專題01函數(shù)的概念與性質(zhì)題型1題型1求函數(shù)的定義域題型2求函數(shù)的解析式題型7判斷函數(shù)的奇偶性題型8函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題型9函數(shù)的周期性及應(yīng)用題型10函數(shù)的對稱性及應(yīng)用題型11利用函數(shù)性質(zhì)比較大小題型12利用函數(shù)性質(zhì)解不等式題型13函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型14抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用題型1求函數(shù)的定義域1、求具體函數(shù)的定義域的策略根據(jù)函數(shù)解析式，構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組),求解不等式(組)即可；對實際問題，既要使函數(shù)解析式有意義，又要使實際問題有意義.2、求抽象函數(shù)的定義域的策略(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a<g(x)<b求出；(3)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在[a,b]上的值域.【注意】的形式如何，定義域均是指其中的自變量x的取值集合. A.(1,4)B.(1,4)C.(-∞,1)U(4,+∞)D.[-∞,1]u(4,+∞)【答案】D義域是()A.(1,3)B.(1,2)u(2,3)C.(1,2)u(2【解析】因為函數(shù)y=f(x)的定義域為[0,4],所以,解得1<x≤3且x≠2,A.(-4,3)B.(-2,5)D.【答案】D【解析】因為函數(shù)f(x+2)的定義域為(-3,4),所以函數(shù)f(x)的定義域為(-1,6),則對于函數(shù),需滿足,解得題型2求函數(shù)的解析式1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等),可用待定系數(shù)法.(1)先令g(x)=t,注意分析t的取值范圍；(2)反解出x,即用含t的代數(shù)式表示x;(3)將f(8(x))例如：若條件是關(guān)于f(x)與f(-x)的條件(或者與的條件，可把x代則一次函數(shù)y=f(x)的解析式為()C.y=2x+1則f(x+y+f(x)=f(x+y+kx+b)=k(x+y+kx+b)+b=(k因為f(x+y+f(x))=6x+2y+3,即(k2+k)x+ky+kb+b=6【解析】令t=1-x,則x=1-t,且x≠0,則t≠1,【答案】【解析】令則,因為f(2x-1)=2x2-x,【答案】【解析】由①再將①中x替換成：可得：③所以題型3分段函數(shù)及其應(yīng)用招分段函數(shù)求值問題的解題思路：(1)求函數(shù)值：當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗.A.-1B.C.1【答案】B【解析】因為函數(shù)所以f(1)=ln1-1=-1,A.-4B.-2C.0【答案】B【解析】f(-2)=f(-2+2)=f(0)=f(0+2)=f(2)=22-6=-2.故選：B11.(24-25高三下·河北滄州·月考)已知a>0且a≠1,定義在R上的函數(shù)f(f(-2))=2,則a=()則f(f(-2))=f(3)=loga(3+2a)=2,所以，a2=3+2a,即a2-2a-3=0,A.(-2,0)B.(-∞0,-2)u(0,+∞)C.(0,2)D.(-∞,0)(2,+∞)題型4確定函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)判斷函數(shù)的單調(diào)性的四種方法1、定義法：按照取值、取值變形、定號、下結(jié)論的步驟判斷或證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；2、圖象法：對于熟悉的基本初等函數(shù)(或由基本初等函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)),可以通過利用圖象來判斷單調(diào)性；3、導數(shù)法：利用求導的方法(如有ex,Inx的超越函數(shù))判斷函數(shù)的單調(diào)性；4、復合法：針對一些簡單的復合函數(shù)，可以利用符合函數(shù)的單調(diào)性法則(同增異減)來確定單調(diào)性.13.(24-25高三上【答案】B【解析】畫出函數(shù)圖象，如圖所示：根據(jù)圖象知：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選：B.14.(2025·江西·一模)函數(shù)f(x)=√1og?(x2-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.[1,+∞]B.(1+√2,+∞)C.(2,+∞)【答案】B【解析】由log?(x2-2x)≥0且x2-2x>0,得x2-2x≥1,即x≤1-√2或x≥1+√2,所以函數(shù)f(x)=√1og?(x2-2x)的定義域為[-∞,1-√2]U[1+√2,+∞),因為y=x2-2x=(x-1)2-1在[-∞,1-√2]上單調(diào)遞減，在[1+√2,+o)上單調(diào)遞增，又函數(shù)y=log?x為增函數(shù)，所以函數(shù)y=log?(x2-2x)在[-∞,1-√2]上單調(diào)遞減，在[1+√2,+)上單調(diào)遞增，15.(24-25高一上·甘肅白銀·期末)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()【解析】f(x)的定義域為R,且f(-x)=-x|-x|+2x=-(x|x|-2x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，3、復合函數(shù)求參，注意要滿足定義域要求，通過分離常數(shù)法或構(gòu)造函數(shù)法轉(zhuǎn)化成恒成立或有解問題.A.(0,2)B.[0,4]C.[2,+∞]D.(4,+∞)在(0,2)上單調(diào)遞減，則a≥2,故選：CA.(-∞,0)B.[-∞,0]u[2,+∞)【答案】A所以x2-ax+3>1在(0,2)上恒成立，即在(0,2)上恒成立.又由基本不等式可得當且僅當x=√2時，取得等號，所以a<2√2.所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：或解得a≤0或a≥4.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a≤0.故選：A.是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()【答案】A即,解得-3≤a≤-2.是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是()A.-3≤a≤-2B.a≤-2C.-3≤a≤0【答案】A題型6與函數(shù)最值(值域)有關(guān)的問題求函數(shù)最值(值域)的方法(1)單調(diào)性法；(2)圖象法；(3)基本不等式法.【注意】對于較復雜的函數(shù)，可通過換元、分離常數(shù)法等進行轉(zhuǎn)化，對于無法變形化簡的函數(shù)，則常利用導數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出其值域.A.1B.√2C.2【答案】DA.1B.2【解析】設(shè)f(x)=|x-2|+|x+1,x∈R.所以當x∈R時，|x-2|+|x+1的最小值為3,故選CA.[-1,+∞]當x≥0時，f(x)=e-ax-1,f'(x)=e-a.若a≤1,則f'(x)=e-a>0,f(x)是單調(diào)增函數(shù)，f(x).n=f(0)=0,當a>1時，令f'(x)=e-a<0,得0≤x<lna,令f'(x)=e*-a>0,得x>Ina,f(x).n=f(lna)=en-aln題型7判斷函數(shù)的奇偶性1、判斷函數(shù)奇偶性的要點(1)函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)有奇偶性的前提條件；(2)若定義域關(guān)于原點對稱，則判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系，具體運算中，可轉(zhuǎn)化為判斷f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.2、在公共定義域內(nèi)：奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù).25.(2025·上?！と?下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為()A.y=sinx·eB.y=x3-x2C.y=cos【答案】D【解析】對于A,即x取-1,1時的函數(shù)值不互為相反數(shù)，A不是；對于B,(-1)3-(-1)2=-2≠0=-(I3-12),即x取-1,1時的函數(shù)值不互為相反數(shù)，B不是；對于C,y=cos2x是偶函數(shù)，且cos(2×0)=1≠0,即cos2x不恒為0,C不是；函數(shù)是奇函數(shù)，D是.故選：D26.(2025·山東濟寧·模擬預測)已知函數(shù),則下列是奇函數(shù)的是()C.f(x+2)+3D.f(x+【答案】B對于A,定義域不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；所以B正確；對于C,,定義域不關(guān)于原點對稱，所以f(x+2)+3不是奇函數(shù)，故C錯誤；所以f(x+1)-3不是奇函數(shù)，所以D不正確；故選：B.C.y=-x2+1D.y=2-對于C,函數(shù)y=-x2+1是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，C不是；對于D,函數(shù)y=2-是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，D不是.故28.(2025·北京東城·模擬預測)下列函數(shù)【答案】AC:f(-x)=|sin(-x)|sinx|=f(x)且定義域為R,不符合；D:且定義域為{x|x≠0},題型8函數(shù)奇偶性的應(yīng)用招2、求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已3、求參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組),進而求出參數(shù)的值.29.(2025-湖北黃岡·三模)已知為奇函數(shù)，則實數(shù)m的值是_.【答案】4【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，整理得4-x2=(m-2)2-x2恒成∴(m-2)2=4,解得m=0或m=4,,滿足f(x)是奇函數(shù)，所以m=4.又log?3+(-log?3)=0,所以f(log?3)+f(-log?3)=3,A.1B.-1C.f(2x)常見求周期的技巧：(a是不為0的常數(shù))(1)若f(x+a)=f(x),則T=a;(3)若f(x+a)=-f(x),則T=2a;(5)若,則T=2a;(2)若f(x+a)=f(x-a),則T=2a;(4)若則T=2a;(6)若f(x+a)=f(x+b),則T=|a-b|(a≠b)A.-2-√2B.2+√2C.6D.8故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即4為函數(shù)f(x)的一個周期.f(3)=f(-1)=-f(1)=-6,,f(4)=f(O)則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6+0-6+A.-4B.0C.2D.2025因為f(1-x)=g(x)-2,所以f(-1-x)=g(x+2)-2,f(x-1)=g(2-x)-2,因為g(x)為奇函數(shù)，所以8(-x)=-g(x),所以g(2-x)=-g(x-2),所以g(x+4)=-g(x),所以g(x+8)=-8(x+4)=8(x),所以g(x)的周期為8,所以g(2025)=8(253×8+1)=g(1)=-8因為8(-x)=-8(x),所以f(1-x)+2=-f(1+x)-2,即f(1-x)+f(1+x)=-4,因為f(-x-1)=f(x-1),所以f(1-x)=f(x-3),則f(x-3)+f(x+1)=-4,則f(x+1)+f(x+5)=-4,所以f(x-3)=f(x+5),所以f(x+8)=f(x),所以f(x)的周期為8,由g(x)=f(1-x)+2.得g(0)=f(1)+2=0,所以f(1)=-2.即f(2025)=-2,8(-3-x)=g(-3+x),且8(-3)=1,則【解析】因為g(-3-x)=g(-3+x),所以f(-x)+g(-x-3)=f(-x)+g(x-3)=2=f(x)+g(x-3),所以f(x)=f(-x).由f(x+1)+f(x-1)=f(x),兩式相加得-f(x+1)=f(x-2),所以f(x)=-f(x+3),所以f(x)=-f(x+3)=f(x+6),所以f(x)是以6為周期的周期函數(shù).又g(-3)=1,所以f(0)=1,所以f(1)+f(-1)=f(0)=1,所以.因為f(x)+f(x+3)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0,A.2023B.2024C.2025D.2026【解析】由f(x)關(guān)于x=1對稱，有又f(x+2)-1為奇函數(shù)，則f(-x+2)-1=-f(x+2)+1即f(-x+2)+f(x+2)=2,則f(x+2)+f(x+4)=2,作差有f(x)=f(x+4),∴f(x)為周期函數(shù)，且周期為4,因為f(1)+f(3)=2,f(1)=0,則f(3)=2,因為f(O)=f(2),f(O)+f(2)=2,則f(O)=f(2)=1,f(4)=則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,.故選：B.題型10函數(shù)的對稱性及應(yīng)用當a=b=0時，函數(shù)y=f(x)關(guān)于y軸對稱，此時函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).2、關(guān)于點對稱：若函數(shù)y=f(x)滿足f(2a-x)=2b-f(x),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,b)對稱，特別地，當a=0,b=0時，f(x)=-f(-x),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點對稱，此時函數(shù)f(x)是奇函數(shù).A.關(guān)于點(-2,2)對稱B.關(guān)于點(2,-2)對稱C.關(guān)于直線x=2對稱D.關(guān)于直線x=-2對稱【解析】因為f(-x)=(-x)3-(-x)=-3+x=-f(x),則f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)+2的圖象可由f(x)的圖象先向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到，所以函數(shù)y=f(x+2)+2的圖象關(guān)于點(-2,2)對稱.故選：AA.-5B.-1C.0得f(x)的定義域關(guān)于數(shù)2對稱，由-1不在f(x)的定義域內(nèi)，得5不在f(x)的定義域內(nèi)，A.-ln2B.1n2C.0【答案】C∴函數(shù)g(x)的圖象由的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到的.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)在(-0,1)和(1,+)上單調(diào)遞減，又f(x)=e在R上單調(diào)遞增，A.0B.4大A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<c所以f(x)=f(4-x)=-f(-x),則f(x+4)=-f(x),則f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期是8,A.f(-3)<f(-log?15)<f(2?)B.f(-3)<f(2?)<f(-log?15)C.f(2?)<f(-log?15)<f(-3)D.f(28)<f(-3)<f(-log?15)2?.8<21=log?9<log?15<又函數(shù)f(x)是在(0,+)上單調(diào)遞增，A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b【解析】f(x)=x.e,定義域為R,關(guān)于原點對稱，且f(-x)=-x.e=-xe=-f(x),所以函數(shù)f(x)=x.e為奇函數(shù)，又f(x)=x·e,x>0,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a【解析】因函數(shù)y=f(x+1)是R上的偶函數(shù)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，題型12利用函數(shù)性質(zhì)解不等式反，列出不等式(組),同時不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.f(x)>0的x的取值范圍是()A.{x|x>1}B.{x|-1<x<0}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|-1<x<0或x>1}【解析】C.[-2,0]U[1,2]D.[-2,1]U[2,+∞]當x>0時，由f(x)≤0=f(2),可得0<x≤2;由f(x)≥0=f(2),可得x≥2;當x<0時，由f(x)≤0=f(-2),可得x≤-2;由f(x)≥0=f(-2),可得-2≤x<0.當x-1≤0時，即當x≤1時，則f(x)≥0可得-2≤x≤0或x≥2,可得-2≤x≤0;)在(-2,2)上的解集為()A.(-2,-1)U(0,1)B.(-2,-1)(1,2)C.(-1,0)U(0,1)D.(-1,0)U(1,2)當x∈[-∞0,-1]時，-x∈[1,+),則f(x)=-f(-x)=-(-x-2)=x+2,A.(-∞0,-2025)u(2025,+)B.(-2025,0)u(2025,+∞)則g(x)在(0,+o)上單調(diào)遞增，又因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，又因為f(2025)=2025,所以g(2025)=g(-2025)=1,題型13函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用招函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性來確定另一個區(qū)間再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.49.(2025-福建福州·一模)(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足A.f(x)的圖象關(guān)于點(2,2)對稱B.f(x)是以8為周期的周期函數(shù)【答案】BC【解析】對于A,由題意f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),且g(0)=0,又f(2+x)+8(-x)=1,即f(2+x)-g(x)=1①,用-x替換f(2+x)+g(-x)=1中的x,得f由①+②得f(2+x)+f(2-x)=2,所以f(x)的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，故A錯誤；對于B,由f(2+x)+f(2-x)=2,可得f(4+x)+f(-x)=2,即所以f(8+x)=2-f(4+x)=2-[2-f(x)]=f(x),對于C,由①可得g(x)=f(2+x)-1,則g(x+8)=f對于D,因為f(4+x)+f(-x)=2,f(x)為偶函數(shù)，所以f(4+x)+f(x)=2,令x=2,則有f(6)+f(2)=2,令x=18,則有f(22)+f(18)=2,,,令x=8090,則有f(8094)+f(8090)=2,f(2-x)+f(x)=0,則下列結(jié)論一定正確的是()又因為f(2-x)+f(x)=0,所以f(-x)+f(x+2)=0,即f(-x)=-f(x+2),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),對于D,因為f(-x)=f(x),所以-f'(-x)=f'(x),即f'(-x)=-f'(x),又因為f'(2-x)=f'(x),所以f‘(-x)=f'(x+2),所以f'(x+2)=-f'(x),A.f(x+16)=f(x)B.f(7-x)+f(x-1)=0【解析】對于A,因為f(-x)=-f(x),且f(x-1)為偶函數(shù)，故即f(x+1)+f(x-1)=0,所以f(x+則f(x)的周期為4,故16也是f(x)的周期，故A正確；f(2025)=f(4×506+1)=f當k=2n,n∈Z時，則x∈(4n,4n+2)(k∈Z),故x-4n∈(0,2)(k∈Z),當k=2n+1,n∈Z時，則x∈(4n+2,4n+4)(k∈Z),故x-4n∈(2,4)(k∈Z),g(x)=f'(x),若g(2+x)均為偶函數(shù)，則()A.f(0)=0C.f(-2)=f(5)D.g(-1)+8(2)=0即①,所以f(3-x)=f(x),所以f(x)關(guān)于對稱，對于g(x),因為g(2+x)為偶函數(shù)，g(2+xf(x?)-f(x?)=f(x?-x)+x?)-f(x?)或f