浙江省衢州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月期末教學(xué)質(zhì)量檢

測(cè)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={-1,。,1}1=30。＜3},則人n8=（）

A.{0}B.{（）,1}C.{（）,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

2.己知點(diǎn)6為\^48。的重心（VA8C三條中線的交點(diǎn)），記/^=乙4。=白，則而=（）

cI-1rD.4+攵

A.-a+-bB.-a+—bC.-a^-b

22333333

“人+0”是“（g41”的（）

3.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

4.下列各單峰的頻率分布直方圖中,哪個(gè)圖的平均數(shù)明顯小于中位數(shù)（）

5.己知戶是兩個(gè)不同的平面，機(jī)，〃是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（）

A.若tnl.a,n//a,則mInB.若a_L/A〃?ua,〃u/?,則〃?_L〃

C.若m〃&nua,則m//aD.若〃?ua,〃ua、mH。、n//p,則allp

6.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，并記錄每次骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)，記事件A為“第一

次朝上的面的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，事件區(qū)為“兩次朝上的面的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，則P（AU3）=（）

11

ABc/D.——

-I-I12

7.在VANC中，A6=2,C=45。，QA_L平面A6C,且幺=2,則二棱錐〃一A8c’外接球的

表面積為()

A.2兀B.467rC.\2nD.36n

8.己知實(shí)數(shù)x>O,x>y,則以--2的最小值為()

x-yx

A.6-2B.2x/2-3C.0D.2-2夜

二、多選題

9.己知向量;二(l」),1=(8se,sine),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若不工則tan8=-lB.若d〃6,則e=H+

4

C.小5的最大值為2D.若吁,則/；在不上的投影向量為

fV242]

XZ

10.下列說(shuō)法正確的是()

A.數(shù)據(jù)2,3,4,5,6,7,8,9的第75百分位數(shù)為7

B.若一組樣本數(shù)據(jù)3,。，7,5,4,8的極差為5,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為[3,8]

C.斗,“2，0々和如乃,%乂的方差分別為S；和S；,若y=2七-3(i=l,2,3,4),則

S；=45；

D.在對(duì)高一某班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查中，抽取男生10人，其平均數(shù)為105,方差為24,

抽取女生5人，其平均數(shù)為102,方差為21,則這15名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為25

11.已知函數(shù)/(力和g("的定義域均為R,若,f(x+l)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù),且

f(x)-g(x-2)=2-xf則下列各式正確的是()

A.g⑴=-1B.^(-1)=1C./(3)=-2D./(g(-l))=2

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)2=個(gè)(i為虛數(shù)單位)，則|z|=.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

-X-LXXu

13.已知函數(shù)/(%)=《’/',若函數(shù)g(x)=/("-米-1恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的

J(內(nèi)一，卜"NU

取值范圍是.

14.在長(zhǎng)方體ABC。-A4GA中，A3=1,4C=84=2,E尸分別是C￡，GR的中點(diǎn).，記

平面AM截長(zhǎng)方體所得兩個(gè)兒何體的體積分別為匕、匕化工匕)，貝ljJ=.

四、解答題

15.已知V/WC的內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為a.>c,且力sinC-GcsingnO.

⑴求角8：

(2)若力=J7,e=3a,求VA5c的面積.

16.已知函數(shù)/(x)=loga(3-x)+loga(x+1).

(1)當(dāng)Ovavl時(shí)，求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若/(力22在工￡0,|上恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

17.某次競(jìng)賽共有20道題，甲、乙、丙三位同學(xué)分別能答對(duì)其中的12道題，8道題和〃道

題.假設(shè)每道題被抽中的可能性相等，現(xiàn)從中任選一題，由三位同學(xué)獨(dú)立作答.

(I)求甲、乙兩位同學(xué)中恰有一人答對(duì)的概率；

⑵若甲、乙、丙三位同學(xué)中至少有一人答對(duì)的概率為堇，求〃的值.

Jr

18.如圖，在四棱錐P-ABS中，PB=PD,底面A8co是邊長(zhǎng)為舊的菱形，NBAD=§.

⑵若尸。J_A3,且PC與底面ABC。所成角的余弦值為孚.

(i)求小的長(zhǎng)；

taxiULM1

(ii)點(diǎn)。滿足PC=4PQ,求二面角。一48-。的正切值.

《浙江省衢州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)1234567891()

答案BBADACCBABBCD

題號(hào)11

答案ACD

1.B

【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)锳={-1,0,1},B={x\O<x<3}f

所以人口4={0」}.

故選：B.

2.B

【分析】利用向量的中線公式、重心的性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算，即可求解.

【詳解】取BC的中點(diǎn)為。，連接A。，如下圖所示：

因?yàn)镚是VA8C的重心，所以AC=￡A￡i=；x；（A豆+4。）=；（々+4.

故選:B.

3.A

【分析】本題可先求解不等式再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=（g）r在R上單調(diào)遞減，

所以由（；）Yl=g）°,可得工20,

若4>0,那么一定有4"）,所以能推出（；尸小，充分性成立，

若（g）”l,即X2O,不一定能推出x>0,必要性不成立，

所以“x>0”是“（；）'<1"的充分不必要條件.

故選：A

4.D

【分析】在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，平均數(shù)一般用每組數(shù)據(jù)的中

答案第1頁(yè)，共11頁(yè)

點(diǎn)值乘以頻率再求和來(lái)計(jì)算，再對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)的圖形分析，即可求解.

【詳解】對(duì)于A和B,根據(jù)頻率分布直方圖關(guān)于中線對(duì)稱，所以平均數(shù)等于中位數(shù)，故A

和B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,根據(jù)頻率分布直方圖右拖尾，易得平均數(shù)大于中位數(shù)，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,根據(jù)頻率分布直方圖左拖尾，易得平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.

故選：D.

5.A

【分析】可根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定定理逐一分析選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,若mJLa,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知/〃_!_〃，該選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,若al。，niua,nu。，則機(jī)與〃可能平行、相交或異面，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,若〃?//〃，nua,則〃?//=或〃?ua,該選項(xiàng)C錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)D,若〃?ua,〃ua,m/l/3t〃//￡,當(dāng)初〃〃時(shí).a與￡可能相交.

根據(jù)面面平行的判定定理，需，〃與〃相交時(shí)才有尸，該選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：A

6.C

【分析】本題可先確定基本事件總數(shù)，再分別求出事件A、事件8、事件AC4包含的基本

事件數(shù)，最后根據(jù)概率的加法公式尸（AD8）=P（A）+P（8）-P（AC8）計(jì)算即可.

【詳解】連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，則基本事件總數(shù)〃=6x6=36.

骰子的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6,其中質(zhì)數(shù)有2,3,5,

事件A”第一次朝上的面的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”包含的基本事件數(shù)%=3x6=18（第一次有3種質(zhì)數(shù)

情況，第二次有6種情況），則外力=吆=理

n362

兩次朝上的面的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，則一次為奇數(shù)，一次為偶數(shù).

第次為奇數(shù)，笫二次為偶數(shù)時(shí)，有3x3=9種情況；

第一次為偶數(shù)，第二次為奇數(shù)時(shí)，有3x3=9種情況.

所以事件8包含的基本事件數(shù)%=9+9=18,則2（8）=如二段:.

n362

事件表示“第一次朝上的面的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)且兩次朝上的面的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”.

當(dāng)?shù)谝淮螢?,第二次需為奇數(shù)，有3種情況；

當(dāng)?shù)谝淮螢?或5,第二次需為偶數(shù)，各有3種情況，共3+3x2=9種情況.

答案第2頁(yè)，共11頁(yè)

□

所以P（Ac8）=x=a

根據(jù)概率力口法公式P（A=B）=尸（4）+尸（8）—尸（Ac8）=51+15-1a=3；

故選：C

7.C

【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算可得V"。外接圓的半徑，進(jìn)而可得三棱錐外接球的半徑，再根

據(jù)球的表面積公式計(jì)算即可.

【詳解】由已知得，作下圖，設(shè)VA8C外接圓的半徑為「，

已知A3=2,C=45,sinC=sin45=—.

2

2AB_2涇

根據(jù)正弦定理可得sinC也，解得，"夜.

T

因?yàn)槭珹_L平面ABC,所以二棱錐，一A〃C外接球的球心至IJ平面ABC的距離c/=^PA=\,

所以外接球半徑蟲(chóng)=芯②=衍=6

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4nx（6）2=4兀x3=12冗.

【分析】將原式變形為用--上=2+0-3,利用基本不等式求解.

x-yxx-yx

【詳解】?.?%＞（）,工＞?',則x-y＞o,

.上一上二2,一2（.?），）一=二）=二+0-3之2&—3,

x-yxx-yxx-yx

2xr-v

當(dāng)且僅當(dāng)‘一=—時(shí)，等號(hào)成立，

x-yx

所以且--2的最小值為2&-3.

x-yx

故選：B.

答案第3頁(yè)，共11頁(yè)

9.AB

【分析】對(duì)于A利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可判斷，對(duì)于B利用共

線向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷，對(duì)于C利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換即可判斷，對(duì)

于D利用投影向量的定義即可計(jì)算，進(jìn)而判斷.

【詳解】對(duì)于A：-Lbf所以=cos0+sin0=O=sin0=-cos0=tan0=-l，故A

正確；

對(duì)于B：若所以cosO=sine=>tan〃=l=>e=￥+E,ZeZ,故B正確：

4

對(duì)于C：由4/=cos0+sine=&sin(0+；),所以那5的最大值為血，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若6=]"=(0,l),所以方在。上的投影向量為時(shí)?間=詞》=5(1，1)=(5，訃

故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.BCD

【分析】對(duì)于A求出第75百分位數(shù)即可判斷，對(duì)于B根據(jù)極差的定義即可判斷，對(duì)于C

根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷，對(duì)于D計(jì)算分成抽樣的方差即可判斷.

74-R

【詳解】對(duì)于A：由8x75%=6,所以第75百分位數(shù)為g=7.5,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若一組樣本數(shù)據(jù)3,〃，7,5,4,8的極差為5,所以故B正確；

對(duì)于C：若)，j=2Xj-3(i=l,2,3,4),即S；=4S；,故C正確;

對(duì)于D：由已知有這15名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為元=去105+今102=104,

所以這15名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為/=*[24+(105-104)[+?[21+(102-104)[=25,

故D正確.

故選：BCD.

11.ACD

【分析】由題意得“l(fā)—x)+/(l+x)=0,又“—)=2r得

==進(jìn)而得g(x-l)+g(_x_l)=_2,通過(guò)賦

值即可求解.

【詳解】山題意有〃l—x)+/(l+x)=O,g(r)=g(x),又〃x)_g(x_2)=2_x,

答案第4頁(yè)，共11頁(yè)

所以/(l+X)-g(X-l)=l-X,/(l-X)-g(T-I)=l+X,

所以g(x-l)+g(_l)=_2,又g(_x)=g(x)得g(l)+g(x+l)=_2,

令x=。得g(—l)+g(l)=-2ng(-l)=g(l)=-l,故A正確，B錯(cuò)誤;

由/(x)_g(x_2)=2_x,令工=3有/(3)=g(l)—l=_2,故C正確;

g-g(x+l)=_2,令％=2得g(l)+g(3)=-2=g(3)=T,

X/(A)-5(A--2)=2-A-,令x=—l得〃-1)=8(-3)+3=屋3)+3=2,

所以/(g(T))=/(—l)=2,故D正確.

故選：ACD.

12,正

2

【分析】將復(fù)數(shù)z化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求解.

【詳解】z=—=^?i=—=-i-i,

2i2i2-22

所以IW=J（_；）2+（T）2=日

故答案為：亞

2

13.

【分析】分析函數(shù)“X）的圖象，再將g（x）=〃x）-依-1恰有3個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為了（X）與

），=辰+1的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而求解k的取值范圍.

【詳解】當(dāng)xvO時(shí)，/(A)=-X2-ZV=-(X+1)2+1,

當(dāng)xNO時(shí),/(x)=/(x-2),

當(dāng)xe[0,2)時(shí)，j(x)=/(X-2)=—(x—2)~—2(x—2)=—x~+2.x；

當(dāng)xw[2,4)時(shí)，=f(x—2)=—(x—4)~—2(x—4)=—廠+6x—8,

直線y=G+l恒過(guò)點(diǎn)P(O,l),與/(可的圖象在不同區(qū)間的位置關(guān)系情況如圖所示:

當(dāng)直線過(guò)A(2,0)時(shí)，0=2%+1,%=—g；

當(dāng)直線過(guò)8(4,0)時(shí)，O=4A+1,k=一；.

答案第5頁(yè)，共11頁(yè)

結(jié)合圖象，當(dāng)—gv&v-；時(shí)，/（X）與）'=丘+1恰有3個(gè)交點(diǎn).

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍是卜;.

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)AEF的截面下方幾何體轉(zhuǎn)化為一個(gè)大的三楂錐，減去兩個(gè)小的

三棱錐，上方部分，用總為正方體的體積減去下方的部分體積即可.

【詳解】作宜線E尸，分別交。。，。。于M，N兩點(diǎn)，連接AMAN分別交6cA。于〃,G兩

點(diǎn)，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)AE戶的截面即為五邊形,

在長(zhǎng)方體ABC。-AMG。中，AB=1,BC=BB】=2,

因?yàn)辄c(diǎn)E,尸分別是CG，GA的中點(diǎn)

CECM,D.ND.F,|

所以用=不‘表=才'所以C/=AF=MA=5，G￡=RN=AE=I,

e二CMCHID.ND.G1

因?yàn)?---=——=^=—^=-,

MDAD3DNAD3

所以c”=；2，AG=§2

則過(guò)點(diǎn)4EF的截面下方體積為:

sI1c3c11,12c25

V.=-x—x3x—x2--x—xlx—x—x2=——

1322322318

25

???另一部分體積為％=2x2x1—弓47

Io18

答案第6頁(yè)，共11頁(yè)

25

AV；：K=—

'-47

25

故答案為：-

15.（1）5=|

⑵班

4

【分析】（1〉根據(jù)題意，由正弦定理和正弦的二倍角公式可得解;

(2)由余弦定理可得〃=1,。、=3,再由三角形面積公式即可求得答案.

【詳解】⑴由正弦定理及條件可得，sinfisinC-V3sinCsin-^=0,又sinCwO,

2

RRRR

sinB=>/3sin—,/.2sin--cos—=\/3sin—,又8e(0,7t),

2222

??.sin與>0,??.cos0=造，所以B=g.

2223

(2)由余弦定理可得〃="+H_2w;?cos4=a2+9a2-2a-3a-^=la2,

:.b-VT67,4=1,c=3,

故S.ABC二;"sin8=；xlx3x

~2~^~

16.(1)(1,3)

【分析】（1）結(jié)合對(duì)■數(shù)的運(yùn)算法則求出函數(shù)的定義域，利用及合函數(shù)的單調(diào)性即可求解；

（2）結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最值，結(jié)合恒成立問(wèn)題即

可求解.

3-x>0/、/、

【詳解】（1）由工+]>0,得一l<x<3,所以/（X）的定義域?yàn)椋═3）,

2

/(行=log”(3-x)(x+I)=logfl(-x+2x+3),

令r=-/+2x+3,則/在(Tl)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減,

又0va<l,y=1ogj為減函數(shù)，

所以“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1,3）.

答案第7頁(yè)，共11頁(yè)

(2)由題意得當(dāng)xe0,|,/(x)min>2,

當(dāng)0<。<1時(shí)，由(1)得/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，|)上單調(diào)遞增,

所以/(Hmm=/⑴=log”4<0,不符合題意，

當(dāng)時(shí)，y=log/為增函數(shù),

所以〃力在(T1)上單調(diào)遞增，在(L3)上單調(diào)遞減,

所以〃工)在(。,1)上單調(diào)遞增，在(C)上單調(diào)遞減,

(3、15

因?yàn)椤?)=1%3</不=log

所以f(4n=f(°)=log“3N2,

即a*3,解得1<心百，綜上所述，百.

17.⑴》

25

⑵〃=15

【分析】(1)根據(jù)古典概型以及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可求解；

(2)根據(jù)對(duì)立事件的相關(guān)知識(shí)即可求解.

【詳解】(1)記事件A="任選一道題，甲答對(duì)”，

事件4="任選一道題，乙答對(duì)“，

事件C="任選一道題，丙答對(duì)“，

記事件E="任選一道題，甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)“，

則P(A)《,P⑻=*/?=白

JJ

P(E)=P(4?+7?)=P(A)(I-P(B))+(I-P(A))P(^)=-XI--+I--x-=—

5i5j5,525

(2)記事件尸="甲、乙、丙三位同學(xué)至少有人答對(duì)“，

則尸⑻*尸(癥)=邛-觸用｛1端卜茅

所以〃=15.

18.(1)證明見(jiàn)解析

(2)(i)PA=C；(ii)!

【分析】(1)利用菱形性質(zhì)得8。_LAC,結(jié)合/有=P。及等腰三角形三線合一得8。_L尸O,

答案第8頁(yè)，共11頁(yè)

再依據(jù)線面垂直判定定理，即可證得結(jié)果.

(2)(i)取AA中點(diǎn)E,設(shè)AOIDE=G,可證得PG_L平面則NPCG即為直線PC

與平面ABC。所成的角，根據(jù)已知計(jì)算即可得出以的長(zhǎng)：

(ii)由(i)可知/PEG為二面角尸—A3—C的平面角，作O”_LA8于〃，可得NQHO為

二面角Q—A3—C的平面羽，設(shè)二面角P—A3-Q的大小為。，則

tanZ?=tan(/PEG-NQHO)計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：連接80,交AC于點(diǎn)。.

因?yàn)镻B=PD,所以8O_LPO,

因?yàn)樗倪呅?WCO是菱形，所以“力_LAC,

又20口人。=0,所以AOJ.平面PAC.

(2)(i)取AB中點(diǎn)E,連接DE,PE,

因?yàn)镹B4O=W，A4=A。，所以△A4￡>為正三角形，所以

因?yàn)镻￡>_LA氏DEIPD=D,所以/W_L平面PQE，

所以所以E4=P9=/7),

設(shè)AOIDE=G,連接尸G,則PG_L平面ABC。，且NPCG即為直線0C與平面A8CQ所成

的角.

所以cosNPCG=L,所以tanZ.PCG———=—?,

5CG2

因?yàn)?B=G，所以AO=1,OG=；,AG=\,

z-

所以CG=2,所以PG=1,所以PA=&.

(ii)由(i)可知/PEG為二面角P-A3-。的平面角，

且tanZPEG=—=2,

EG

連接OQ,因?yàn)橛錍Q=而CO=§1，所以O(shè)Q〃PG,所以O(shè)Q_L平面人ACD.

作O”_LA8于”，連接0”,則NQ〃O為二面角Q—A3—C的平面角，

且0"=那13=；,0。=3產(chǎn)=13,

所以lan/QHO=^=l,所以NQ，O==,

OH4

設(shè)二面角尸一加Q的大小為0,則tan0=tan(ZPEG-M.

答案第9頁(yè)，共II頁(yè)

1

2m

【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；

（2）設(shè)4=（）,由可知計(jì)算可得Zz=6,Z3=3+4i,得出三角形三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用等面枳

法計(jì)算即可求得內(nèi)切圓半徑；

（3）設(shè)/（"=—1+三+=、+…+/一，可確定“可在每一段區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，可確

X-IX-2X-3x-〃

定直線y="?與曲線）、=/（》）的交點(diǎn)區(qū)間，可知不等式的解集為

（1，M）D（2，W）U（3,&）U…，結(jié)合韋達(dá)定理可求得所有區(qū)間長(zhǎng)度之和.

2

【詳解】（I）X^-6X+1IX-6=（X-1）（X-X2）（X-X3）

利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：I十勺十%二6,勺53=6,解得巧=2,%=3.

（2）根據(jù)三次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，卬Z2-3為d-（9+4i）V+（18+24i）x=0的三個(gè)

根，首先必定有一個(gè)為0，

不妨設(shè)4=0,則Z2「3為/一（9+4。1+（18+2的）=0的兩個(gè)根，

分解因式得（x—6）（x