■2.1圖形的軸對(duì)稱(chēng)

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【知識(shí)點(diǎn)1】軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)..............................................................1

【知識(shí)點(diǎn)2】鏡面對(duì)稱(chēng)...................................................................1

【知識(shí)點(diǎn)3】生活中的軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象.......................................................2

【知識(shí)點(diǎn)4】軸對(duì)稱(chēng)圖形................................................................2

【題型1】利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求邊長(zhǎng)或角.................................................2

【題型2】判斷是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形.......................................................5

【題型3】圖形的翻折...................................................................7

【題型4】利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路徑....................................................10

【題型5】確定圖形的對(duì)稱(chēng)軸...........................................................12

【題型6］根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)畫(huà)軸對(duì)稱(chēng)圖形或成軸對(duì)稱(chēng)的圖形...........................15

電知識(shí)講解/

【知識(shí)點(diǎn)1】軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到一下結(jié)論：

①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)；

②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，

就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸.

(2)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

【知識(shí)點(diǎn)2】鏡面對(duì)稱(chēng)

1、鏡面對(duì)稱(chēng)：

有時(shí)我們把軸對(duì)稱(chēng)也稱(chēng)為鏡面(鏡子、鏡像)對(duì)稱(chēng)，如果沿著圖形的對(duì)稱(chēng)軸上放一面鏡子，

那么在鏡子里所放映出來(lái)的一半正好把圖補(bǔ)成完整的(和原來(lái)的圖形一樣).

2、鏡面實(shí)質(zhì)上是無(wú)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即鏡

面上有每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)軸.

3、關(guān)于鏡面問(wèn)題動(dòng)手實(shí)驗(yàn)是最好的辦法，如手頭沒(méi)有錢(qián)而，可以寫(xiě)在透明紙上，從反面看到

的結(jié)果就是鏡面反射的結(jié)果.

【知識(shí)點(diǎn)3】生活中的軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象

(1)軸對(duì)稱(chēng)的概念：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就

說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，也稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)：這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸.

(2)軸對(duì)稱(chēng)包含兩層含義：

①有兩個(gè)圖形，且這兩個(gè)圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同：

②對(duì)重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對(duì)折后能夠重合.

【知識(shí)點(diǎn)4］軸對(duì)稱(chēng)圖形

(1)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：

如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，

這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱(chēng).

(2)軸對(duì)稱(chēng)圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩

部分沿著對(duì)稱(chēng)軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸可以是一條，也可以是多條甚至無(wú)

數(shù)條.

(3)常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

@題型專(zhuān)練/

【題型1】利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求邊長(zhǎng)或角

【典型例題】如圖，Z\ABC與aA'B'C'關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)，則NB的度數(shù)為()

A.100°B.90°C.50°D.30°

【答案】A

【解析】:△ABC與AA'B'C’關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)，ZC=30°,ZA=50°,

???NC=NC'=30°.

ZB=180°-ZA-ZC=180°-50°-30°=100°.

故選：A.

【舉一反三1】如圖，ZkABC與AA'B'C'關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)，ZA=45°,NB'=110°,則

NC度數(shù)為（）

AAf

【答案】C

【解析】:△ABC和4A，B'5關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)，NB，=110°,

/.ZB=ZB,=110°,

又?.?2人=45”,

AZC=180°-ZA-ZB=180°-45°-110°=25°,

故選：C.

【舉一反三2】如圖，ZiABC和AA'B'C'關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng).若NA=45°,NC'=30°,

則NB的度數(shù)為.

【答案】105°

【解析】:△ABC和AA'B'C'關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)，ZA=45°,NC'=30°,

.,.△ABC^AA,B'C/,

??.NC=NC'=30°,

.\ZB=180o-ZA-ZC=180°-45°-30°=105°.

故答案為：105°.

【舉一反三3】如圖，在NA0B的內(nèi)部有一點(diǎn)P,點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于0A,0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),

MN分別交0A.0B于C,D點(diǎn)，若4PCD的周長(zhǎng)為30cm,則線段MN的長(zhǎng)為cm.

.\PF=FN,

MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周長(zhǎng),

VAPEF的周長(zhǎng)為20,

/.MN=20cm.

【題型2】判斷是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形

【典型例題】圍棋起源于中國(guó)，古代稱(chēng)之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白

棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

【答案】D

【解析】A,B,C選項(xiàng)中的惕案都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

D選項(xiàng)中的圖案能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

故選：D.

【舉一反三1】2024年金華“5?18國(guó)際博物館日”系列活動(dòng)開(kāi)幕式在金華市博物館舉力、,

下面四幅圖是我市一些博物館的標(biāo)志，其中不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

B蔗C.MD前

武義博御館"1,7:

.m.wuv,

【答S案】A

【解析】A、圖片不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；

B、圖片是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

C、圖片是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

D、圖片是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

故選：A.

【舉一反三2】下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】A.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意:

B.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

C.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

D.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

【舉一反三3】圍棋起源于中國(guó)，古代稱(chēng)之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑

白棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

【解析】A,B,C選項(xiàng)中的圖案都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形;

D選項(xiàng)中的因案能找到這樣的一條直線，使因形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形;

故選：D.

【舉一反三4】下列幾何圖形中：（1）平行四邊形；（2）線段；（3）角；（4）圓；（5）

正方形；（6）任意三角膨.其中一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有

【答案】(2)(3)(4)(5)

【解析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念可知：（2）線段，（3）角，（4）圓，（5）正方形，一定

是軸對(duì)稱(chēng)圖形;

（1）平行四邊形和（6）任意三角形不一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形.

故一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有（2）（3）（4）（5）.

故答案為：（2）（3）（4）（5）.

【舉一反三5】“葫蘆娃，葫蘆娃，一根藤上七朵花.…”看過(guò)《葫蘆兄弟》的同學(xué)一定會(huì)

唱.下圖是葫蘆娃從葫蘆中出世的情景，圖中的葫蘆娃是圖形.

【答案】軸對(duì)稱(chēng)

【解析】由軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念可知，

圖中的葫蘆娃為軸對(duì)稱(chēng)圖形.

故答案為：軸對(duì)稱(chēng).

【舉一反三6】下列幾何圖形中：(1)平行四邊形；(2)線段；(3)角；(4)圓；(5)

正方形；(6)任意三色形.其中一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有.

【答案】⑵(3)(4)(5)

【解析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念可知：(2)線段，(3)角，(4)圓，(5)正方形，一定

是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

(1)平行四邊形和(6)任意三角形不一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形.

故一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有(2)(3)(4)(5).

故答案為：(2)(3)(4)(5).

【題型3】圖形的翻折

【典型例題】如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC

上，將4ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合，若NA=55°,則N1+N2=()

【答案】B

【解析】VZA=55°,

AZADE+ZAED=180°-55°=125°,

「△ABC沿著DE折疊壓平，A與A，重合，

AZA7DE=ZADE,NA'ED=ZAED,

.-.Z1+Z2=180°-（ZAzED+NAED）+180°-（NA'DE+ZADE）=360°-2X125°=110°.

故選：B.

【舉一反三1】在△ABC中，將NB,NC按如圖方式折疊，點(diǎn)B,C均落在邊BC上的點(diǎn)G處，

線段MN,EF為折痕.若NA=80°.則NMGE的度數(shù)為（）

A.50°B.90°C.40°D.80°

【答案】D

【解析】???線段MN、EF為折痕，

.\ZB=ZMGB,ZC=ZEGC,

VZA=80°,

.\ZB+ZC=180°-80°=100°,

AZMGB+ZEGC=ZB+ZC=100°,

ZMGE=180°-100°=80°,

故選:D.

【舉一反三2】小明想玩一個(gè)折紙游戲，分以下三步進(jìn)行：第一步，將長(zhǎng)方形紙條ABCD向上

翻折，記點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C‘、Dz,折痕為EF,且C'E交AD于點(diǎn)G（如圖1）;第

二步，將四邊形GFD'C，沿GF向下翻折，記C'、D'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C〃、D〃：如圖2）；

第三步，將長(zhǎng)方形ABCD向下翻折，記A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、B’,折痕為HM（如圖3）.

（1）若NCEF=20°,則NEFD〃=度；

（2）若NCFF=17°,則當(dāng)A'H〃C〃G時(shí)，NEMB'=度.

【答案】（1）120：（2）34

【解析】（1）由翻折可知，

NC'EF=ZCEF=20°.

又D'F〃C'E,

???NC’EF+ND'FE=180°.

AZDzFE=160°.

又AD〃BC,

???NAFE=NFEC=20°,

??.NGFD'=160°-20°=140°.

又由第二次翻折，

得NGFD''=NGFD'=140°.

???NEFD'=140°-20°=120°.

故答案為：120.

(2)過(guò)程同第(1)題，可求得NGFD'=146°.

又GC'〃FD',

，NGFD'+NC'GF=180°.

???NC'GF=34°.

又A'H〃C''G,AG/7BE.

???NGHA'=NC‘GF=34°.

同理NEMB'=NGHA'=34°.

故答案為：34.

【舉一反三3】樂(lè)樂(lè)同學(xué)有張長(zhǎng)方形紙片折紙飛機(jī)，折疊過(guò)程如國(guó)所示，最后折成的紙飛機(jī)

如圖所示，則NA0B的度數(shù)為°.

【答案】45°

【解析】由折疊可知：ZNMC=90°,

對(duì)折后，得到NDEF=45°,

1

繼續(xù)折疊后，得至4(BOH=Z.AOH=LDEG=5乙DEF=22.5。，

ZA0B=22.5°+22.5°=45°,

故答案為：45.

【舉一反三4】如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張/ABC紙片，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC

上，將NABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合.

(1)若NA=75°,則N1+N2=;

(2)若NA=n°,則N1+N2=;

(3)由(1)(2)探索NA與N1+N2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

AZAED=ZA,ED,NADE=NA'DE,NA=NA'=75°,

???NAED+NADE=NA'ED+NA'DE=180°-75°=105°,

Z1+Z2=360°-2X105°=150°.

故答案為：150°;

(2)VAA7DE是ZXABC翻折變換而成，

???NAED=NA'ED,NADE=NA'DE,NA=NA'=n°,

???NAED+NADE=NA'ED+NA'DE=180°-n°,

AZ1+Z2=360°-2(180°-n°)=2n°,

Z1+Z2=2n°：

故答案為：2n°：

(3)由(1)、(2)可知，2NA=N1+N2.

【題型4】利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路徑

【典型例題】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD,且

AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，

最短距離是米.

:、'、平—河

C1P"

、

A

【答案】1000

【解析】作出A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接A'B與CD相交于M,則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再

回家，最短距離是A'B的長(zhǎng).

由題意：AC=BD,所以A'C=BD,

所以CM=DM,M為CD的中點(diǎn)，

易得AA，CM^ABDM,

???A'M=BM

由于A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米,

所以A'到M的距離為500米，

A'B=2AZM=1000米.

故最短距離是1000米.

【舉一反三1】如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,AD是NBAC的

平分線，若P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值為.

【答案】2.4

【解析】如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q',連接PQ'，CQ’,過(guò)點(diǎn)C作CH_LAB于點(diǎn)H.

???AD是aABC的角平分線，Q與Q'關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，

???點(diǎn)Q'在AB上，PC+PQ=PC+PQ,2cH,

VAC=3,BC=4,AB=5,-1?AC*BC=19AB*CH,

22

.,.CH=2.4,

??.CP+PQ22.4,

.-.PC+PQ的最小值為2.4.

故答案為：2.4.

【舉一反三2】如圖，已知兩點(diǎn)P、Q在銳角ZAOB內(nèi)，分別在OA、OB上求作點(diǎn)M、N,使PM+MN+NQ

最短.

【舉一反三3】如圖，兩個(gè)居民小區(qū)A和B在河岸I的同側(cè)，現(xiàn)欲在河岸邊建一個(gè)長(zhǎng)度為s

米的綠化帶CD,使C到小區(qū)A的距離與D到小區(qū)B的距離之和最小.請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出綠化帶的

A

位置.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）?c

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【答案】解：如圖，線段CD即為所求.

AP

*---SC

'、：'、”s

\:'、，IIS|

c\7b-1

*/

p'

作法：作AP〃直線I,使得AP=s,作點(diǎn)P關(guān)于直線I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P’，連接BP,交直線I于

點(diǎn)D,作線段DC=s,連接AC,PD,線段CD即為所求.

【題型5】確定圖形的對(duì)稱(chēng)軸

【典型例題】下列各圖中，對(duì)稱(chēng)軸條數(shù)最多的是（）

【答案】A

【解析】A.圖形有3條對(duì)稱(chēng)軸；

B.圖形有2條對(duì)稱(chēng)軸；

C.圖形有2條對(duì)稱(chēng)軸；

D.圖形有2條對(duì)稱(chēng)軸；

所以對(duì)稱(chēng)軸條數(shù)最多的是A.

故選：A.

【舉一反三1】下列分子結(jié)構(gòu)模型平面圖中，只有一條對(duì)稱(chēng)軸的是（）

￡B.一0，筌

3

【答案】A

【解析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫

做軸對(duì)稱(chēng)圖形.這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸.

根據(jù)圖形可得：選項(xiàng)A有1條對(duì)稱(chēng)軸，選項(xiàng)B、C各有2條對(duì)稱(chēng)軸，選項(xiàng)D有6條對(duì)稱(chēng)軸.

故選：A.

【答案】A

【解析】①是軸對(duì)稱(chēng)圖形且有兩條對(duì)稱(chēng)軸，故本選項(xiàng)正確;

②是軸對(duì)稱(chēng)圖形且有兩條對(duì)稱(chēng)軸，故本選項(xiàng)正確；

③是軸對(duì)稱(chēng)圖形且有4條對(duì)稱(chēng)軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【舉一反三3】觀察下列圖形，請(qǐng)把符合要求的圖形的標(biāo)號(hào)填在相應(yīng)的橫線上.

沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸的圖形是.

有一條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是.

有兩條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是.

有三條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是.

有三條以上對(duì)稱(chēng)軸的圖形是

【答案】(1)(6);(2)(5)：(4)；(3)：(7)(8)

【解析】沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸的圖形是(1)(6).

有一條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是(2)