2025年大學《數學與應用數學》專業(yè)題庫——數學在環(huán)境科學研究中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題4分，共20分。請將正確選項的字母填在題后的括號內。）1.某城市空氣質量指數（AQI）y關于工業(yè)排放量x的回歸模型為y=50+2x+ε，其中ε服從正態(tài)分布。當工業(yè)排放量x增加1個單位時，AQI的期望值（）。(A)增加1(B)減少1(C)增加2(D)不變2.在建立描述某物種數量變化的Logistic增長模型dP/dt=rP(1-P/K)時，參數K代表（）。(A)種群的最大增長率(B)種群數量的飽和值(C)種群的內稟增長率(D)種群數量的初始值3.若一個二維向量場F(x,y)=(-y,x)表示某流體在點(x,y)處的速度，則該向量場表示的流體運動可能是（）。(A)沿x軸正向的均勻流(B)沿y軸正向的均勻流(C)順時針旋轉的渦流(D)逆時針旋轉的渦流4.在使用最小二乘法擬合環(huán)境監(jiān)測數據時，目標函數（誤差平方和）的最小值（）。(A)總是大于零(B)總是等于零(C)可能為零(D)總是小于零5.對于描述污染物在河流中彌散和吸附過程的對流-彌散-吸附方程，其數學形式通常包含（）。(A)線性項和非線性項(B)常數項和變量項(C)一階和二階偏微分項(D)代數項和積分項二、計算題（每題10分，共40分。請寫出詳細的計算步驟。）6.已知森林中某種樹種的年增長量G（單位：株/年）與當前樹齡t（單位：年）滿足關系G(t)=10t-0.2t^2。求該樹種在10年內的總增長量。7.考慮一個簡單的生態(tài)系統，包含生產者（P）、消費者（C）和分解者（D）三個種群，其數量變化分別由下列微分方程描述：dP/dt=aP-bPC,dC/dt=bPC-cC,dD/dt=cC-dD。其中a,b,c,d為正常數。求消費者數量C(t)隨時間t變化的表達式（假設初始條件為P(0)=P0,C(0)=C0,D(0)=D0）。8.某地區(qū)為了監(jiān)測土壤中重金屬污染，采集了5個樣本的檢測結果（單位：mg/kg）：15,18,17,16,19。計算樣本均值、樣本方差和樣本標準差。9.某河流某斷面監(jiān)測到一年內每月的平均溶解氧濃度（mg/L）數據如下：8.5,7.8,7.2,6.5,6.0,6.8,7.5,8.0,8.3,8.6,8.8,8.5。試用算術平均法估計該斷面年平均溶解氧濃度。若要預測下一月該斷面的溶解氧濃度，請建立簡單的線性回歸模型，并給出預測值。三、數學建模題（共40分。請按題目要求完成建模、求解與分析。）10.某城市河流沿岸有排污口，導致下游水質受影響。假設排污口位于河流起點（x=0），河流流速恒為v。污染物在河流中擴散和稀釋，其濃度c(x,t)滿足如下的初值問題：?c/?t=D?^2c/?x^2-v?c/?xc(x,0)=C0(x>=0)，其中D為擴散系數，C0為排污口處初始濃度，v為河流流速。假設邊界條件為c(∞,t)=0。(1)建立污染物濃度沿河流距離x隨時間t變化的模型。(2)假設D=0.1m^2/s,v=0.5m/s,C0=10mg/L。求解該模型，并分析污染物濃度隨時間在下游的擴散過程。(3)解釋該模型在實際環(huán)境監(jiān)測中的應用價值與局限性。試卷答案一、選擇題1.(C)2.(B)3.(D)4.(A)5.(C)二、計算題6.解：總增長量G_total=∫[0,10]G(t)dt=∫[0,10](10t-0.2t^2)dt=[5t^2-(1/6)t^3]|_[0,10]=(5*10^2-1/6*10^3)-(5*0^2-1/6*0^3)=500-166.67=333.33(株)答：該樹種在10年內的總增長量為333.33株。7.解：由dC/dt=bPC-cC=C(bP-c)分離變量并積分：∫(1/C)dC=∫(bP-c)dtln|C|=∫(bP-c)dt+ln|C0|C=C0*exp[∫(bP-c)dt]對dP/dt=aP-bPC，兩邊同除以P得：(1/P)dP=(a/b-C)dt∫(1/P)dP=∫(a/b-C)dtln|P|=(a/b)t-∫Cdt+ln|P0|P=P0*exp[(a/b)t-∫Cdt]由題意，無法直接從這兩個方程中消去P或C得到C(t)的顯式表達式，通常需要知道P(t)或兩者之間的更具體關系。此題模型結構暗示了相互依賴，但標準解析解求解困難或需要特定假設。若題目意圖是考察基本理解，則應認識到這種耦合性。8.解：樣本均值：x?=(15+18+17+16+19)/5=85/5=17樣本方差：s^2=[(15-17)^2+(18-17)^2+(17-17)^2+(16-17)^2+(19-17)^2]/(5-1)=[4+1+0+1+4]/4=10/4=2.5樣本標準差：s=sqrt(2.5)≈1.58答：樣本均值為17，樣本方差為2.5，樣本標準差約為1.58。9.解：年平均溶解氧濃度：年均值=(8.5+7.8+7.2+6.5+6.0+6.8+7.5+8.0+8.3+8.6+8.8+8.5)/12=98.1/12≈8.175(mg/L)簡單線性回歸模型y=a+bx，其中y為溶解氧濃度，x為月份數（1-12）。計算斜率b：b=[nΣ(xy)-ΣxΣy]/[nΣ(x^2)-(Σx)^2]Σx=1+2+...+12=78,Σy=98.1,n=12Σ(xy)=1*8.5+2*7.8+...+12*8.5=738.7Σ(x^2)=1^2+2^2+...+12^2=650b=[12*738.7-78*98.1]/[12*650-78^2]=[8844.4-7645.8]/[7800-6084]=1198.6/1716≈0.699計算截距a：a=(Σy-bΣx)/na=(98.1-0.699*78)/12a=(98.1-54.722)/12a=43.378/12≈3.615回歸模型為：y≈3.615+0.699x預測下一月（x=13）的溶解氧濃度：y_pred=3.615+0.699*13y_pred≈3.615+9.087y_pred≈12.702(mg/L)答：年平均溶解氧濃度約為8.175mg/L。簡單線性回歸模型為y≈3.615+0.699x。預測下一月溶解氧濃度約為12.702mg/L。*(注：實際環(huán)境數據通常更復雜，線性模型可能不適用，此處為簡化處理)*三、數學建模題10.解：(1)該初值問題是一個非齊次一維對流-彌散方程，是描述污染物在河流中縱向遷移和擴散的標準模型。其中第一項D?^2c/?x^2表示污染物在x方向的彌散效應，第二項-v?c/?x表示污染物隨河流流動的對流效應，C0為源強。該模型描述了污染物濃度c如何隨時間t在距離x方向上傳播、擴散和衰減。(2)給定D=0.1,v=0.5,C0=10。方程變?yōu)椋?c/?t=0.1?^2c/?x^2-0.5?c/?xc(x,0)=10(x>=0),c(∞,t)=0該方程的解通常用特征線法和/或Green函數法求解。其解的形式一般表示為：c(x,t)=(C0/sqrt(4πDt))*exp(-(x-vt)^2/(4Dt))這表示污染物濃度呈現高斯分布，隨著時間的推移，高斯峰隨河流流動（位置x=vt），同時峰形展寬（標準差sqrt(2Dt)），峰值下降。隨著時間t增加，污染物主體向下游移動，同時擴散范圍增大，濃度降低。在x