高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省株洲市蘆淞區(qū)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.-11 C.15 D.【答案】B【解析】由，則其虛部為.故選：B.2.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，而，∴.故選：C.3.已知雙曲線：的漸近線方程為：，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】的漸近線方程為，故，故雙曲線的離心率為.故選：A.4.函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心可以是()A. B.C. D.【答案】D【解析】令，解得：，當(dāng)時(shí)，的圖象是由的圖象向上平移個(gè)單位得到的，函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心可以是故選D.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵是奇函數(shù)，∴，又，∴是周期函數(shù)，周期為4．∴．故選：C．6.設(shè)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的面積與的面積的比值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)、、，則，，，由可得，解得，，所以，，，因此，.故選：D.7.雙曲線的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作平行于雙曲線的一條漸近線的直線l，則點(diǎn)A到直線l的距離為A. B. C. D.【答案】B【解析】由雙曲線得：，，，可得，，雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)過點(diǎn)F作平行于雙曲線的一條漸近線的直線l為，即，則A到直線l的距離為．故選B．8.在中，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，，則故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共8分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示的幾何體由一個(gè)三棱錐和一個(gè)半圓錐組合而成，兩個(gè)錐體的底面在同一個(gè)平面內(nèi)，是半圓錐底面的直徑，D在底面半圓弧上，且，與都是邊長為2的正三角形，則（）A. B.平面C.異面直線與所成角的正弦值為 D.該幾何體的體積為【答案】ABD【解析】對于A，取中點(diǎn)O，連接，所以為等腰直角三角形，且，又因?yàn)?，，所以平面，平面，所以，A正確．對于B，，∴，而，∴，∴，平面，平面，∴平面，B正確．對于C，取中點(diǎn)M，連接知，∴，∴與所成角即為與所成角，為，，由余弦定理得，C錯(cuò)．對于D，該幾何體體積，D正確．故選：ABD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作兩條互相垂直的直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，則（）A.當(dāng)直線的斜率為時(shí)，B當(dāng)時(shí)，C.的最小值為18D.的面積最小值為4【答案】ABD【解析】對于A，由題意得，，，，，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線方程為，由可得，則，所以，A正確；對于B，設(shè)直線方程為，則方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程得.則①，②，同理，，又，所以，結(jié)合①②可得，所以，B正確.對于C，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為16，故C錯(cuò)誤；對于D，由B知，.，所以直線GH：，令得，所以直線GH恒過定點(diǎn)；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故D正確；故選：ABD.11.函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到C.若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則D.函數(shù)的最大值為【答案】ABD【解析】解法1：，其函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可得：在上單調(diào)遞增，A正確.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可得函數(shù)的圖象，所以的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，B正確.因，所以，所以與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即：，故，C錯(cuò)誤.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，D正確.故選：ABD解法2：當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，A正確.因，將其向右平移可得：，B正確.時(shí)，取得最大值，該函數(shù)在上最多一個(gè)最大值，C錯(cuò)誤.，令，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)函數(shù)的圖象為曲線，直線與曲線相切于點(diǎn)，則；函數(shù)的解析式為．【答案】①.2②.【解析】由函數(shù)的圖象為曲線，直線與曲線相切于點(diǎn)．所以直線過點(diǎn)，即，解得，又由，則，即，，所以，所以函數(shù)的解析式為，故答案為：2，13.已知是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則公比_______，______．【答案】①.或0.5②.15【解析】因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正的等比數(shù)列，所以，解得或，又因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正，所以，所以，故答案為：，.14.袋中有6個(gè)大小相同的球，其中1個(gè)紅球，m個(gè)白球，n個(gè)黑球，現(xiàn)依次取球，每次取出一個(gè)，取出不放回，直到取出的球中有兩種不同顏色的球時(shí)結(jié)束，已知取到1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率為，則__________，用表示終止時(shí)取球的次數(shù)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望__________.【答案】①.3②.【解析】取到1個(gè)紅球1個(gè)白球，則取球2次，則取到1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率，解得.所以袋中的6個(gè)球中，其中1個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)黑球.隨機(jī)變量的取值為：2,3,4.；；.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.故答案為：3；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.奶茶是年輕人非常喜歡的飲品．某機(jī)構(gòu)對于奶茶的消費(fèi)情況在一商圈附近做了一些調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性喜歡奶茶的人數(shù)明顯高于男性，每月喝奶茶的次數(shù)也比男性高，但單次奶茶消費(fèi)金額男性似乎明顯高于女性．針對每月奶茶消費(fèi)是否超過百元進(jìn)行調(diào)查，已知在調(diào)查的人中女性人數(shù)是男性人數(shù)的倍，統(tǒng)計(jì)如下：超過百元未超過百元合計(jì)男女合計(jì)（1）完成如上列聯(lián)表，并說明是否有的把握認(rèn)為月消費(fèi)奶茶超過百元與性別有關(guān)？（2）在月消費(fèi)超百元的調(diào)查者中，同時(shí)進(jìn)行對于品牌喜好的調(diào)查．發(fā)現(xiàn)喜歡品牌的男女均為人，現(xiàn)從喜歡品牌的這人中抽取人送紀(jì)念品，求這兩人恰好都是女性的概率．附：.解：（1）設(shè)男性每月奶茶消費(fèi)未超過百元的人數(shù)為，則，，超過百元未超過百元合計(jì)男女合計(jì)的觀測值，因此，有的把握認(rèn)為月消費(fèi)奶茶超過百元與性別有關(guān).（2）設(shè)喜歡品牌的女性為、、，男性為、、，從喜歡品牌的這人中抽取人送紀(jì)念品，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共種，設(shè)“這兩人恰好都是女性”為事件，則事件包含的基本事件有：、、，共種，，因此，抽取的這兩人恰好都是女性的概率為.16.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知是公差為2的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前n項(xiàng)和．解：（1）依題意，，因此，即，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，因此，所以數(shù)列前n項(xiàng)和.17.如圖，四棱錐中，側(cè)面底面，，，，.（1）證明：直線平面；（2）若四棱錐的體積為8，求三棱錐的內(nèi)切球的表面積.（1）證明：∵，∴，∵平面，平面∴平面（2）解：取的中點(diǎn)為，連接，∵為等腰三角形，，又因?yàn)槠矫嫫矫媲蚁嘟挥?，所以平面，∴設(shè)，，∵，∴，∴，∴，即，，∴，，在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴，設(shè)三棱錐內(nèi)切球半徑為，∵，根據(jù)等體積法，∴，∴所以，三棱錐的內(nèi)切球表面積為.18.在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)l的斜率為1時(shí)，.（1）求C的方程；（2）設(shè)l與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，直線PO與C交于點(diǎn)Q（異于原點(diǎn)），線段MN的中點(diǎn)為R，若，求面積的取值范圍.解：（1）因?yàn)檫^F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，故直線的斜率不為0，不妨設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立l與C的方程，得，∴，，則，∴由題可知當(dāng)時(shí)，，∴，∴C的方程為.（2）由（1）知，將R的縱坐標(biāo)2m代入，得，易知C的準(zhǔn)線方程為，又l與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，∴，則直線OP的方程為，聯(lián)立OP與C的方程，得，∴，∴Q，R的縱坐標(biāo)相等，∴直線軸，∴，∴，∵點(diǎn)Q異于原點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，即.19.已知函數(shù)的圖象在