用的圖像特征包括：顏色特征、紋理特征和形狀特征。解析思路：圖像特征是圖像區(qū)別于其他圖像或物體的關(guān)鍵屬性，它可以用于描述圖像的內(nèi)容、區(qū)分不同的圖像或物體。顏色特征描述圖像的顏色分布和統(tǒng)計(jì)信息，例如均值、方差、顏色直方圖等。紋理特征描述圖像的紋理結(jié)構(gòu)和排列方式，例如灰度共生矩陣、局部二值模式等。形狀特征描述圖像的輪廓和形狀信息，例如面積、周長(zhǎng)、凸包等。5.圖像重建是指從采集到的離散數(shù)據(jù)中恢復(fù)原始圖像的過(guò)程。反投影法是一種常用的圖像重建方法，它將采集到的投影數(shù)據(jù)沿投影方向進(jìn)行反向投影，并通過(guò)加權(quán)求和得到重建圖像。解析思路：圖像重建通常用于從有限的測(cè)量數(shù)據(jù)中恢復(fù)完整的圖像信息，例如醫(yī)學(xué)成像、遙感成像等。反投影法是一種基于測(cè)地學(xué)的重建方法，它假設(shè)圖像在投影方向上是線性的，通過(guò)將投影數(shù)據(jù)沿投影方向進(jìn)行反向投影，并加權(quán)求和得到重建圖像。反投影法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，但重建圖像的質(zhì)量通常不高，需要結(jié)合濾波等技術(shù)進(jìn)行改進(jìn)。四、計(jì)算題1.梯度幅值=sqrt(Gx^2+Gy^2)Gx=-1*100+0*110-1*120-1*90+0*80+1*70-1*60+0*50-1*40=-340Gy=-1*100+0*90-1*60+0*110+0*80+0*70+1*50+1*40+1*20=-110梯度幅值=sqrt((-340)^2+(-110)^2)=sqrt(115600+12100)=sqrt(127700)≈357.432.量化間隔=(max_value-min_value)/(number_of_levels-1)=(256-0)/(4-1)=85.33量化誤差=max(abs(f(i,j)-q(i,j)))，其中q(i,j)為量化后的灰度值。3.f(x,y)的實(shí)部Re(F(u,v))=ΣΣf(x,y)cos(uπx+vπy)dxdyf(x,y)的虛部Im(F(u,v))=ΣΣf(x,y)sin(uπx+vπy)dxdy五、編程題```pythonimportcv2importnumpyasnpdefsobel_edge_detection(image_path,output_path):#讀取圖像image=cv2.imread(image_path,cv2.IMREAD_GRAYSCALE)ifimageisNone:print("Error:Imagenotfound.")return#Sobel算子sobelx=cv2.Sobel(image,cv2.CV_64F,1,0,ksize=5)sobely=cv2.Sobel(image,cv2.CV_64F,0,1,ksize=5)#梯度幅值sobel_magnitude=np.sqrt(sobelx2+sobely2)#轉(zhuǎn)換為8位無(wú)符號(hào)整數(shù)sobel_magnitude=np.uint8(sobel_magnitude)#保存結(jié)果cv2.imwrite(output_path,sobel_magnitude)print("Edgedetectioncompleted.Resultsavedto:",output_path)#示例用法sobel_edge_detection("input_image.jpg","output_image.jpg")```六、開(kāi)放性問(wèn)題一種新的圖像去噪算法思路是基于深度學(xué)習(xí)的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）進(jìn)行圖像去噪。該算法利用大量的帶噪聲圖像和對(duì)應(yīng)的干凈圖像進(jìn)行訓(xùn)練，學(xué)習(xí)噪聲的特征和圖像的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。在測(cè)試階段，將帶噪聲圖像輸入到訓(xùn)練好的RNN模型中，模型輸出相應(yīng)的干凈圖像。該算法的原理是利用RNN的循環(huán)結(jié)構(gòu)，捕捉圖像中的時(shí)