4.6正弦定理、余弦定理

考試要求

1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.

2.理解三角形的面積公式并能應用.

3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.

■備知識回顧自主學習?衣礎回扣

教材回扣

I.正弦定理、余弦定理

在中，若角力，B,C所對的邊分別是a,b,c,/?為△44C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c?-2bccos彳；

ci_b_C_rn

內容=一=一=2R62=c2+42-2cacosB；

sinAsinBsinC

。2=/+力2—20bcosC

(\)a=2RsinJ,

b=2RsinB,

」2+/一。2

c=2RsinC；cosA一；

2bc

(2)sin4=&

+-力2

變形COSB=:

sinB=b,2ca

2Ra2-^-b2—c2

cosC=

sinC=C；lab

2R

(3)Q:b：c=sin力：sinB:sinC

2.三角形解的判斷

A為鈍角

項目A為銳角

或直角

CC出

圖形

AAB'、…&

月z￡BA'、、….，6AB

關

bsinA<

系a=bsinAa2ba>b

a<b

式

解的一解兩解一解一解

個數(shù)

3.三角形中常用的面積公式

(1)S=)兒(兒表示邊a上的高).

(2)S=~absinC=~acsinB—~bcsinA.

⑶S=，S+/)+c)。為三角形的內切圓半徑).

lET教材拓展

在△/4C中，常有以下結論：

(1)/+8+。=兀

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)。>力=4>4QsinJ>sinB,cosJ<cosB.

(4)sin(4+4)=sinC；cos(4+4)=-cosC；tan(4+8)=—tanC；sin'+'=cos,；cos

22

A+B.C

=sin.

22

(5)三角形中的射影定理

在△/BC中，a=bcosC+ccosB-,b=acosC+ccosA；c=hcosJ+tzcosB.

(6)三角形的面積S=a)(/?一力)(p-c)[2("+"+c))

基礎檢測

Q----

1.判斷(正確的畫“J”，錯誤的畫“X”)

(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角的余弦值之比.(X)

(2)在△48C中，若sin4>sin&則a>b.(J)

(3)在△48C的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.(X)

(4)當拄+c2一02>。時，△/8C為銳角三角形.(X)

2.(人教A版必修第二冊P48T2⑵改編)在△48。中，已知6=2,4=45。，。=75。，

則邊。=2+

解析：8=180。一45。-75。=60。，由正弦定理，得2=°，得c=2+‘

sin60°sin7503

3.(人教A版必修第二冊P44T2改編)在△N8C中，已知。=7,b=5,c=3,則角彳

=120。.

解析：因為cos/=A*+/—a?=-11所以4=120。.

2bc2

4.(人教A版必修第二冊P53T10改編)在△力4。中，若。=7,b=3,。=8,則418C

的面積等于63.

?12_|_O2_72J2

解析：因為cos4==lo,所以力為銳角，所以/=兀，sin%=J,所以△力

2X3X8232

117

的面積為%csi"=X3X8X'=63.

222

陜鍵能力提升互動探究?考點精講］

考點1利用正弦定理、余弦定理解三角形

命題角度1正弦定理

【例1】（1）（2024?全國甲卷）在△/14C中，內角力，B,。所對的邊分別為〃，5,

若8=冗，b2=^ac,則sin.4+sinC=（C）

34

C.7D,313

213

【解析】因為8=北，於=%,則由正弦定理得sin%sinC=4sin23=l.由余弦定理可

3493

得〃=/+/—qc=%c,即標+修=”。。，根據(jù)正弦定理得sin24+sin2c=l3siiMsin。二胎，

44412

所以（sin4+sinC）2=sin24+sin2C+2sinJsinC=7,因為彳，C為三角形的內角，所以sin4

4

7

+sin00,則sin4+sinC=.故選C.

2

（2）（多選）在△力8c中，內角力，B,。所對的邊分別為a,b,c,根據(jù)下列條件解三角

形，其中有兩解的是（BC）

A.6=10,4=45。，C=60°

B.b=15,c=4,8=60。

C.a=3,b=2,J=45°

D.Q=8,6=4,4=80°

【解析】因為6=10,4=45。，C=60°,所以3=75。，所以△45C只有一解，故A錯

3

.?4XJ,

誤；因為力=15,c=4,8=60。，所以由正弦定理得sin。=°1=2=3<1,因為

b155

b<c,即3<C,所以C60。，所以△/I8C有兩解（60。<。<90?；?0。<。<120。），故B正確；因

〃A-2X2

為a=3,b=2,4=45。，所以由正弦定理得°=,即sin4==2=,

sinAsinBa33

因為2<6<3,”b,所以有兩解（45。<8<60?；?20。<4<135。），故C正確：因為a

232

=8,h=4,J=80°,所以由正弦定理得sin8="sin"=4sin80<1,由于Xq,故8<80。，

a82

所以△月5c只有一解，故D錯誤.故選BC.

故bcosC+ccosB=CD+BD=BC=a,即a=bcosC+ccosB,

同理可證b=ccos力+acosC,c=acosB+bcosJ.

【典例】在△4BC中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足2/7cos8=qcos

C+ccosJ,則8的大小為（B）

【解析】因為2力cos4=acosC+ccos/,所以2/>cos8=/）,解得cos8=L又因為

2

4￡（（）,7t）,故.故選B.

命題角度2余弦定理

【例2】（1）已知△ZBC的內角力，B,。所對的邊分別為a,b,c,面積為S,且〃+

b~c2=4S,則角C=匹.

4

【解析】6c的面枳S=sinC,因為a?十〃一〃=4S,所以2a。cosC=4X?如sin

22

C,所以tanC=l,又C￡（0,兀），所以C=:.

（2）（2024?遼寧葫蘆島二模）在△48。中，8=45。，月8=2,M是8C的中點，4W=10,

則/C=52,cosZMAC=~

——25

【解析】如圖，在△48“中，B=45。，/1B=2,

AM=10,由余弦定理得4必=482+8”一2488Mcos乙48憶解得8M=4,則

=4,BC=8,AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSZABC,解得<C=52,故cosNM4C=

22

A^+AC-MC=10+50-16=n5

2AMAC2X10X5225

A

BMC

」規(guī)律總結

1.利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與

角；二是已知三邊求各個角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一

的.

2.在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理.

【對點訓練1】（1）（2024?湖南衡陽三模）在△/["?中，ABAC,ZABC,N/lG的對

邊分別為a，b,c,若b=c,。為力C的中點，bsinZBAC=2sinZABD,則B￡>=（A）

A.IB.2

C.3D.2

XAD

解析：由已知得力。=。。=AC=\b,在△49。中，由正弦定理得

22sinZ.BACsinNABD

h

bs,nZC

2，所以BD」sm,胡。，又〃sjnZBAC=2sinZABDt故BD=^=i.

sinZ.ABD2sinZ.ABD2sinNABD

故選A.

(2)(2024?江西贛州一模)在△45C中,AB=7,AC=2,C=120°,則sin4=(B)

721

A.B.

1414

C.57D.321

1414

解析：?:AB=7,AC=2,C=120°,ACcosC,A5C2+25C

-3=0,解得6C=1或8c=-3(舍去),

??._BCsinC_21切卡

..sinJ==.故選B.

AB14

考點2判斷三角形的形狀

【例3】(1)(2024?陜西渭南三模)己知△48。中，角4B,。所對的邊分別是。，b,

c,若bcosC+ccos8=6,且〃=ccos8,則△48C是(D)

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【解析】bcosC+ccosj5=Z)=>sinBcosC+sinCcosB=sinZ?=>sin(Z^+C)=sinB,即

sinJ=sinB,故a=b,a=ccos3=sin4=sinCcosBnsin(8+C)=sinCcosBnsinBcosC+

cosRsinC=sinCcos^=>sinRcosC=0,因為/?G(0.n),所以sin8W0,故cos。=0,因為

CG(0,7r),所以C=j故△/AC為等腰直角三角形.故選D.

(2)在△48。中，角4B,。所對的邊分別是。，h,c,a-ccosB=b-ccosA,則

△ABC為(D)

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

標+-吩扶+/―/T-

【解析】由“一ccos4=〃-ccos力，得cX=b—cX，化簡得

lac2bc

標+反—/+—

=,當標+〃一。2=0時，層+於=02,則△48c為直角三角形；當/+

ab

〃一°2工0時，d,則△n8。為等腰三角形.綜上，△48C為等腰或直角三角形.故選D.

」規(guī)律總結

判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.

（2）化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應

用力+8+。=兀這個結論.

【對點訓練2】（1）（2024?河南新鄉(xiāng)二模）在△48。中，內角4B,C的對邊分別為

a,b,c,且a=7,b=3,c=5,則（C）

A.△ABC為銳角三角形

B.△力BC為直角三角形

C.△48C為鈍角三角形

D.△4AC的形狀無法確定

解析：cosA=COJTD，"v0,所以力為鈍角，所以△可為鈍

2bc3030

角三角形.故選C.

（2）（2024?河北秦皇島三模）在。中，內角4B,C的對邊分別為。，4c,且8

=2C,b=2a,則（A）

A.△4九?為直角三角形

B.為銳角三角形

C.△48C為鈍角三角形

D.△48C的形狀無法確定

解析：由正弦定理得/,即.y=."「，所以cosC=j,所以C=：,則8

sinBsinCsin2CsinC24

=",所以△48。為直角三角形.故選A.

2

考點3三角形的面積問題

【例4】（2024?新課標I卷）記的內角力，B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinC=2cosB,a2-\~b2—c2=lab.

⑴求B；

（2）若A45△的面積為3+3,求c.

【解】（1）因為—2ab,所以cosC=/+〃—"=2ab=2,結合C為三角

lab2ab2

形的內角，可得C=:,所以sinC=2cos4=；,所以cos8=；,結合it）,得8='.

（2）由（1）可知力=兀-8—。=；；,設△力8c的外接圓半徑為R,由正弦定理得b=2&sin8

=3R,c=2RsinC=2R,由氏80=Ucsin4=3+3,得3R-2/?sin5n=3+3,即

2212

6K26+2=3+3,解得外=4,所以&=2（負值已舍去），所以。=2&=22.

24

」規(guī)律總結

三角形面積公式的應用原則

(1)對于面積公式S=ahsinC=acsinB=besinA,一般是已知哪一個角就利用哪一個

222

角及其兩條邊求面積.

(2)與面積有關的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化.

【對點訓練3】(2024?福建廈門一模)已知△48C的內角4B,C的對邊分別為。，

b,C,且42cos4+48cos4=2c.

⑴求。；

(2)若/=；,且△.4比?的周長為2+5,求△.48C的面積.

解：(1)由題設得a(acosB+bcosA)—2c,由正弦定理有a(sinAcos5+sinBcosJ)=2sin

所以asin(4+8)=2sinC,而力+8=兀-C,故asinC=2sinC,又sinCO,所以a=2.

力2-4-W—/—A1

(2)由(1)及己知，有cos4=。=仁T。'=-1,可得〃+/+A=4,又a+b

2bc2bc2

+c=2+5?即b~\~c=5,

所以(3+c)2—bc=5—6。=4,所以bc=l,故S/sc=sin4=3.

課時作業(yè)30(總分：100分)

，亞基礎鞏固.

1.(5分)(2024?北京東城區(qū)二模)在△力8c中，角4,B,C所對的邊分別為。，b,c,

<=兀，C=ln,b=2,貝ija=(D)

412

B.2

解析：由題意可得8=L4—C=［由正弦定理a=’可得a="sin'=2=?.

sinAsinB

故選D.

2.(5分)(2024?江西九江三模)在△力8C中，角4B,。所對的邊分別為。，b,c,

已知2c-a=2bcos4,則8=(B)

63

27t57t

36

解析：V2c—a=2bcosA>2sinC-sin/I=2sinBcosA,V/14-^4-C=7t?.\2sin

—2sinBcos4=sin4,/.2sinAcos8=sin4

VsinA>0,???cosA=l又8W(0,n),,?.4=兀.故選B.

23

3.（5分）（2024?四川成都二模）在中，8c=3,AC=5,C=2\則力吐

（D）

A.53B.51

C.45D.7

解析：在△川定中，由余弦定理得，AB2=AC1-\-BC^-IACBCCQSC=52+32-

2X5X3XI2j=49,所以44=7.故選D.

4.（5分）（2025?八省聯(lián)考）在。中，8c=8,4c=10,cosNBAC=3,貝也力8。

5

的面積為（C）

A.6B.8

C.24D.48

解析：設48=x,乂AC=8,4C=10,cosZBAC=\根據(jù)余弦定理力中

—2AC，ABcosNB/iC,得8?=1（戶+9-2XlOXxX；,即/一12x+36=（）,解得x=6.由于

^+/1^2=64+36=IO（）=JC2,故△力8c為直角三角形，則的面積S=lx6X8=24.

2

故選C.

5.（5分）（2024?山東泰安三模）在△N4C中，內角NB4C,NABC,N4C8所對的邊

""。，七酸一弋匕產延長叱至點◎使得公⑦若

AD=23,AB=2,則a=（C）

A.1B.3

C.2D.3

7y.bsinZ.ABC（c—a）sinZ.ACB

解1析：由-a=可得bsinZABC=asinZ5JC+（c—?）sin

sinABACsinZBAC

/ACB,由正弦定理得〃=標+（。一q）c,即a2-^c2_b2=aCt所以cosNZ8C=〃+"—"=℃

lac2ac

=L又因為0</48。<兀，所以N/8C=",

23

如圖所示，由題意知8。=20AD=23,AB=2,在△月8。中，由余弦定理得力》=4

+（%）2-2X2X2.Xcos兀=4+4標-4a=12,解得a=2或°=一1（舍去）.故選C.

3

6.（5分）（2024?浙江紹興三模）在△/IBC中，內角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.

若26cos（B+C）—acosC=ccos%,則力=（D）

nn

A.B.

64

C.nD.2n

33

解析：因為2/?cos（月+。-acosC=ccos力，所以2/?cos（兀一4）=acosC+ccos4,即

~2bcosA=acosC+ccosJ,acosC+ccos力=〃，所以一2力cos/i=/7,所以cos/1=一

又/￡（0,兀），所以?故選D.

7.（6分）（多選）已知△48C的內角4B,C的對邊分別為小b,c,則下列說法正確

的是（ABD）

A.若a=2h,8=3（）。，則△力8c有一個解

B.若〃=2b,8=30。，則△48。有兩個解

C.sin2/4=sin2Bf則△力4c為等腰三角形

D.若sin/vcosC,則△/4c為鈍角三角形

解析：由正弦定理得sin玄=理半8=1,因為300Vs<150。,因此4=90。，有唯一解，故

A正確；由正弦定理得sin4=2sinB=2,因為30。</<150。，所以4=45。或4=135。，有

2

兩解，故B正確；因為0。<4<180。，0°<5<180°,sin2/1=sin28,所以24=28或24+28=

180。，即4=8或4+8=90。，因此△ZBC為等腰或直角三角形，故C錯誤；當4為鈍角時，

△力8c為鈍角三角形，當.4為直角時，不滿足條件，當為為銳角時，sin^=cos（90°-/4）<cos

C,因此90。-4>。，J+C<90°,因此△ABC為鈍角三角形，故D正確.故選ABD.

8.（6分）（多選）（2024?廣西桂林三模）在。中，sin。=LBC=1,AC=5,則

22

（ABD）

萬

AA.cosC=1

2

B.AB=21

C.△48c的面積為5

2

D.外接圓的直徑是27

r111

解析：cosC=l-2sin?=1—故A正確；由A知cosC=,由余弦定理得力展

2422

=5C2+JC2-25C-^CCOSC=1+25-2X5X1=21,故/8=21,故B正確；由于在△力8C

2

111

中，C￡（0,兀），故sin>0,所以sinC=1—cos2C=1—4=2，所以義"8csinC

=lxiX5X3=53,故c錯誤;設△相（;外接圓半徑為R,則由正弦定理得球=:

224sinC

2

=27,故D正確.故選ABD.

9.（5分）（2024?北京昌平區(qū)二模）己知△月^。中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,

37

c,a=4,b=2c,cosA=—,則S.MSC=

42

/>2—|-p2zl/*^—1A1

解析：cos4===—，解得c=2,所以8=2c=22,又因為cos

2bc4e24

17ii77

A=一,所以sin4=1—cos274=,所以5八/穴=Z>csinJ=X22X2X=.

442242

10.（6分）（2024?北京西城區(qū)三模）在A/IA。中，角4B,C所對的邊分別為小b,c,

若c=2,a=3,A=n,fflsinC=b=3±2.

63

解析：由正弦定理,有,所以sinC=3,由余弦定理/=〃+

sinJsmCsin71sinC3

6

c2-2bccosA,有（3）2=b2-\~22-2X2bcos",解得6=3±2.

6

II.（16分）（2024?天津紅橋區(qū)二模）在△/18C中，內角力,B,C的對邊分別為a,b,

c,已知a=6,cos4=；,且〃sin/=3csin4.

（1）求c；

Q）求b；

（3）求cos囚+方的值.

解：（1）因為bsin/=3csin8,所以ab=3cb,所以q=3c,又〃=6,所以c=2.

（2）因為/>2=a2+c2-2"cos8,即/?2=62+22-2X6X2X^=32,

所以力=42（負值已舍去）.

77

（3）因為cos8=3,8￡（（）,兀），所以sin4=1—co$25=,所以sin28=2sin4cos6

,cos25=2cos28—1=2x（3）—1=一乙所以cosl

七『224+花71

,6j=cos2Bcos

96

J_7x3_421_73+42

sinIBsinX=

6929218

12.(16分)(2024?北京卷)在△45。中，內角4,B,。的對邊分別為a,b,c,ZJ

3

為鈍角，a=7,sin2B=bcosB.

7

(1)求4；

(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△48。存在，求

△48C的面積.

條件①：b=7；

條件②：…弋；

條件③：csin4=53.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解

答，按第一個解答計分.

解：⑴由題意得2sin8cos8=因為力為鈍角，

貝iJcosAWO,則2sin8=%,則,解得sin/=乙

7sinBsinAsinA2

7

因為力為鈍角，則

(2)若選①，結合⑴得sin8="=：X7=±因為力=?，則8為銳角，則8=：,

1414233

此時4+8=兀，不合題意，故不選擇條件①.

若選②，因為4為三常形的內角，則

p3h

sinB=1—I14J=,

14

331

代入2sin6-b,得2K?-b,解得力-3,因為sinC—sin(月+4)一sin

714

-

2兀oi2n.n3^,13.I1^3353

sincos8+cossin8=X+12JX=,

332141414

則S"c=〃sinC=lx7X3x53=153.

22144

若選③，由csin/=5,得cX3=53,解得c=5,

222

則由正弦定理得1,C,甲I一,5,解得sin0-$

smAsmCJsinC14

2

因為C為三角形的內角，則cosC=1—[14]=[,則sin8=sin(/l+C)=sin[3+c)

14

=sin2ncosC+cos2jCsinC=3X114-[-2jx53=33,MS^BC=sin5=1X7X5X33

3321414142214

=153

4,