高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省多校2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，有”的否定是（）．A.，有 B.，有C.，使 D.，使【答案】D【解析】命題“，有”的否定是“，使”．故選：D.2.設(shè)全集，，則（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得，，則．故選：A.3.設(shè)，，則（）．A. B.C. D.a，b的大小與x的值有關(guān)【答案】B【解析】因?yàn)椋裕蔬x：B.4.某農(nóng)戶用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜地，則所用籬笆長度的最小值是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)矩形菜地長為，寬為，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：C.5.已知，則“x，y中至少有1個(gè)是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)，時(shí)，，則“x，y中至少有1個(gè)是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的不充分條件．由是無理數(shù)，得x，y中至少有1個(gè)是無理數(shù)，則“x，y中至少有1個(gè)是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的必要條件．故“x，y中至少有1個(gè)是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的必要不充分條件．故選：B.6.已知，，則的取值范圍是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，解得．因?yàn)?，，所以，，所以．故選：D.7.已知，則的最大值是（）．A B. C.5 D.8【答案】A【解析】易知．因?yàn)?，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，則的最大值是．故選：A.8.某月某書店會(huì)員在該書店購買了科技類書籍的有26人，購買了文學(xué)類書籍的有32人，購買了藝術(shù)類書籍的有18人，同時(shí)購買了科技類和文學(xué)類書籍的有16人，同時(shí)購買了文學(xué)類和藝術(shù)類書籍的有6人，則當(dāng)月在該書店至少購買了這三類書籍中的一種的會(huì)員最少有（）．A.54人 B.48人 C.44人 D.42人【答案】C【解析】由題意可知購買了科技類書籍或文學(xué)類書籍的會(huì)員有人．當(dāng)同時(shí)購買了科技類書籍和藝術(shù)類書籍的會(huì)員人數(shù)最多時(shí)，當(dāng)月在該書店至少購買了這三類書籍中的一種的會(huì)員最少，最少有人．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的是（）．A.所有無理數(shù)都大于0B.關(guān)于x的方程有實(shí)根C.每一個(gè)三角形中的最大內(nèi)角都不小于D.至少存在一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，易知是小于0的無理數(shù)，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，因?yàn)椋躁P(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，B正確．對(duì)于C，假設(shè)存在一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于，則這個(gè)三角形的內(nèi)角和小于，與三角形的內(nèi)角和為矛盾，則假設(shè)不成立，即每一個(gè)三角形中的最大內(nèi)角都不小于，C正確．對(duì)于D，2是素?cái)?shù)，也是偶數(shù)，D正確．故選：BCD.10.所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集M與N．且，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割，例如：集合，，則為戴德金分割，若為戴德金分割，則下列結(jié)論正確的是（）．A.若集合A確定，則集合B一定是唯一的B.若集合A中沒有最大值，則集合B中一定有最小值C.若集合A中有最大值，則集合B中一定沒有最小值D.若集合A中沒有最大值，則集合B中一定沒有最小值【答案】AC【解析】因?yàn)闉榇鞯陆鸱指睿约螦確定，則集合B一定是唯一的，A正確；當(dāng)集合，時(shí)，集合A中沒有最大值，集合B中沒有最小值，B錯(cuò)誤；若集合A中有最大值，則，所以，所以集合B中一定沒有最小值，C正確；當(dāng)集合，時(shí)，集合A中沒有最大值，集合B中有最小值，D錯(cuò)誤．故選：AC.11.已知，，且，則的值可能是（）．A.6 B.7 C.8 D.9【答案】CD【解析】因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)?，所以，所以．故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.集合，，若，則______．【答案】或0【解析】當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，則滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，則滿足題意．綜上，或．故答案為：或0.13.某蛋糕店推出了一款新品蛋糕，計(jì)劃每天的宣傳銷售人員人數(shù)在20到50之間，宣傳銷售人員的人數(shù)x與銷售總額y（單位：元）滿足函數(shù)關(guān)系，則當(dāng)該蛋糕店的宣傳銷售人員的人均銷售額最大時(shí)，______．【答案】30【解析】由題意可得宣傳銷售人員的人均銷售額為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，該蛋糕店的宣傳銷售人員的人均銷售額最大．故答案為：.14.已知關(guān)于x的不等式的解集是，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)椴坏仁?，即不等式．令，則是其兩個(gè)不等根，所以，，故．又因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以，解得，則，從而，故，即，即取值范圍是．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求a的取值范圍．解：（1）由題意可得集合．當(dāng)時(shí)，集合，則，；（2）由上知，因?yàn)?，所以或，解得或，即a的取值范圍是．16.已知，，且．（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）證明：．解：（1）因?yàn)椋?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為．第（1）問還可以這樣解答：因，所以，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為．（2）因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，即的最小值是．（3）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以．第（3）問還可以這樣證明：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以．17.已知，．（1）若p是q是充分不必要條件，求a的取值范圍；（2）若是p的必要不充分條件，求a的取值范圍．解：（1）由題意可知．因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以，解得，即a的取值范圍是．（2）當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，或．因?yàn)槭莗的必要不充分條件，所以或，解得或．綜上，a的取值范圍是．18.（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式的解集為R，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集．解：（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，解得，．?）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，即不等式的解集為．當(dāng)時(shí)，的解集不是，舍去．當(dāng)時(shí)，則，解得．故a的取值范圍是．（3）當(dāng)時(shí)，不等式，即不等式．①當(dāng)時(shí)，不等式，即不等式，解得．②當(dāng)時(shí)，令，得或．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為．綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．19.對(duì)任意給定的不小于3的正整數(shù)n，n元集合（含有n個(gè)元素的集合），均為正整數(shù)集的子集，若集合A和集合B滿足①，②，③，則稱集合A，B互為不交雙等集．（1）分別判斷集合與和集合與是否互為不交雙等集，請(qǐng)說明理由．（2）若集合與集合互為不交雙等集，求的值．（3）證明：對(duì)任意給定的正整數(shù)，存在兩個(gè)n元正整數(shù)集M，N互為不交雙等集．解：（1）因?yàn)?，，所以集合，不滿足條件②，則集合，不互為不交雙等集．因?yàn)?，，，，且，所以集合，互為不交雙等集．（2）由不交雙等集的定義可得，解得或，則或．（3）引理1：設(shè)m元不交雙等集對(duì)和n元不交雙等集對(duì)，可由此構(gòu)造元不交雙等集對(duì)．引理1證明：必有，，，，，，對(duì)于任意的正整數(shù),為元不交雙等集對(duì)，顯然存在足夠大得正整數(shù),使得，滿足,所以，，，,則互為元不交雙等集．引理2：由引理1中得已知得兩個(gè)不交雙等集對(duì)可由此構(gòu)造元不交雙等集對(duì).引理2證明：當(dāng)時(shí)由引理1中得構(gòu)造方法可知存在元不交雙等集對(duì)，再對(duì)此元不交雙等集對(duì)和元不交雙等集對(duì)重復(fù)使用引理1可構(gòu)造元不交雙等集對(duì).再對(duì)此元不交雙等集對(duì)和元子集對(duì)，使用引理1，可構(gòu)造元不交雙等子集對(duì).現(xiàn)在來證明對(duì)任意給定的正整數(shù)，存在兩個(gè)n元正整數(shù)集M，N互為不交雙等集．證明：由（1）（2）可知和互為4元