2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——大學(xué)數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)的復(fù)變函數(shù)研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列復(fù)數(shù)中，()是純虛數(shù)。A.2+3iB.0C.-5iD.1-4i2.函數(shù)f(z)=|z|^2+zbar在z=1處（）。A.可導(dǎo)B.不可導(dǎo)C.連續(xù)但不可導(dǎo)D.不連續(xù)3.若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足u(x,y)=x^2-y^2，則v(x,y)等于（）。A.x^2+y^2B.2xyC.-2xyD.-x^2+y^24.設(shè)C為圓周|z|=2，方向為逆時針，則積分∮_C(z+2)/(z-1)dz的值等于（）。A.0B.2πiC.-2πiD.4πi5.函數(shù)f(z)=1/(z^2+1)的奇點為（）。A.z=1,z=-1B.z=i,z=-iC.z=0D.無奇點二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。6.若z=1+i，則z^3的實部為________。7.柯西積分公式表明，若f(z)在圓周C及其內(nèi)部解析，z_0在C內(nèi)部，且z≠z_0，則f(z_0)=________。8.留數(shù)定理可用于計算實積分∫_(-∞)^+dx/(x^2+1)，其值為________。9.函數(shù)w=z^2在z=1處的導(dǎo)數(shù)（用z表示）為________。10.級數(shù)Σ_(n=0)^∞(z-2)^n/3^n的收斂半徑R=________。三、計算題：本大題共4小題，每小題7分，共28分。11.計算積分∮_Cz^2dz，其中C為圓周|z|=1，方向為逆時針。12.求函數(shù)f(z)=e^(1/z)在z=0處的勞倫級數(shù)展開式。13.計算積分∫_(-∞)^+dx/(x^2+4x+3)，被積函數(shù)中含有因子e^x。14.討論函數(shù)w=1/(1-z)在z=1附近的行為，并判斷其是否為共形映射。四、證明題：本大題共2小題，每小題10分，共20分。15.證明：若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足f(z_1)=f(z_2)，則對于D內(nèi)任意z，都有f(z)=f(z_1)。16.證明：設(shè)f(z)在閉區(qū)域D上連續(xù)，在D內(nèi)解析，且在D的邊界上f(z)=0，則f(z)在D上恒等于零。（提示：可考慮利用極值原理或柯西積分定理）試卷答案一、單項選擇題1.C2.B3.C4.B5.B二、填空題6.37.∮_C(f(z)/(z-z_0))dz8.πi/29.2z10.3三、計算題11.解析：設(shè)f(z)=z^2，f(z)在C上及內(nèi)部解析。由柯西積分定理，∮_Cf(z)dz=0。答案：012.解析：函數(shù)e^w在w=0處的泰勒級數(shù)為Σ_(n=0)^∞w^n/n!。令w=1/z，則e^(1/z)在z=0處的勞倫級數(shù)為Σ_(n=0)^∞(1/z)^n/n!=Σ_(n=0)^∞z^(-n)/n!。答案：Σ_(n=0)^∞z^(-n)/n!13.解析：被積函數(shù)為1/((x+1)(x+3))。令f(z)=1/((z+1)(z+3))，其在z=-1和z=-3處有奇點。取閉路積分路徑C：|z|=4，方向逆時針。由留數(shù)定理，∮_Cf(z)dz=2πi(ΣresiduesinsideC)。僅z=-1在C內(nèi)。Res(f,-1)=lim_(z→-1)(z+1)f(z)=1/(2).∮_Cf(z)dz=2πi*(1/2)=πi.由柯西積分定理，∮_Cg(z)dz=∮_(C')g(z)dz，其中g(shù)(z)=e^zf(z)?！觃(C')e^zf(z)dz=πi.被積函數(shù)為g(x)=e^xf(x)=e^x/((x+1)(x+3))。由于g(z)在實軸上連續(xù)，∫_(-∞)^+g(x)dx=∮_Cg(z)dz。∫_(-∞)^+e^x/((x+1)(x+3))dx=πi.14.解析：函數(shù)f(z)=1/(1-z)。其導(dǎo)數(shù)f'(z)=1/(1-z)^2。令z=1，得f'(1)=1。由于導(dǎo)數(shù)存在且不為零，f(z)在z=1附近是共形映射。四、證明題15.證明：設(shè)f(z)在D內(nèi)解析。由解析函數(shù)的性質(zhì)，f(z)在D內(nèi)可微。由題設(shè)f(z_1)=f(z_2)。設(shè)z∈D，考慮函數(shù)g(z)=f(z)-f(z_1)。則g(z_1)=f(z_1)-f(z_1)=0。由于f(z)在D內(nèi)解析，g(z)在D內(nèi)解析。設(shè)z_2∈D，由題設(shè)f(z_2)=f(z_1)，得g(z_2)=f(z_2)-f(z_1)=0。由解析函數(shù)的最大模原理，若g(z)在區(qū)域D內(nèi)不為恒零函數(shù)，則其模在D內(nèi)達到最大值的點在D的邊界上。但g(z)在D內(nèi)至少有兩個點z_1,z_2(z_1≠z_2)使g(z)=0，這與最大模原理矛盾。因此，g(z)必在D內(nèi)恒等于零。即f(z)-f(z_1)=0，?z∈D。所以f(z)=f(z_1)，?z∈D。16.證明：設(shè)F(z)=∮_Γf(ζ)dζ，其中Γ是區(qū)域D的邊界，方向正向。由柯西積分定理，F(xiàn)(z)在D內(nèi)解析，且F(z)=∮_Γf(ζ)dζ=常數(shù)（設(shè)為C）。由題設(shè)，f(z)在邊界Γ上等于0。因此，對于D內(nèi)任意z，F(xiàn)(z)=∮_Γf(ζ)dζ=∮_Γ0dζ=0。由于F(z)在D內(nèi)解析且恒等于0，由解析函數(shù)的唯一性定理，F(xiàn)(z)在D內(nèi)恒等于常數(shù)C。由于F(z)≡0，故C=0。所