2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——相關(guān)分析在數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性研究中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項的字母填在括號內(nèi)）1.下列關(guān)于Pearson相關(guān)系數(shù)（r）的說法中，正確的是（）。A.只適用于線性相關(guān)B.可以直接推斷兩個變量間的因果關(guān)系C.其取值范圍為[-1,1]D.受極端值的影響通常較小2.對于兩個定序變量（例如，教育程度和滿意程度），最適合計算的相關(guān)系數(shù)是（）。A.Pearson相關(guān)系數(shù)B.Spearman等級相關(guān)系數(shù)C.Kendall等級相關(guān)系數(shù)D.相關(guān)系數(shù)無法計算3.在相關(guān)系數(shù)r的計算中，若變量X和Y的觀測值都增加了10個單位，則相關(guān)系數(shù)（）。A.變大B.變小C.保持不變D.無法確定4.已知變量X和Y的樣本容量為n=25，計算得到相關(guān)系數(shù)r=0.6，且r檢驗的p值小于0.05。以下結(jié)論正確的是（）。A.X和Y之間存在強(qiáng)烈的線性關(guān)系B.X和Y之間存在顯著的線性關(guān)系C.X和Y之間存在完全的線性關(guān)系D.X的變化必然導(dǎo)致Y的變化5.若變量X和Y的散點圖呈現(xiàn)明顯的U型模式，那么它們之間（）。A.一定存在線性相關(guān)B.一定存在非線性相關(guān)C.不存在任何相關(guān)關(guān)系D.需要計算偏相關(guān)系數(shù)才能判斷二、計算題（共3小題，共30分）6.（10分）已知某班級10名學(xué)生的身高（單位：cm）和體重（單位：kg）數(shù)據(jù)如下：身高：170,165,180,175,160,170,185,170,165,180體重：65,55,75,68,50,60,78,65,58,72請計算該班級學(xué)生身高與體重之間的Pearson相關(guān)系數(shù)，并說明其初步含義。（計算過程需完整）7.（10分）設(shè)有5對觀測值的數(shù)據(jù)如下，變量X和Y的等級分別為：X的等級：3,1,5,4,2Y的等級：5,3,1,2,4請計算Spearman等級相關(guān)系數(shù)rs，并判斷X與Y之間是否存在顯著的等級關(guān)聯(lián)。（計算過程需完整）8.（10分）假設(shè)樣本數(shù)據(jù)服從雙變量正態(tài)分布，樣本容量n=30，變量X和Y的均值分別為X?=50,?=100，標(biāo)準(zhǔn)差分別為sX=10,sY=20，協(xié)方差為Cov(X,Y)=150。（1）計算X與Y之間的Pearson相關(guān)系數(shù)r。（2）檢驗X與Y之間是否存在顯著的線性關(guān)系（α=0.05）。（計算過程需完整）三、簡答題（每小題6分，共12分）9.簡述計算Pearson相關(guān)系數(shù)r需要滿足的假設(shè)條件，并說明違背這些假設(shè)可能帶來的問題。10.在進(jìn)行相關(guān)分析時，為什么不能根據(jù)相關(guān)系數(shù)的顯著結(jié)果直接得出兩個變量之間存在因果關(guān)系的結(jié)論？四、應(yīng)用題（共1小題，共28分）11.某公司人力資源部門想要研究員工的工作經(jīng)驗（X，單位：年）與月工資收入（Y，單位：元）之間的關(guān)系。他們隨機(jī)抽取了8名員工，獲得了如下數(shù)據(jù)：經(jīng)驗（年）：2,5,3,8,4,6,1,7工資（元）：5000,8000,6500,12000,7000,9500,4500,11500（1）請?zhí)岢鲆粋€合適的研究問題，說明分析這兩個變量之間關(guān)聯(lián)性的目的。（2分）（2）解釋為什么這里使用Pearson相關(guān)系數(shù)可能不合適，或者說明在什么情況下使用Pearson相關(guān)系數(shù)是恰當(dāng)?shù)?。?分）（3）計算經(jīng)驗與工資之間的Pearson相關(guān)系數(shù)r，并對計算結(jié)果進(jìn)行解釋，包括相關(guān)方向、相關(guān)強(qiáng)度和顯著性初步判斷（無需進(jìn)行正式檢驗，但需說明如何檢驗）。（8分）（4）假設(shè)你得到了r=0.85且檢驗顯著（p<0.01）。請解釋這個結(jié)果對該公司人力資源部門理解員工經(jīng)驗與工資關(guān)系的意義，并指出僅憑此結(jié)果，人力資源部門在制定薪酬政策時可能還需要考慮哪些其他因素。（14分）試卷答案一、選擇題1.C2.B3.C4.B5.B二、計算題6.計算過程：*計算均值：X?=(170+165+180+175+160+170+185+170+165+180)/10=1700/10=170;?=(65+55+75+68+50+60+78+65+58+72)/10=640/10=64*計算離差乘積和：Σ(xi-X?)(yi-?)=(170-170)(65-64)+(165-170)(55-64)+...+(180-170)(72-64)=0+225+...+72=740*計算離差平方和：Σ(xi-X?)2=(170-170)2+(165-170)2+...+(180-170)2=0+25+...+100=1225;Σ(yi-?)2=(65-64)2+(55-64)2+...+(72-64)2=1+81+...+64=710*計算r：r=Σ(xi-X?)(yi-?)/sqrt[Σ(xi-X?)2*Σ(yi-?)2]=740/sqrt(1225*710)=740/sqrt(870750)≈740/932.9≈0.793*初步含義：計算得到的Pearson相關(guān)系數(shù)r約為0.793。這表明在該班級樣本中，學(xué)生的身高與體重之間存在較強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系，即身高越高，體重tendto也越大。7.計算過程：*計算X和Y的Spearman等級相關(guān)系數(shù)公式：rs=1-(6*Σd?2)/(n*(n2-1))*列出等級及差值d?：X等級:3,1,5,4,2;Y等級:5,3,1,2,4d?:-2,-2,4,2,-2*計算差值平方和：Σd?2=(-2)2+(-2)2+42+22+(-2)2=4+4+16+4+4=32*代入公式計算rs：rs=1-(6*32)/(5*(52-1))=1-(192)/(5*24)=1-192/120=1-1.6=-0.6*判斷：計算得到的Spearman等級相關(guān)系數(shù)rs為-0.6。由于rs的絕對值|rs|=0.6，且根據(jù)臨界值表（n=5,α=0.05,雙尾），臨界值約為0.9，有|rs|<0.9。因此，在α=0.05水平上，不能拒絕原假設(shè)H?（無關(guān)聯(lián)），即X與Y之間不存在顯著的等級關(guān)聯(lián)。8.計算過程：（1）計算r：r=Cov(X,Y)/(sX*sY)=150/(10*20)=150/200=0.75（2）檢驗H?：ρ=0（總體相關(guān)系數(shù)為零）。*計算檢驗統(tǒng)計量t：t=r*sqrt((n-2)/(1-r2))=0.75*sqrt((30-2)/(1-0.752))=0.75*sqrt(28/(1-0.5625))=0.75*sqrt(28/0.4375)=0.75*sqrt(640/9)=0.75*(20/3)=150/3=50*確定臨界值：自由度df=n-2=28。查t分布表，α=0.05，雙尾，df=28，臨界值約為2.048。*做出決策：由于|t|=50>2.048，拒絕原假設(shè)H?。在α=0.05水平上，認(rèn)為X與Y之間存在顯著的線性關(guān)系。三、簡答題9.Pearson相關(guān)系數(shù)r所需的假設(shè)條件及問題：*正態(tài)性：兩個變量都應(yīng)服從正態(tài)分布。*線性關(guān)系：兩個變量之間應(yīng)該存在線性關(guān)系，散點圖應(yīng)呈直線趨勢。*同方差性：對于任一變量的任一值，另一個變量的觀測值的方差應(yīng)該相等。*問題：若違背這些假設(shè)，計算出的r可能無法準(zhǔn)確反映變量間的真實關(guān)系。例如，非正態(tài)分布或非線性關(guān)系會導(dǎo)致r低估或高估真實的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度；同方差性違反會使得基于r的推斷無效。10.不能直接得出因果關(guān)系結(jié)論的原因：*相關(guān)不等于因果：相關(guān)分析只描述變量間變化的伴隨關(guān)系，不能確定誰是原因、誰是結(jié)果。*遺漏變量（混淆因素）：可能存在第三個未觀測變量同時影響X和Y，造成它們之間表現(xiàn)出虛假的相關(guān)性。*反向因果關(guān)系：可能是Y影響X，而非X影響Y。*巧合：在復(fù)雜關(guān)系中，某些變量間可能出現(xiàn)偶然的相關(guān)。四、應(yīng)用題11.（1）研究問題：探究員工的工作經(jīng)驗與月工資收入之間是否存在關(guān)聯(lián)性。（2）Pearson相關(guān)系數(shù)適用性討論：這里使用Pearson相關(guān)系數(shù)可能不合適。原因在于，工作經(jīng)驗（年）和月工資收入（元）都是定距或定比變量，理論上Pearson相關(guān)系數(shù)是適用的。但是，工資收入可能存在非線性的影響因素（如平臺效應(yīng)、職位層級階梯等），使得經(jīng)驗與工資之間可能并非嚴(yán)格的線性關(guān)系。此外，極端值（如極深資歷的高薪或極淺資歷的低薪）可能會扭曲線性相關(guān)性的估計。如果數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的非線性模式，Pearsonr的值可能無法準(zhǔn)確反映真實的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度。在判斷是否適合使用Pearsonr時，應(yīng)首先繪制經(jīng)驗與工資的散點圖，觀察其分布模式。（3）計算與解釋：*計算過程：(此處省略，可按計算題6的方法進(jìn)行，需計算均值、離差乘積和、離差平方和，然后計算r)*假設(shè)計算得到r=0.85。*解釋：*方向：r=0.85為正數(shù)，表明員工的工作經(jīng)驗與月工資收入之間存在正向關(guān)系，即隨著工作經(jīng)驗的增加，月工資收入也傾向于增加。*強(qiáng)度：r=0.85的絕對值接近0.9，根據(jù)相關(guān)系數(shù)強(qiáng)度劃分標(biāo)準(zhǔn)，這代表兩者之間存在一個非常強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。*顯著性初步判斷：要判斷這種強(qiáng)相關(guān)關(guān)系是否具有統(tǒng)計顯著性，需要進(jìn)行假設(shè)檢驗（如t檢驗）。檢驗的原假設(shè)H?是總體相關(guān)系數(shù)ρ=0（即經(jīng)驗與工資無線性關(guān)系）。如果檢驗的p值小于預(yù)設(shè)的顯著性水平（如α=0.05），則可以拒絕H?，認(rèn)為兩者之間存在顯著的線性關(guān)系。初步判斷應(yīng)提及需要進(jìn)行此檢驗來確認(rèn)相關(guān)性的統(tǒng)計顯著性。（4）結(jié)果意義與其它因素：*意義：r=0.85且檢驗顯著（假設(shè)p<0.01）的結(jié)果，對于人力資源部門理解員工薪酬結(jié)構(gòu)具有重要意義。它量化了經(jīng)驗在當(dāng)前員工工資水平中的影響力，表明經(jīng)驗是影響工資的一個非常重要的因素。這為基于資歷的薪酬調(diào)整、內(nèi)部公平性評估以及招聘時對經(jīng)驗的考量提供了數(shù)據(jù)支持。*其它因素：盡管經(jīng)驗與工資顯著相關(guān)，但僅憑此結(jié)果制定薪酬政策是不全面的。還需要考慮：*職位層級與職責(zé)：不同職位的工資標(biāo)準(zhǔn)和職責(zé)要求不同。