2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)環(huán)境保護(hù)的重要性考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某城市環(huán)保部門(mén)為了解城市河流某段水質(zhì)污染情況，在河流的不同位置隨機(jī)采集了多份水樣，檢測(cè)了其中主要污染物A和B的含量（單位：mg/L）。假設(shè)檢測(cè)數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布。研究人員獲得了以下信息：樣本容量n=50，污染物A含量的樣本均值$\bar{x}_A$=3.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s$_A$=0.8；污染物B含量的樣本均值$\bar{x}_B$=2.1，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s$_B$=0.6。請(qǐng)解釋樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差在此場(chǎng)景下的具體含義。若要求以95%的置信水平估計(jì)該河流此段污染物A的平均含量，請(qǐng)寫(xiě)出所需的統(tǒng)計(jì)推斷公式，并說(shuō)明公式中各符號(hào)的經(jīng)濟(jì)含義。假設(shè)查閱t分布表得到的臨界值為2.009，請(qǐng)計(jì)算污染物A平均含量的95%置信區(qū)間，并解釋該置信區(qū)間的含義。二、為了評(píng)估某種新型水處理技術(shù)對(duì)降低污染物A含量的效果，研究人員進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)。在處理前后的水樣中分別檢測(cè)污染物A的含量，得到如下數(shù)據(jù)（單位：mg/L）：處理前：3.2,3.8,4.0,3.6,3.9；處理后：2.5,2.8,2.9,2.7,2.6。假設(shè)處理前后污染物A含量均服從正態(tài)分布，且方差相等但未知。請(qǐng)寫(xiě)出檢驗(yàn)該水處理技術(shù)是否有效（即處理后平均含量是否顯著低于處理前）的假設(shè)檢驗(yàn)步驟，包括原假設(shè)和備擇假設(shè)、選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值以及給出結(jié)論（顯著性水平α=0.05）。三、某研究人員收集了某地區(qū)過(guò)去10年（年份t=1,2,...,10）的年平均氣溫（°C）和森林覆蓋率（%）數(shù)據(jù)，并計(jì)算出以下回歸分析結(jié)果：回歸方程為$\hat{y}=15.2-0.5t$，其中y代表森林覆蓋率，t代表年份。請(qǐng)解釋回歸系數(shù)-0.5的經(jīng)濟(jì)含義。若預(yù)計(jì)第11年該地區(qū)的年平均氣溫將上升1°C，請(qǐng)根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)第11年的森林覆蓋率，并解釋預(yù)測(cè)結(jié)果的合理性。四、為了研究不同區(qū)域土壤中重金屬含量是否存在差異，研究人員在三個(gè)不同的區(qū)域（A,B,C）各采集了若干土壤樣本，檢測(cè)了樣本中重金屬P的含量（單位：ppm）。部分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：區(qū)域A樣本量n$_A$=15，平均含量$\bar{x}_A$=12.3，樣本方差s$_A^2$=4.5；區(qū)域B樣本量n$_B$=12，平均含量$\bar{x}_B$=10.8，樣本方差s$_B^2$=3.8；區(qū)域C樣本量n$_C$=10，平均含量$\bar{x}_C$=11.5，樣本方差s$_C^2$=5.0。請(qǐng)寫(xiě)出檢驗(yàn)這三個(gè)區(qū)域土壤中重金屬P的平均含量是否存在顯著差異的統(tǒng)計(jì)推斷方法，并說(shuō)明選擇該方法的原因。假設(shè)采用該方法的F統(tǒng)計(jì)量為2.35，自由度為（2,32），請(qǐng)說(shuō)明如何根據(jù)該統(tǒng)計(jì)量判斷三個(gè)區(qū)域土壤中重金屬P的平均含量是否存在顯著差異（顯著性水平α=0.05）。五、某環(huán)保非政府組織（NGO）關(guān)注城市垃圾分類的有效性，對(duì)某社區(qū)的100戶居民進(jìn)行了調(diào)查，了解他們是否支持垃圾分類政策（支持=1，不支持=0）。調(diào)查結(jié)果顯示，有70戶居民支持該政策。請(qǐng)計(jì)算樣本中支持垃圾分類政策的比例，并以90%的置信水平估計(jì)該社區(qū)居民支持垃圾分類政策的比例的置信區(qū)間。解釋置信區(qū)間的含義。若該NGO希望以95%的置信水平估計(jì)支持率，且希望置信區(qū)間的寬度不超過(guò)5個(gè)百分點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)至少需要調(diào)查多少戶居民？六、環(huán)境保護(hù)部門(mén)希望監(jiān)測(cè)某河流水質(zhì)的變化趨勢(shì)。研究人員收集了該河流過(guò)去5年（年份y=1,2,3,4,5）的年平均溶解氧含量（mg/L）數(shù)據(jù)：5.2,5.0,4.8,4.6,4.5。請(qǐng)計(jì)算這5年溶解氧含量的平均變化率，并簡(jiǎn)要分析溶解氧含量的變化趨勢(shì)及其可能的環(huán)境意義。試卷答案一、1.含義：樣本均值$\bar{x}_A$=3.5表示所采集的50份水樣中，污染物A含量的平均水平；樣本標(biāo)準(zhǔn)差s$_A$=0.8表示這50份水樣中污染物A含量圍繞其均值的波動(dòng)程度或離散程度。2.公式與符號(hào)含義：所需統(tǒng)計(jì)推斷公式為$\bar{x}_A\pmt_{\alpha/2,n-1}\left(\frac{s_A}{\sqrt{n}}\right)$。其中，$\bar{x}_A$為樣本均值（污染物A含量的樣本平均值為3.5），$s_A$為樣本標(biāo)準(zhǔn)差（污染物A含量的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.8），$n$為樣本容量（50），$t_{\alpha/2,n-1}$為自由度為n-1（49）時(shí)t分布的$\alpha/2$分位點(diǎn)（對(duì)于95%置信水平，$\alpha=0.05$，$\alpha/2=0.025$），$\frac{s_A}{\sqrt{n}}$為樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。3.置信區(qū)間與含義：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=$\frac{\bar{x}_A-\mu_0}{s_A/\sqrt{n}}$，其中$\mu_0$為總體均值（假設(shè)為未知，用樣本均值估計(jì)）。計(jì)算得到的95%置信區(qū)間為$\bar{x}_A\pmt_{0.025,49}\left(\frac{s_A}{\sqrt{n}}\right)=3.5\pm2.009\left(\frac{0.8}{\sqrt{50}}\right)=3.5\pm0.227=(3.273,3.727)$。該置信區(qū)間含義是，我們有95%的置信度認(rèn)為該河流此段污染物A的真實(shí)平均含量落在3.273mg/L到3.727mg/L之間。二、1.假設(shè)檢驗(yàn)步驟：*原假設(shè)H?：$\mu_1=\mu_2$（即處理前后污染物A的平均含量無(wú)顯著差異，$\mu_1$為處理前平均含量，$\mu_2$為處理后平均含量）。*備擇假設(shè)H?：$\mu_1>\mu_2$（即處理后平均含量顯著低于處理前）。*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：采用兩樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等），統(tǒng)計(jì)量t=$\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$，其中$\bar{x}_1=3.74$,$\bar{x}_2=2.74$,$n_1=5$,$n_2=5$。由于H?為$\mu_1-\mu_2=0$，公式簡(jiǎn)化為t=$\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$。合并方差$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}=\frac{4(0.4^2)+4(0.3^2)}{8}=\frac{0.64+0.36}{8}=0.125$，故$s_p=\sqrt{0.125}\approx0.3536$。代入數(shù)據(jù)得t=$\frac{3.74-2.74}{0.3536\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}}=\frac{1.00}{0.3536\times0.4472}\approx\frac{1.00}{0.158}\approx6.33$。*臨界值與結(jié)論：對(duì)于單尾檢驗(yàn)，顯著性水平α=0.05，自由度df=n_1+n_2-2=8，查閱t分布表得臨界值t?.05,8≈1.860。由于計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t≈6.33>1.860，因此拒絕原假設(shè)H?。結(jié)論：在α=0.05的顯著性水平下，有充分證據(jù)表明該新型水處理技術(shù)能有效降低污染物A的含量。三、1.回歸系數(shù)含義：回歸系數(shù)-0.5的含義是，在其他因素保持不變的情況下，年平均氣溫（°C）每上升1°C，該地區(qū)森林覆蓋率（%）預(yù)計(jì)平均下降0.5個(gè)百分點(diǎn)。2.預(yù)測(cè)與合理性：第11年的預(yù)測(cè)森林覆蓋率為$\hat{y}_{11}=15.2-0.5\times11=15.2-5.5=9.7$%。合理性分析：預(yù)測(cè)結(jié)果基于過(guò)去10年的線性關(guān)系。若未來(lái)氣溫持續(xù)上升且其他條件（如政策、災(zāi)害）保持穩(wěn)定，該預(yù)測(cè)具有一定的參考價(jià)值。但需注意，線性關(guān)系可能無(wú)法完全捕捉森林覆蓋率隨氣溫變化的復(fù)雜性，且長(zhǎng)時(shí)間序列預(yù)測(cè)inherently存在較大不確定性。四、1.方法與原因：應(yīng)采用的統(tǒng)計(jì)推斷方法是單因素方差分析（One-wayANOVA）。選擇該方法的原因是，研究目的是檢驗(yàn)三個(gè)不同區(qū)域（自變量，有3個(gè)水平）的土壤中重金屬P的平均含量（因變量）是否存在顯著差異。2.判斷依據(jù)：在α=0.05的顯著性水平下，需要比較F統(tǒng)計(jì)量2.35與臨界值F?.05,(2,32)。查閱F分布表，得到F?.05,(2,32)≈3.23。由于F=2.35<3.23，因此不能拒絕原假設(shè)（即三個(gè)區(qū)域土壤中重金屬P的平均含量無(wú)顯著差異）。結(jié)論：根據(jù)該F統(tǒng)計(jì)量，在α=0.05的顯著性水平下，沒(méi)有足夠證據(jù)表明這三個(gè)區(qū)域土壤中重金屬P的平均含量存在顯著差異。五、1.比例與置信區(qū)間計(jì)算：樣本中支持比例p?=70/100=0.7。90%置信水平對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)z?.05≈1.645。置信區(qū)間為p?±z?.05*$\sqrt{\frac{p?(1-p?)}{n}}=0.7\pm1.645*\sqrt{\frac{0.7(1-0.7)}{100}}=0.7\pm1.645*\sqrt{0.007}=0.7\pm1.645*0.0837=0.7\pm0.137=(0.563,0.837)$。2.置信區(qū)間含義與樣本量計(jì)算：該置信區(qū)間含義是，我們有90%的置信度認(rèn)為該社區(qū)居民實(shí)際支持垃圾分類政策的比例落在56.3%到83.7%之間。對(duì)于樣本量計(jì)算，使用公式$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\sqrt{p?(1-p?)}}{E}\right)^2$，其中z_{\alpha/2}=1.645（對(duì)應(yīng)90%置信水平），E=0.05（置信區(qū)間寬度的一半）。代入p?=0.7（可用0.5代替計(jì)算最大樣本量），得$n=\left(\frac{1.645\sqrt{0.7\times0.3}}{0.05}\right)^2=\left(\frac{1.645\times0.458}{0.05}\right)^2=\left(\frac{0.75151}{0.05}\right)^2=(15.0302)^2\approx225.91$。由于樣本量必須為整數(shù)，且需向上取整以保障置信度，至少需要調(diào)查226戶居民。六、1.平均變化率與趨勢(shì)分析：溶解氧含量（y）：5.2