2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——線性代數(shù)在科學(xué)與工程中的作用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分）1.下列矩陣中，可逆矩陣是（）。(A)\(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\)(B)\(\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}\)(C)\(\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}\)(D)\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)2.設(shè)向量組\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\)線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）。(A)\(\{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_1\}\)(B)\(\{\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1\}\)(C)\(\{\mathbf{v}_1+2\mathbf{v}_2,2\mathbf{v}_2+3\mathbf{v}_3,3\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_1\}\)(D)\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_3\}\)3.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的特征值是（）。(A)1,2(B)-1,-2(C)5,-3(D)6,-44.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=I\)，則\(A\)的特征值只能是（）。(A)1(B)-1(C)0(D)1或-15.下列說法正確的是（）。(A)如果向量組\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\)線性相關(guān)，那么\(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\)中至少有一個是零向量。(B)如果矩陣\(A\)的秩為\(n-1\)，那么方程組\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)的基礎(chǔ)解系只有一個向量。(C)如果矩陣\(A\)和\(B\)相似，那么\(A\)和\(B\)的特征值相同。(D)如果向量\(\mathbf{v}\)是矩陣\(A\)的特征向量，那么對于任意非零常數(shù)\(c\)，向量\(c\mathbf{v}\)也是\(A\)的特征向量。二、填空題（每小題4分，共20分）1.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}\)，則\(AB-BA=\)。2.向量空間\(\mathbb{R}^3\)的維數(shù)是。3.設(shè)\(\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\)，則\(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\)線性。4.矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)的特征值是。5.設(shè)\(A\)是\(3\times3\)矩陣，且\(A\)的特征值分別為1,2,3，則\(\det(A)=\)。三、計算題（每小題8分，共24分）1.求解線性方程組\(\begin{cases}x_1+2x_2-x_3=1\\2x_1+x_2+x_3=3\\x_1+x_2+2x_3=2\end{cases}\)。2.計算矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}\)的逆矩陣。3.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量。四、應(yīng)用題（每小題10分，共20分）1.在信號處理中，某信號可以表示為兩個正弦信號的線性組合：\(f(t)=A\sin(\omegat)+B\cos(\omegat)\)。通過實驗測得\(f(0)=1\)，\(f(\pi/2)=1\)，求\(A\)和\(B\)的值。2.在數(shù)據(jù)壓縮中，某圖像矩陣\(M\)可以表示為一個\(3\times3\)矩陣\(P\)與一個\(3\times1\)向量\(\mathbf{v}\)的外積，即\(M=P\mathbf{v}\mathbf{v}^T\)。已知\(P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，\(\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)，求圖像矩陣\(M\)。五、證明題（每小題10分，共20分）1.證明：如果向量組\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\)線性無關(guān)，那么向量組\(\{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_1\}\)也線性無關(guān)。2.證明：如果矩陣\(A\)可逆，且\(A\)與矩陣\(B\)相似，那么\(A^{-1}\)與\(B^{-1}\)也相似。試卷答案一、選擇題1.C2.C3.C4.D5.D二、填空題1.\(\begin{pmatrix}-2&2\\2&-2\end{pmatrix}\)2.33.相關(guān)4.1,35.6三、計算題1.\(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\)2.\(\begin{pmatrix}1&-2&2\\0&1&-2\\-1&1&1\end{pmatrix}\)3.特征值：1,3；特征向量：對于特征值1，\(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)；對于特征值3，\(\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\)四、應(yīng)用題1.\(A=0\)，\(B=1\)2.\(M=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)五、證明題1.設(shè)\(c_1(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)+c_2(\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3)+c_3(\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_1)=\mathbf{0}\)，展開得\((c_1+c_3)\mathbf{v}_1+(c_1+c_2)\mathbf{v}_2+(c_2+c_3)\mathbf{v}_3=\mathbf{0}\)。由于\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\m