2/30第十章數(shù)的開方（舉一反三講義）全章題型歸納 【華東師大版2024】TOC\o"1-3"\h\u【培優(yōu)篇】 5【題型1直接求平方根、立方根】 5【題型2利用求平方根、立方根解方程】 5【題型3由平方根、立方根求值】 6【題型4實數(shù)的運(yùn)算】 6【題型5無理數(shù)的估算】 7【拔尖篇】 7【題型6算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性】 7【題型7實數(shù)的大小比較】 8【題型8求整數(shù)部分和小數(shù)部分】 8【題型9實數(shù)與數(shù)軸綜合運(yùn)用】 9【題型10實數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用】 10知識點1算術(shù)平方根和平方根的區(qū)別與聯(lián)系算術(shù)平方根平方根區(qū)別定義一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根一般地，如果一個數(shù)χ的平方等于a,即x2=a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）個數(shù)一個正數(shù)只有一個算術(shù)平方根一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒有平方根表示方法正數(shù)a的算術(shù)平方根為a正數(shù)a的平方根表示為±取值范圍a具有雙重非負(fù)性，即

a≥0，a的平方根可正可負(fù)，也可為0二者聯(lián)系聯(lián)系平方根包含了算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中正的那個關(guān)于00的算術(shù)平方根和平方根都是0知識點2開平方1.定義：求一個數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方，a叫做被開方數(shù).2.開平方和平方根的區(qū)別與聯(lián)系（1)開平方時，被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù).（2)平方根是數(shù)，是開平方的結(jié)果；開平方是一種運(yùn)算，是求平方根的過程.（3)平方和開平方互為逆運(yùn)算，可以用平方運(yùn)算來檢驗開平方的結(jié)果是否正確.知識點3a2與a2的性質(zhì)形式性質(zhì)示例aa2=a=62=6(?6)2aa2=a（62知識點4立方根和平方根的不同點和相同點立方根平方根區(qū)別定義一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a,即x3=a，那么這個正數(shù)x就叫做a一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）個數(shù)每一個數(shù)a有且只有一個立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒有平方根表示方法3±a取值范圍任意數(shù)a相同點關(guān)于00的平方根是0，0的立方根是0知識點5開立方1.求一個數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù).2.開平方和開立方的區(qū)別開平方開立方運(yùn)算符號±3被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意數(shù)個數(shù)0的平方根只有一個；一個正數(shù)的平方根有兩個；負(fù)數(shù)沒有平方根任意數(shù)的立方根都只有一個知識點6無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．無理數(shù)的常見形式有以下幾種：（1）開方開不盡的數(shù)的相應(yīng)方根是無理數(shù)，如2，35（2）圓周率π及一些含有π的數(shù),如2π，π2（3）以無限不循環(huán)小數(shù)形式寫出的數(shù),如0.1010010001…（兩個1之間依次多一個0)等．注意無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限；無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)；無理數(shù)不能表示成分?jǐn)?shù)的形式．知識點7實數(shù)的概念及分類1.概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．2.分類：實數(shù)有兩種分類標(biāo)準(zhǔn)：（1）按定義分類：實數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)．實數(shù)實數(shù)有理數(shù)0無理數(shù)正有理數(shù)負(fù)有理數(shù)正無理數(shù)負(fù)無理數(shù)有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)（2）正整數(shù)正分?jǐn)?shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)實數(shù)正實數(shù)負(fù)實數(shù)正有理數(shù)正無理數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)無理數(shù)0知識點8實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).知識點9實數(shù)范圍內(nèi)的有關(guān)概念名稱性質(zhì)舉例相反數(shù)若a與b互為相反數(shù)，則a3的相反數(shù)是?倒數(shù)若a與b互為倒數(shù)，則a2的倒數(shù)是1絕對值任何實數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，即aa互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，即a2知識點10實數(shù)的運(yùn)算在實數(shù)范圍內(nèi)，不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為零）、乘方運(yùn)算，而且可以進(jìn)行開立方運(yùn)算以及非負(fù)實數(shù)的開平方運(yùn)算．有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用，實數(shù)混合運(yùn)算的順序與有理數(shù)混合運(yùn)算的順序相同，先乘方、開方，再乘除，最后加減．同級運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行，有括號的先算括號里面的．知識點11實數(shù)的大小比較有理數(shù)大小比較的方法在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．兩實數(shù)的大小關(guān)系如下：正實數(shù)都大于0，負(fù)實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負(fù)實數(shù)；兩個正實數(shù)，絕對值大的正實數(shù)大；兩個負(fù)實數(shù)，絕對值大的負(fù)實數(shù)??；在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．此外，比較兩實數(shù)的大小還有如下方法：（1）通過比較兩實數(shù)的平方的大小，進(jìn)而確定實數(shù)的大小關(guān)系．如比較10與3的大小，由于(10)2=10（2）用估算的方法求出無理數(shù)的近似值后，再比較兩數(shù)的大?。?）當(dāng)兩個帶根號的無理數(shù)比較大小時，可應(yīng)用如下結(jié)論：①a>②a>【培優(yōu)篇】【題型1直接求平方根、立方根】【例1】（24-25七年級下·山東濟(jì)寧·期末）下列說法中錯誤的是（

）A．5是5的算術(shù)平方根 B．0的平方根和立方根都是0C．9的平方根是±3 D．?3是?32【變式1-1】（24-25七年級下·貴州黔東南·階段練習(xí)）?827的立方根是；4的算術(shù)平方根是【變式1-2】（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）（1）填表：a0.0000010.0011100010000003（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：①33=1.442，則33000②已知3343=7，則【變式1-3】若a、b互為相反數(shù)，c、d互為負(fù)倒數(shù)，則a2?b【題型2利用求平方根、立方根解方程】【例2】（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）對于實數(shù)a,b，定義一種運(yùn)算“⊕”：a⊕b=a2?2b．關(guān)于x的方程x+1⊕8=0【變式2-1】（24-25七年級下·湖南長沙·階段練習(xí)）求下列各式中的x．(1)x2(2)x+13【變式2-2】（24-25七年級下·河南駐馬店·期末）滿足方程2x?12?16=9的x的值為【變式2-3】（24-25七年級下·天津·期中）求下列方程中x的值：(1)2x(2)13(3)2?x3(4)64【題型3由平方根、立方根求值】【例3】（24-25七年級下·山東日照·階段練習(xí)）已知a?6與a+2b互為相反數(shù)，c+5的立方根是2，則a?2b?c的平方根為．【變式3-1】已知x的兩個平方根是a+3與2a?15，且2b?1的算術(shù)平方根是3．(1)求a,b,x的值；(2)求a+b?1的立方根．【變式3-2】（24-25七年級下·廣西崇左·階段練習(xí)）已知3a+1的兩個平方根分別是7?m和2?2m，9+b的立方根是2．(1)求m，a，b的值；(2)求7a?b的平方根．【變式3-3】（24-25七年級下·江西新余·期末）已知2a+1的平方根是±3.3a+2b?4的立方根是?2，(1)求a和b的值；(2)求3a+b的平方根【題型4實數(shù)的運(yùn)算】【例4】（24-25七年級下·四川綿陽·期中）將1，2，3，6按如圖方式排列，若規(guī)定m,n表示第m排從左向右第n個數(shù)，則5,4與12,4表示的兩數(shù)之差是.【變式4-1】（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）計算：16?【變式4-2】（24-25八年級上·湖南邵陽·期末）規(guī)定：m表示不超過m的最大整數(shù)，m表示m的小數(shù)部分，m+m=m，其中m為實數(shù)．例如3.14=3，3.14=0.14，【變式4-3】（24-25七年級上·浙江杭州·期中）每個程序段由若干條指令組成，老師設(shè)計了一段運(yùn)算程序如圖：例如：當(dāng)輸入x的值為?1時，計算結(jié)果3<4；將輸入值變?yōu)?1+1＝0，計算結(jié)果為請思考下列問題．(1)當(dāng)輸入x的值為5，則輸出y的值是多少？請列式計算．(2)當(dāng)起始輸入x的值為1，請通過計算說明經(jīng)過幾次程序運(yùn)行后才能輸出y．【題型5無理數(shù)的估算】【例5】（24-25七年級下·福建龍巖·期末）大自然是美的設(shè)計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“美學(xué)”．如圖，BCAB的值接近黃金比5?12A．0<5?12C．12<5【變式5-1】（24-25八年級下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知432=1849，442=1936，452=2025，462=2116．若A．43 B．44 C．45 D．46【變式5-2】（24-25九年級上·江蘇淮安·期中）若a<23<b，且a、b為連續(xù)正整數(shù)，則a+b【變式5-3】（24-25七年級下·河北唐山·期末）已知k<17?1，且k為正整數(shù)，則k的值可以是【拔尖篇】【題型6算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性】【例6】（24-25七年級下·湖北恩施·階段練習(xí)）已知a，b為實數(shù)，且b=a?8?8?a+25，則A．10 B．9 C．8 D．7【變式6-1】（25-26八年級上·全國·隨堂練習(xí)）若a+a?3=3，求【變式6-2】（24-25七年級下·貴州貴陽·期中）已知a?3+3+b=0，則aA．1 B．?1 C．2 D．?2【變式6-3】（2025八年級下·湖北·專題練習(xí)）已知非零實數(shù)a，b滿足2a?4+b+2+a?4【題型7實數(shù)的大小比較】【例7】（24-25七年級下·天津濱海新·期中）比較大?。?13；?5?2；5+1232．（填“>”、“【變式7-1】（24-25七年級下·山東德州·期中）若a=37，b=5，c=2，則a，b，cA．b≤c<a B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c【變式7-2】（25-26八年級上·全國·隨堂練習(xí)）比較65?2與10【變式7-3】（25-26八年級上·全國·隨堂練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)12與10(2)6?1【題型8求整數(shù)部分和小數(shù)部分】【例8】（24-25八年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）若3的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，4?3的整數(shù)部分為c，小數(shù)部分為d，則b+dac的值為（A．12 B．14 C．3?12【變式8-1】（24-25七年級下·廣東廣州·期中）若6+5的整數(shù)部分是m，小數(shù)部分是n，則n?m為（

A．5?10 B．10?5 C．5?6【變式8-2】（24-25八年級上·湖南邵陽·期末）規(guī)定：m表示不超過m的最大整數(shù)，m表示m的小數(shù)部分，m+m=m，其中m為實數(shù)．例如3.14=3，3.14=0.14，【變式8-3】（24-25七年級下·廣東江門·階段練習(xí)）已知實數(shù)8+13的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分是m；實數(shù)9?13的整數(shù)部分為b，小數(shù)部分是(1)直接寫出a，m，b，n的值；(2)求12m+12n+a+b(3)求3m+n【題型9實數(shù)與數(shù)軸綜合運(yùn)用】【例9】（24-25七年級下·河北秦皇島·期末）《九章算術(shù)》中勾股術(shù)曰：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，即c=a2+b2（a為“勾”，b為“股”，cA．A點 B．B點 C．C點 D．D點【變式9-1】（24-25七年級下·遼寧鞍山·期中）如圖，正方形ABCD的面積為7，頂點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為?1，若點E在數(shù)軸上（點E在點A的左側(cè)），且AD=AE，則點E所表示的數(shù)為．【變式9-2】（24-25八年級下·黑龍江牡丹江·期末）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：a+1?b?1

【變式9-3】（24-25七年級下·湖南常德·期中）如圖，通過畫邊長為1的正方形，就能準(zhǔn)確的把2表示在數(shù)軸上點A1處，記A1右側(cè)最近的整數(shù)點為B1，以點B1為圓心，A1B1為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點A2，記A2右側(cè)最近的整數(shù)點為B2，以點【題型10實數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用】【例10】（24-25七年級下·湖南長沙·階段練習(xí)）王師傅有一個體積為200cm(1)若將原料重新鍛造成一個底面為正方形、高為8cm(2)王師傅現(xiàn)將原料鍛造成三個大小相同的正方體鐵塊，制作完成后剩下的余料體積為8cm【變式10-1】（24-25七年級上·浙江·期中）如圖，一個底面半徑為3cm的瓶子內(nèi)裝著一些溶液．當(dāng)瓶子正放時，瓶內(nèi)溶液的高度為16cm；倒放時，空余部分的高度為4cm．瓶內(nèi)的溶液正好倒?jié)M2個一樣大的正方體容器（π取3，容器的厚度不計）．(1)該瓶子的容積（裝滿時溶液的體積）是多少立方厘米？(2)正方體容器的棱長是多少厘米？【變式10-2】五一返校上課后，為了表揚(yáng)在假期依舊認(rèn)真完成數(shù)學(xué)作業(yè)的小函和小韜同學(xué)，數(shù)學(xué)老師決定在某外賣平臺上點2杯單價都是16元的奶茶獎勵他們．從奶茶店到學(xué)校的每份訂單配送費(fèi)都為1.6元，由于數(shù)學(xué)老師是該平臺的會員，因此每單都可以使用一個平臺贈送的5元平臺紅包對每份訂單的總價減免5元（訂單總價不含配送費(fèi)，同一訂單只允許使用一個紅包）．但根據(jù)該奶茶店的優(yōu)惠活動，當(dāng)訂單總價（不含配送費(fèi)）滿30元時，5元的平臺紅包可兌換為一個7元的店