河南省省直轄縣級行政單位聯(lián)考2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列方程中是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．觀察下列圖形，是中心對稱圖形的是(

)A． B． C． D．3．如圖所示，將一個含角的直角三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)，，在同一直線上，則三角板旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是（）．

A．60° B．90° C．120° D．150°4．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先向右平移2個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是（）A． B． C． D．5．已知一元二次方程可配成，則的值為（

）A． B．1 C． D．56．關(guān)于拋物線，下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的最大值是3 B．開口向上C．與軸無交點(diǎn) D．對稱軸是直線7．近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷商紛紛開展降價(jià)促銷活動．某款燃油汽車今年2月份售價(jià)為萬元，4月份售價(jià)為萬元，設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月平均降價(jià)率是x，則所列方程正確的是（）A． B．C． D．8．已知二次函數(shù)y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）圖象上三點(diǎn)A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y39．如圖，為了美化校園環(huán)境，學(xué)校計(jì)劃在草坪中央修建一個直徑為米的圓形噴水池，水池中心處立著一個圓柱形實(shí)心石柱，在圓形噴水池的四周安裝了一圈噴頭，噴射出的水柱呈拋物線型，水柱在距水池中心處到達(dá)最大高度為，從各方向噴出的水柱在石柱頂部的中心點(diǎn)處匯合，則要修建的高度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米10．如圖，矩形的頂點(diǎn)，，與x軸負(fù)半軸的夾角為，若矩形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時，矩形的對角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、填空題11．若二次函數(shù)的圖像開口向下，則m的值為．12．若點(diǎn)M（3，a），N（b，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a+b=．13．若方程的一個根是a，則的值為．14．如圖，在四邊形中，，將邊繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，已知，則的長度為．15．如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)B．點(diǎn)M是直線AB上的一個動點(diǎn)，將點(diǎn)M向左平移3個單位長度得到點(diǎn)N．若線段MN與拋物線只有一個公共點(diǎn)，寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍．三、解答題16．解方程：(1)；(2)．17．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個根均為整數(shù)，求正整數(shù)的值．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…-1012…y…-3010…(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象；(3)寫出y隨x增大而減小的x的取值范圍；(4)若，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．19．如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，并使點(diǎn)落在邊上．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)連接，求的長．20．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)畫出將關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形；(2)將繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)得到，畫出；(3)若由繞者某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，則這點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．21．甲同學(xué)家有一塊空地，空地上有一面長為米的圍墻，甲打算利用圍墻和木欄圍一塊長方形養(yǎng)雞場，已知木欄總長為米，與墻相對的一面木欄需開一扇寬為2米的門，門不消耗木欄，設(shè)長為x米．(1)如圖1，當(dāng)時，①________米（用含x的代數(shù)式表示）．②若圍成的養(yǎng)雞場面積為平方米，求的長．(2)如圖2，當(dāng)時，求養(yǎng)雞場可達(dá)到的最大面積．22．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（3，0），C（﹣1，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖，點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象的對稱軸上的一個動點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B，當(dāng)PB+PC最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在第一象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)Q，當(dāng)△QAB的面積最大時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．23．是等邊三角形，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，在的左側(cè)作等邊三角形，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，線段與的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)當(dāng)，時，請求出的長．參考答案1．A解：A．該方程是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；B．該方程是二元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C．該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D．該方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．D解：將D選項(xiàng)中的圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°之后能夠與原圖形完全重合，所以這個圖形就是中心對稱圖形.故選：D．3．D解：旋轉(zhuǎn)角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故選D．4．B【詳解】由拋物線向右平移2個單位，得：；再向上平移2個單位，得：，所以A、C、D錯誤；故選B．5．D解：，，，，∴，，解得，∴．故選：D．6．A解：∵拋物線，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴對稱軸是直線，故D選項(xiàng)不符合題意；∵，∴函數(shù)的開口方向向下，故B選項(xiàng)不符合題意；則函數(shù)的最大值是3，故A選項(xiàng)符合題意；令，∴，則，解得∴函數(shù)與軸有兩個交點(diǎn)故C選項(xiàng)不符合題意；故選：A7．A解：設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月平均降價(jià)率是x，由題意得：，故選：A．8．B【詳解】∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝﹣，∴當(dāng)x＞時，y隨x的增大而減小，∵點(diǎn)A（﹣1，y1）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是，而，∴y3＜y1＜y2．故選：B．9．B解：選圖中第一象限的拋物線，由題意得，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為，∴，解得：，∴拋物線解析式為，當(dāng)時，，∴點(diǎn)，∴，故選：．10．D解：設(shè)，由題意可得：，，矩形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，∴6次一個循環(huán)，，第2025秒與起始位置夾角為，與x軸負(fù)半軸夾角為，與x軸正半軸夾角為，，解得，因?yàn)辄c(diǎn)D在第四象限，故，故選：D．11．解：∵二次函數(shù)的圖像開口向下，∴，，∴，故答案為：．12．2解：∵點(diǎn)M（3，a），N（b，﹣5）關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴b=-3，a=5，∴a+b=-3+5=2．故答案是：2．13．解：∵程的一個根是a，∴，∴，∴；故答案為：．14．解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)有：，，∵，，∴，∵，∴，即，∴，即，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，又，∴為等腰直角三角形，

∴，∴，∴，∴．故答案為：．15．或解：點(diǎn)為拋物線與直線的一個交點(diǎn)，，，解得，，拋物線解析式為，直線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為聯(lián)立方程組得，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)是將點(diǎn)向左平移3個單位長度所得，軸，又，的水平距離為，當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)時，與拋物線無公共點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上，不含點(diǎn)時，與拋物線有一個公共點(diǎn)，即，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時，只有與拋物線頂點(diǎn)相交時，即時，與拋物線有一個公共點(diǎn)，綜上所述得，的取值范圍是或．16．(1)，(2)，（1）解：，，則，即，，，．（2）解：，，則，或，解得，．17．(1)見解析(2)正整數(shù)或（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程．∴，∴方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）解：，，或∴或，∵方程的兩個根均為整數(shù)，∴是整數(shù)，∴或，則正整數(shù)或.18．(1)(2)見解析(3)當(dāng)x>1時，y隨x增大而減小(4)-3<y<1（1）解：設(shè)該函數(shù)的表達(dá)式為，將表格中數(shù)據(jù)代入得：，解得：，∴設(shè)該函數(shù)的表達(dá)式為，（2）如圖：（3）由（2）可知，該函數(shù)的對稱軸為：x=1，開口方向向下，∴當(dāng)x>1時，y隨x增大而減?。?）由圖可知：當(dāng)時，-3<y<1．19．(1)見解析(2)（1）如圖所示，即為所求；（2）解：連接∵中，∴∵繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，在中，由勾股定理得，20．(1)見解析(2)見解析(3)（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，即為所求；（3）解：如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)中心到兩對應(yīng)點(diǎn)的距離相等；旋轉(zhuǎn)中心在線段的中垂線上，即為圖中點(diǎn)P；由圖象可知，該點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．21．(1)①②米(2)平方米（1）解：①②，解得，．，的長為23米．（2）解：，養(yǎng)雞場的面積．，．當(dāng)時，養(yǎng)雞場面積可以達(dá)到最大值平方米．22．(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)當(dāng)m=時，S最大，此時Q（，）．（1）把點(diǎn)A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，得，解得，則拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；（2）連結(jié)AB，與對稱軸交于點(diǎn)P，此時PB+PC最?。趛=-x2+2x+3中，當(dāng)x=0時，y=3，則B（0，3）．設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，∵A（3，0），B（0，3），∴，∴，∴直線AB的解析式為y=-x+3，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴對稱軸是直線x=1．當(dāng)x=1時，y=-1+3=2，∴P（1，2）；（3）設(shè)Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面積為S，如圖，連接QA，QB，OQ．則S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB=×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3=-m2+m=-（m-）2+，∴當(dāng)m═時，S最大，此時Q（，）