高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省渭源縣第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】直線的斜率為，令該直線傾斜角為，則有，而，于，所以直線的傾斜角為.故選：C.2.如圖，三棱錐中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.即.故選：C.3.已知空間中點(diǎn)，，，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，，，所以，，，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以與共面，即存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，所以，所以，解得．故選：B.4.已知兩條不重合直線和，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，解得或，當(dāng)時(shí)，的方程均為，故重合，不符題意；當(dāng)時(shí)，：，：，兩者平行，符合題意，故C正確.故選：C.5.求點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A.3 B. C. D.5【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的方程為，所以直線過定點(diǎn)，所以直線表示過定點(diǎn)的斜率存在的直線，如圖，當(dāng)時(shí)，表示點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)不垂直于時(shí)，表示點(diǎn)到直線的距離，顯然，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為,所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：D.6.如圖，三棱柱滿足棱長都相等且⊥平面，D是棱的中點(diǎn)，E是棱上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，隨著x增大，平面與平面的夾角是（） A.先增大再減小 B.減小 C.增大 D.先減小再增大【答案】D【解析】以AC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)所有棱長均為2，則，，，，設(shè)平面BDE法向量，則，令，則，故．又平面的法向量，故平面與底面所成銳二面角的平面角的余弦值，又，故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，即隨著x增大先增大后減小，且在單調(diào)遞減，所以隨著x增大先減小后增大．故選：D．7.如圖，已知，均為正方形，二面角大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】解法一：根據(jù)題意可知，即為二面角的平面角，所以，設(shè)正方形與邊長均為1，異面直線與所成的角為.因?yàn)?，，，，所以，所以，?解法二：不妨假設(shè)正方形與的邊長均為2，如圖，補(bǔ)形成直三棱柱，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，由此可得，.設(shè)異面直線與所成的角為，則.故選：A.8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著．書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，在陽馬中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分別為PD，PB的中點(diǎn)，，，，若AG⊥平面EFC，則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，，，，又平面，，，解得.故選：C.二、多選題（每小題6分，共18分）9.已知三棱錐，三棱錐的外接球?yàn)榍?，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.與可能垂直B.與可能垂直C.過棱作球的截面，截面面積可能為D.二面角的余弦值可能為【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，假設(shè)與垂直，因?yàn)椋?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，，所以，由于，故⊥不可能，所以假設(shè)不成立，所以與不可能垂直，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，假設(shè)與垂直，因?yàn)?，，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，滿足⊥，所以與可能垂直，B正確；C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，則，故點(diǎn)即為三棱錐的外接球球心，即重合，外接球半徑為1，假設(shè)截面面積為，設(shè)截面半徑為，則，解得，此時(shí)，滿足，，故過棱作球的截面，截面面積可能為，C正確；D選項(xiàng)，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)椋缘膴A角即為二面角的平面角，假設(shè)二面角的余弦值為，，兩邊平方得，即，整理得，解得，即重合，即，故二面角的余弦值可能為，D正確.故選：BCD.10.如圖，平行六面體中，以為頂點(diǎn)的三條棱長均為1，且兩兩之間的夾角都是，則下列說法中正確的是（）A B.C.向量與的夾角是 D.與所成角的余弦值為【答案】AC【解析】在平行六面體中，其中以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為1，且彼此夾角都是，所以，.對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?且,即不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，所以,所以向量與夾角是，故C正確；對(duì)于D，，，而，，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知、為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且，為中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.C.點(diǎn)的軌跡方程為D.的最大值為【答案】ABD【解析】A．由，則點(diǎn)在圓內(nèi)，正確.B．因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，由垂徑定理知，正確.C．由得且，令，則，整理得，錯(cuò)誤.D．點(diǎn)的軌跡方程化為，即軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故，又，即在圓內(nèi)，故，而，所以，正確.故選：ABD.三．填空題（每題5分，共15分）12.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是______.【答案】【解析】空間向量，，則向量在向量上的投影向量為：.故答案為：13.在棱長為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為__________.【答案】【解析】為的中點(diǎn)，，又平面，平面，點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，平面的法向量為，，．故答案為：．14.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上的垂直平分線所在直線的方程為______．【答案】【解析】兩點(diǎn)的中點(diǎn)為，即，邊所在直線的斜率為，則邊上的垂直平分線所在直線的斜率為，則邊上的垂直平分線所在直線的方程為，即.故答案為：.四、解答題（5個(gè)小題，共77分）15.在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的方程為，.（1）若，求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（2）求證：直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并寫出原點(diǎn)到直線距離最大時(shí)直線的方程．（1）解：當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，斜率為，則過點(diǎn)且與直線l平行的直線方程為，即；（2）證明：由，可得：，由，可得，即直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；由題意可得，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大，因?yàn)椋?，所以直線的方程為,即.16.如圖，在平行六面體中，，（1）求證：；（2）求的長（1）證明：以為基底向量，則，又，所以，所以，所以；（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以的長為.17.如圖所示，平行六面體中，E，F(xiàn)分別在和上，，.（1）求證：A，，，四點(diǎn)共面；（2）若，求的值.（1）證明：，，，，四點(diǎn)共面.（2）解：，，，，.18.如圖所示，在四棱錐中，底面，平面平面，．（1）證明：；（2）設(shè)，，若二面角的平面角為，求.（1）證明：因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：由（1）易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，其中，因?yàn)榍?，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)槎娼瞧矫娼菫?，所以，整理得，解得又因?yàn)?，所以，即的長為.19.如圖①，點(diǎn)，分別在軸正半軸和軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，且，以為邊向外作使得為等邊三角形，是的中點(diǎn).（1）求的最大值；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，將沿折疊至，如圖②.（i）當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值；（ii）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面的夾角正弦值為？解：（1）不妨設(shè)，則，，在中，由余弦定理得：因?yàn)?，所以，故?dāng)，即時(shí)取等