2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫——時(shí)間序列分析在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)）1.時(shí)間序列數(shù)據(jù)按其數(shù)值隨時(shí)間變化的方式，可分為（）。A.定量數(shù)據(jù)和定性數(shù)據(jù)B.觀測(cè)數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)C.平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列D.時(shí)間序列和截面數(shù)據(jù)2.在時(shí)間序列分解中，加法模型假設(shè)序列的各成分（）。A.之間存在交互作用B.之間不存在交互作用C.乘積關(guān)系D.線性關(guān)系3.對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列X(t)，其自相關(guān)系數(shù)ρ_k滿足（）。A.ρ_k隨k增大而增大B.ρ_k隨k增大而恒等于1C.ρ_k隨k增大而趨于0D.ρ_k僅與序列均值有關(guān)4.模型AR(1)：X(t)=φX(t-1)+ε(t)，其中ε(t)是白噪聲，若要求該模型是平穩(wěn)的，則φ必須滿足（）。A.|φ|>1B.|φ|<1C.φ=0D.φ=15.移動(dòng)平均模型MA(1)：X(t)=ε(t)+θε(t-1)，其中ε(t)是白噪聲，該模型的（）。A.自相關(guān)系數(shù)ρ_1=0,ρ_2=θB.自相關(guān)系數(shù)ρ_1=θ,ρ_2=0C.自相關(guān)系數(shù)ρ_k=θ^k,k≥0D.自相關(guān)系數(shù)ρ_k=0,k≥26.當(dāng)一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過d次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則該序列可擬合的模型是（）。A.AR(1)B.ARIMA(p,d,q)C.MA(1)D.SARIMA(p,d,q,s)7.模型選擇準(zhǔn)則AIC主要用于比較（）。A.不同樣本量的模型B.包含不同變量數(shù)的模型C.不同自回歸階數(shù)的模型D.模型的擬合優(yōu)度與復(fù)雜度的平衡8.季節(jié)性ARIMA模型SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s中，參數(shù)P,D,Q分別代表（）。A.非季節(jié)性自回歸、差分、移動(dòng)平均階數(shù)B.季節(jié)性自回歸、季節(jié)性差分、季節(jié)性移動(dòng)平均階數(shù)C.總自回歸階數(shù)、總差分次數(shù)、總移動(dòng)平均階數(shù)D.長期趨勢(shì)、季節(jié)趨勢(shì)、隨機(jī)波動(dòng)9.在時(shí)間序列預(yù)測(cè)中，衡量預(yù)測(cè)誤差大小的常用指標(biāo)是（）。A.自相關(guān)系數(shù)B.偏自相關(guān)系數(shù)C.平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）D.決定系數(shù)R210.如果一個(gè)時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈現(xiàn)緩慢衰減的趨勢(shì)，而偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）在第一階后截尾，則比較合適的模型是（）。A.AR(1)B.MA(1)C.ARMA(1,1)D.ARIMA(1,1,0)二、填空題（每空2分，共20分。請(qǐng)將答案填在橫線上）1.時(shí)間序列分析旨在研究數(shù)據(jù)點(diǎn)隨______變化的規(guī)律性。2.如果時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性（如均值、方差）不隨時(shí)間變化，則稱其為______序列。3.檢驗(yàn)時(shí)間序列平穩(wěn)性的常用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法是______檢驗(yàn)。4.模型ARIMA(1,1,1)的自回歸系數(shù)φ，移動(dòng)平均系數(shù)θ滿足______條件才能保證模型平穩(wěn)。5.對(duì)于季節(jié)性數(shù)據(jù)，若季節(jié)周期長度為s，則季節(jié)性ARIMA模型中需要考慮______項(xiàng)。6.時(shí)間序列分解的方法主要有______分解和______分解。7.在進(jìn)行時(shí)間序列建模前，通常需要對(duì)方差非齊性的序列進(jìn)行______處理。8.統(tǒng)計(jì)軟件在時(shí)間序列分析中可用于數(shù)據(jù)導(dǎo)入、______、預(yù)測(cè)生成和結(jié)果可視化等。9.點(diǎn)預(yù)測(cè)是指對(duì)未來某個(gè)時(shí)期給出一個(gè)______的預(yù)測(cè)值。10.若時(shí)間序列模型擬合良好，但預(yù)測(cè)效果不佳，可能的原因之一是______。三、簡答題（每小題5分，共15分）1.簡述時(shí)間序列數(shù)據(jù)與非時(shí)間序列數(shù)據(jù)（如截面數(shù)據(jù)）的主要區(qū)別。2.解釋自相關(guān)系數(shù)（ACF）的定義及其在時(shí)間序列分析中的作用。3.簡述使用Box-Jenkins方法建立ARIMA模型的主要步驟。四、計(jì)算題（每小題10分，共20分）1.已知一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列{X(t)}的均值μ=0，自協(xié)方差函數(shù)γ_k=2*(-0.5)^k。求其自相關(guān)系數(shù)ρ_k。2.某經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)擬合了ARIMA(1,1,1)模型，模型參數(shù)估計(jì)值為φ?=0.6,θ?=0.4。若已知t時(shí)刻的觀測(cè)值為X(t)=100，且白噪聲項(xiàng)ε(t-1)的值為2。請(qǐng)計(jì)算t+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)值（不考慮預(yù)測(cè)誤差）。五、分析題（共15分）假設(shè)你正在分析某城市月度居民消費(fèi)支出數(shù)據(jù)（單位：億元）。通過觀察時(shí)間序列圖和計(jì)算自相關(guān)函數(shù)（ACF）與偏自相關(guān)函數(shù)（PACF），初步判斷該序列可能需要差分，并且存在明顯的季節(jié)性（以12個(gè)月為一個(gè)周期）。經(jīng)過差分和平穩(wěn)性檢驗(yàn)后，確定了合適的SARIMA模型為SARIMA(1,1,1)(0,1,1)12。模型擬合后，得到了以下部分輸出信息（此處僅示意，非真實(shí)結(jié)果）：*常數(shù)項(xiàng)估計(jì)值：常數(shù)項(xiàng)?=0.8*季節(jié)自回歸系數(shù)估計(jì)值：φ??,??=0.3*季節(jié)差分系數(shù)估計(jì)值：D?=0.5*季節(jié)移動(dòng)平均系數(shù)估計(jì)值：θ???=0.6*模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：AIC=150,BIC=155請(qǐng)基于以上信息，簡要回答以下問題：(1)該SARIMA(1,1,1)??模型中，參數(shù)φ???,D?,θ???分別代表什么含義？(2)如何解釋該模型的AIC和BIC值？它們?cè)谀Ｐ瓦x擇中有什么作用？(3)假設(shè)當(dāng)前時(shí)期為t，若該模型已用于預(yù)測(cè)，請(qǐng)寫出t+12時(shí)刻（下一年同月）消費(fèi)支出的預(yù)測(cè)公式（表達(dá)式即可，無需代入數(shù)值計(jì)算）。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.C4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A二、填空題1.時(shí)間2.平穩(wěn)3.ADF(或單位根)4.|φ|<1且|θ|<15.2(或P)6.乘法；加法7.差分8.模型擬合（或參數(shù)估計(jì)）9.單一10.模型設(shè)定不當(dāng)（或存在未建模的確定性趨勢(shì)/季節(jié)性）三、簡答題1.解析思路：時(shí)間序列數(shù)據(jù)是按時(shí)間順序排列的，具有動(dòng)態(tài)性和相關(guān)性；截面數(shù)據(jù)是在同一時(shí)間點(diǎn)上不同個(gè)體或單位的觀測(cè)值，通常假設(shè)個(gè)體之間相互獨(dú)立。關(guān)鍵區(qū)別在于數(shù)據(jù)的時(shí)間順序和個(gè)體獨(dú)立性。2.解析思路：自相關(guān)系數(shù)ρ_k是時(shí)間序列X(t)與X(t-k)之間線性相關(guān)程度的度量，取值范圍在[-1,1]之間。ρ_k=0表示t與t-k時(shí)刻數(shù)據(jù)不相關(guān)；ρ_k越接近±1表示相關(guān)性越強(qiáng)。在時(shí)間序列分析中，ACF用于判斷序列的平穩(wěn)性、季節(jié)性，以及輔助選擇ARIMA模型的階數(shù)。3.解析思路：Box-Jenkins方法建立ARIMA模型的步驟通常包括：1)數(shù)據(jù)預(yù)處理（檢查平穩(wěn)性，差分直至平穩(wěn)）；2)模型識(shí)別（繪制ACF/PACF圖，分析自相關(guān)結(jié)構(gòu)，初步選擇模型形式p,d,q）；3)參數(shù)估計(jì)（通常使用極大似然估計(jì)或最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)）；4)模型診斷（檢驗(yàn)殘差白噪聲性，如通過ACF/PACF圖、Ljung-Box檢驗(yàn)等）；5)模型修正（若診斷不通過，則返回步驟2或3調(diào)整模型形式或參數(shù)）；6)模型預(yù)測(cè)。四、計(jì)算題1.解析思路：根據(jù)平穩(wěn)序列自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)系數(shù)的關(guān)系γ_k=γ?*ρ_k。由題γ?=2。利用ρ_k=γ_k/γ?，計(jì)算ρ?=1,ρ_1=γ_1/γ?=2*(-0.5)/2=-0.5,ρ_2=γ_2/γ?=2*(-0.5)^2/2=0.25,ρ_3=γ_3/γ?=2*(-0.5)^3/2=-0.125,...，觀察規(guī)律ρ_k=(-0.5)^k。答案：ρ_k=(-0.5)^k,k≥0。2.解析思路：根據(jù)ARIMA(1,1,1)模型定義：X(t)=φX(t-1)+θε(t-1)+ε(t)一階差分ΔX(t)=X(t)-X(t-1)=φX(t-1)+θε(t-1)+ε(t)-X(t-1)ΔX(t)=(φ-1)X(t-1)+θε(t-1)+ε(t)對(duì)于ARIMA(1,1,1)，差分后模型應(yīng)接近AR(φ-1)+MA(θ)。題目給定t時(shí)刻值X(t)=100，ε(t-1)=2。要求t+1時(shí)刻預(yù)測(cè)值，即預(yù)測(cè)ΔX(t)。根據(jù)差分方程：ΔX(t)=(φ-1)X(t-1)+θε(t-1)+ε(t)由于預(yù)測(cè)是基于模型，通常假設(shè)未來白噪聲ε(t)和ε(t+1)的期望為0，且ε(t+1)與過去信息（包括X(t-1)和ε(t-1)）不相關(guān)。最簡單的一步預(yù)測(cè)（不考慮ε(t)）：預(yù)測(cè)ΔX(t)=φX(t-1)+θε(t-1)(忽略ε(t)項(xiàng))代入?yún)?shù)和給定值：預(yù)測(cè)ΔX(t)=0.6*100+0.4*2=60+0.8=60.8。最終預(yù)測(cè)值X(t+1)=X(t)+預(yù)測(cè)ΔX(t)=100+60.8=160.8。但題目要求“不考慮預(yù)測(cè)誤差”，通常指僅基于模型結(jié)構(gòu)和當(dāng)前已知信息的最優(yōu)預(yù)測(cè)。因此，t+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)值應(yīng)直接由差分方程的右側(cè)項(xiàng)決定（忽略ε(t)）：預(yù)測(cè)X(t+1)=X(t)+預(yù)測(cè)ΔX(t)=X(t)+φX(t-1)+θε(t-1)=100+0.6*100+0.4*2=100+60+0.8=160.8。答案：160.8。五、分析題(1)解析思路：參數(shù)φ???=0.3表示模型中季節(jié)自回歸項(xiàng)的系數(shù)，衡量t時(shí)刻的值對(duì)t-12時(shí)刻值的依賴程度，即12個(gè)月前的信息對(duì)當(dāng)前（或下一個(gè)月）預(yù)測(cè)的貢獻(xiàn)。D?=0.5表示季節(jié)差分系數(shù)，衡量季節(jié)差分（Δ_X(t)-Δ_X(t-12)）對(duì)序列平滑的影響程度。θ???=0.6表示季節(jié)移動(dòng)平均項(xiàng)的系數(shù)，衡量t時(shí)刻的值與t-12時(shí)刻的白噪聲誤差項(xiàng)之間的依賴關(guān)系。(2)解析思路：AIC和BIC是模型選擇信息準(zhǔn)則，用于比較不同模型的擬合優(yōu)度與復(fù)雜度。AIC=2k-2ln(L)，BIC=kln(n)-2ln(L)，其中k是模型參數(shù)個(gè)數(shù)，n是樣本量，L是模型似然函數(shù)值。AIC傾向于選擇參數(shù)較多（更復(fù)雜）但擬合效果稍好的模型。BIC傾向于選擇參數(shù)較少（更簡單）的模型，因?yàn)樗鼘?duì)復(fù)雜度（參數(shù)個(gè)數(shù)k）施加了懲罰。較小的AIC/BIC值通常表示模型在給定數(shù)據(jù)上具有更好的平衡。在此例中，AIC=150小于BIC=155，如果僅基于這兩個(gè)值，AIC對(duì)應(yīng)的模型可能被認(rèn)為擬合略優(yōu)或復(fù)雜度略低（取決于n和k的具體值）。它們的作用是提供一個(gè)量化標(biāo)準(zhǔn)來輔助選擇“最佳”模型。(3)解析思路：根據(jù)SARIMA(1,1,1)??模型定義：Δ_X(t)=(φ?-1)X(t-1)+φ??X(t-12)+θ??ε(t-1)+ε(t)預(yù)測(cè)t+12時(shí)刻值，即X(t+12)。利用差分關(guān)系X(t+12)=X(t+12)-X(t)=Δ_X(t+11)+X(t)。將t+11代入差分方程：Δ_X(t+11)=(φ?-1)X(t+10)+φ??X(t+11-12)+θ??ε(t+11-1)+ε(t+11)=(φ?-1)X(t+10)+φ??X(t+11-12)+θ??ε(t+10)+ε(t+11)=(φ?-1)X(t+10)+φ??X(t-1)+θ??ε(t+10)+ε(t+11)假設(shè)長期預(yù)測(cè)下，ε(t+10)和ε(t+11)的預(yù)測(cè)值為0，且遠(yuǎn)期歷史信息X(t-1)對(duì)當(dāng)前預(yù)測(cè)影響也趨于0（或忽略），則Δ_X(t+11)≈(φ?-1)X(t+10)。因此，X(t+12)≈Δ_X(t+1