專題01平面向量及其應(yīng)用題型8平面向量在幾何的應(yīng)用題型9平面向量在物理的應(yīng)用題型10平面向量的新定義題型1平面向量的線性運算大【分析】利用相似三角形的性質(zhì)以及向量的加法運算來表示AF即可.F【分析】根據(jù)向量線性運算可得,計算即可求解.則所以【詳解】因BM=2MC,貝因A,N,M三點共線，故設(shè)AN=tAM,題型2平面向量的共線定理1兩個向量共線共線定理非零向量a與向量b共線?有且只有一個實數(shù)λ,使得b=λa.當λ=0時，λa=0.A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)向量的模長關(guān)系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進行判斷.【詳解】若alⅡ,則存在唯一的實數(shù)μ≠0,使得a=μb,故此時故此時aⅡb,所以“?Ⅱb”是“存在存在λ≠0,使得|a+λb|=la|+|λb|”的必要條件，故選：C.2(23-24高一下·廣東江門·階段練習)設(shè)a,b是非零向量，A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】【答案】C【分析】結(jié)合共線向量，單位向量，以及充分，必要條件的概念判斷即可.【詳解】對于非零向量a,b,由可知向量a,b共線，但不一定是a=26,所以充分性不成立；由a=25,可知向量a,B共線同向，則所以必要性成立，所以設(shè)a,b是非零向量，則成立的必要不充分條件，三點共線，則實數(shù)λ=()【答案】【答案】B【分析】利用坐標表示向量共線可得.【詳解】AB=a-35=(-2,3)-3(1,2)=(-5,-3),BC=λa+b=λ(-2,3)+(1,2)=因為A,B,C三點共線，所以設(shè)AB=μBC→(-5,-3)=μ(-2λ+1,3λ+2),即故選：B4(2025·江蘇南通·模擬預(yù)測)已知0<θ<π,向量,b=(1,sinθ),且alⅡ6,則θ【答案】【分析】由向量共線的坐標運算可得答案.【詳解】因為a|Ⅱb,所因為0<θ<π,所因為0<θ<π,所題型3平面向量的垂直問題所1(舍去),所,故表述正確的是()【詳解】因為向量a=(2,1),b=(2,-1),對于A,m//n當且僅當2(1+λ)(1-μ)=2(λ-1)(μ+1),即1+λ-μ-λμ=λμ-μ+λ-1,對于B,m⊥n當且僅當4(λ+1)(μ+1)+(λ-1)(1-μ)=0,即4(λμ+λ+μ+1)+(λ-1-λμ+μ)=0,即(3λ+5)μ=-(5λ+3),即5λ2+6λ=5μ2+6μ,進而可得(λ-μ)(5λ+5μ+6)=0A.μ-λ=0B.μ+λ=0C.λμ+5=0D.λμ-5=0關(guān)系.∴(2+λ)(2μ+1)+(1-2λ)(μ-2)=0,整理得λ+μ=0,A.2B.1C.-1【答案】【答案】B【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律及已知條件得a·b=0,再由數(shù)量積的坐標表示列方程求參數(shù).【詳解】將|2a+6|=|2a-6兩邊同時平方，得|2a+b|2=|2a-b|2,整理得a·B=0.因為a·b=(m+2)×1+1×(-3)=0,解得m=1.A.B.(3a+8b)⊥ac.(3a+8b)⊥bD.(8a+3b)⊥a【答案】B【分析】將已知條件平方，化簡可得a·利用該結(jié)論依次判斷各個選項.對于選項B,由于a·2,則8a·b+3a2=0,即(3a+8b)·a=0,所以(3a+8b)⊥a,故B正確；對于選項D,(8a+3b)·a=8a2+3a·,故D錯誤.故選：B.的圖象與y軸交于點C,D(5,0),B(2,A),且BC·CD=0,則f(4)=()【答案】C【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得出w,φ,再求出點的坐標及數(shù)量積公式計算A,最后求出函數(shù)值.【詳解】由題干圖象可知,則T=12,所以,解得A=2√10(負根舍去),題型4求平面向量的投影解解1向量b在向量a上的投影：b||cosθ,它是一個實數(shù)，但不一定大于0.3求投影或其坐標，多結(jié)合圖形去思考?！咀⒁狻孔⒁馔队昂屯队跋蛄康膮^(qū)別，投影是個數(shù)，投影向量是個向量?！敬鸢浮俊敬鸢浮緼【分析】由a+b|=|a-6,利用向量的運算律，求得a·B=0,得到a⊥b,設(shè)AD=a,AB=b,結(jié)合投影向量的計算公式，即可求解.【詳解】由a+5|=|a-6|,可得|a+b|2=|a-|2,即(a+b)2=(a-b)2,如圖所示，設(shè)AD=a,AB=b,則四邊形ABCD為矩形，且AC=a+b,CDCaBABb A.(5,-1)B.(3,2)投影向量坐標為()【分析】根據(jù)平面向量的模與數(shù)量積的關(guān)系結(jié)合向量模長的坐標運算可得a·b,從而根據(jù)投影向量的定義運算得答案.【詳解】因為la|=1,b=(1,2),la-b|=√5,所以向量a在向量b上的投影向量坐標則a方向上的投影的最小值為.再【分析】由|3ā-2b|≤V11兩邊平方可得3a·B≥4+b2,向量在向量6方向上的投影化簡》再【詳解】因為|3a-2b|≤√11,所以9a2-12a·b+4b2≤11,所以12a·b≥9a2+4b2-11,因為向量a在向量b方向上的投影為題型5求平面向量的數(shù)量積1如果兩個非零向量a,b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作：a·2設(shè)a=(x?,y?),b=(x?,y?),則數(shù)量積a·b=x?x?+y?y?3求平面向量的數(shù)量積，主要有定義法(利用a·b=|al|b|cosθ,往往是數(shù)量積的兩個向量的模及其夾角易求時使用)、基底法(定義法不好使時，而題中有兩個向量的模和夾角已知或易求，它們又較容易表示其他向量，此時利用基底法好使)、建系法(當題中有垂直的相關(guān)信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把數(shù)量積問題用坐標表示易求)等等。【注意】求數(shù)量積時，要注意的解題方法的選擇。1(2025·廣東佛山·三模)如圖，已知矩形ABCD的邊長滿足AB=2AD=4,以A為圓心的圓與BD相切于P,則AP·AC=()C.8【答案】A【分析】由AP⊥BD,根據(jù)等面積可得由AC=AB+AD及向量數(shù)量積幾何意義求解即可.【詳解】由已知條件可知，AP⊥BD,因此故選：A2(2025-湖北黃岡·模擬預(yù)測)在△ABC中，BD=2DC,|AB+AD|=|AB-AD|,|AD|=√2,AD=()A.2B.2√2【答案】C【分析】根據(jù)A|B+AD|=|AB-AD|得出AB·AD=0,再利用向量的線性運算得出即可求出所以4AB·AD=0,即AB·AD=0,PA·PC-PB·PD=()A.2B.0C.-2【答案】C【答案】C【分析】法一，連接AC,BD交于點0,連接PO,根據(jù)平面向量的線性運算與數(shù)量積的運算性質(zhì)化簡求解即可；法二，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，過點A且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系，根據(jù)平面向量的坐標運算求解數(shù)量積即可.【詳解】解法一如圖，連接AC,BD交于點0,連接PO,所以PA·PC-PB·PD=(PO+OA)·(P=(PO+OA)·(PO-OA)-(PO+OB)·(P故選：故選：C.以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，過點A且垂直于AB的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，個DCPAB交則根據(jù)題意可得A(0,0),B(2,0),C(3,√3),D(1,√3),設(shè)P(x,y),則PA=(-x,-y),PB=(2-x,-y),PC=(3-x,√3-y),PD=(1-x,√3-y),則PA·PC-PB·PD=(-x,-y)·(3-x,√3-y)-(2-x,-y)·(1-x,√3-y)=-3x+x2-√3y+y2-(2-2x-x+x2-√3y+y2)=-2.故選：C.4(2025-浙江·三模)已知A,B,C是函數(shù)f(x)=|2-log?x|圖象上的三點，A在x軸上，且BC//x軸，若A.0B.-1C.—107【答案】C【答案】C【分析】先根據(jù)A在x軸，令函數(shù)值為0求出A坐標.設(shè)B、C坐標，再根據(jù)BC長度列出方程，得到x?與x?的關(guān)系.寫出AB與AC坐標，進而算出(x?-9)(x?-9).求出x?、x?具體值，得到y(tǒng)?和y2,算出數(shù)量積結(jié)果.【詳解】令|2-log?x|=0,即2-log?x=0,得log?x=2,所以A(9,0).又x?<x?,且y=log?x遞增，所以2-log?X?=-(2-log?x?),即log?x?+log?x?=4,根據(jù)運算法則得log?(x?x?)=4,所以x?X?=3?=81.展開(x?-9)(x?-9)=x?x?-9x?-9x?+81=x?X?把x?-x?=24,x?X?=81代入得(x?+x?)2=242+4×81=576+324=900,則則(x?-9)(x?-9)=81-9×30+81=162-270yo=|2-log?3|=1,y?=1.【分析】根據(jù)投影向量的求法及已知得【分析】根據(jù)投影向量的求法及已知得,進而有即可求夾角.故選：D【答案】【答案】C【分析】由數(shù)量積的運算律結(jié)合向量垂直得到向量夾角的余弦值，再利用基本不等式和同角的三角函數(shù)關(guān)系可得.【詳解】由題意，得(a-b)·(2a-b)=2|àl2-3|al|blcos(a,b)+|b2=0,又由同角的平方和為1,所以sina, 【答案】【答案】A【分析】應(yīng)用向量夾角公式計算求出余弦值，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得出是，最后結(jié)合面積公式計算求進而由向量夾角公式得 故選： 故選：A.5(2025·河南·三模)在△ABC中，向量AB=(x,1),BC=(-3,2-x),若∠ABC為銳角，則實數(shù)x的取值【答案】【答案】A【分析】根據(jù)題意BA·BC>0且BA與BC不共線，然后利用數(shù)量積的坐標運算及共線的向量坐標運算列不等式求解即可.【詳解】因為∠ABC為銳角，則BA·BC>0且BA與BC不共線.若BA與BC共線，則-x(2-x)=(-1)×(-3),即x2-2x-3=0,故選：A題型7平面向量的最值問題1平面向量的最值是多樣的，最常見的是求數(shù)量積的最值，方法有(1)定義法(利用a·b=la||b|cosθ,往往是數(shù)量積的兩個向量的模及其夾角易求時使用),把數(shù)量積掌握為某個變量的式子，再用函數(shù)的方法求最值；(2)基底法(定義法不好使時，而題中有兩個向量的模和夾角已知或易求，它們又較容易表示其他向量，此時利用基底法好使),把數(shù)量積掌握為某個變量的式子，再用函數(shù)的方法求最值；(3)建系法(當題中有垂直的相關(guān)信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把數(shù)量積問題用坐標表示易求),把數(shù)量積掌握為某個變量的式子，再用函數(shù)的方法求最值；(4)極化恒等式①平行四邊形模式：在平行四邊形ABCD中，即向量的數(shù)量積等于對應(yīng)平行四邊形的對角線的平方差的2利用平面向量的等和線，可以處理類似求AO=λAB+μAC中λ+μ的最值問題；3其他的一些最值問題，主要思路也是幾何法或代數(shù)法。幾何法強調(diào)對圖形的觀察，能夠辨識出幾何模型；代數(shù)法，主要是如何引入?yún)?shù)表示所求，再利用函數(shù)方法求解，引入哪個變量是難點?！咀⒁狻坎扇〈鷶?shù)法求解最值，要注意引入的變量的取值范圍。1(2025-河南·一模)如圖梯形ABCD,ABIICD且AB=5,AD=2D【答案】B【分析】先建系解得D,C坐標，再設(shè)E坐標，根據(jù)向量數(shù)量積列函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最【詳解】以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設(shè)D(m,n),C(m+2,n),(m>0,n>田業(yè)m2+n2=16m2+n2=16m=2因此m+2,n)·(m-5,n)=0“m2+n2—3m-10=0'n=2√3'所以AE·DE=(x,-2√3(x-5))·(x-2,-2√3(x-5)-=(x,-2√3(x-5))·(x-2,-2√3(x-5)-2√3)=13x2-11【點睛】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.【答案】Acos∠COE≤1可得結(jié)果.【詳解】設(shè)AB的中點為E,因為|OA|=|0B|=1,AB|=√3,AC·BC=CA·CB=(0a-oc)·(oAB0故選：故選：A3(2025·廣東東莞·模擬預(yù)測)邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，MN是內(nèi)切圓的一條弦，點P為正方形四條邊上的動點，當弦MN的長度最大時，則PM·PN的最大值是().【答案】C【分析】設(shè)正方形ABCD的內(nèi)切圓圓心為0,由題可得MN為圓O的一條直徑時，弦MN的長度最大，PM·據(jù)此可得最大值.【詳解】如下圖所示：設(shè)正方形ABCD的內(nèi)切圓圓心為0,當弦MN的長度最大時，MN為圓O的一條直徑，PDA-PDMONNDA+DB,且|D|=|DA|=2,則DO·DE的最大值為()【詳解】如圖所示建立平面直角坐標系，則設(shè)M(x,√3(-1≤x≤1),則AM=(x+2,√3),BM=(x-2,√3),6(2024·河北保定·二模)如圖，圓O?和圓O?外切于點P,A,B分別為圓O?和圓O?上的動點，已知圓O?和圓O?的半徑都為1,且PA·PB=-1,則|PA+PB|2的最大值為()A.2A.2B.4【答案】D【分析】由PA·PB=(PO?+O?A)·(PO?+O?B)=1,化簡得到O|?A·O?B|=|PO?·(O?B-O?A)|≤PO?+O?B|2化簡即可得到答案.【詳解】PA·PB=(PO?+O?A)·(PO?+O?B)=PO?·PO?+PO?·O?B+O?A·PO?+O?A·O?B=-1+PO?·(O?B-O?A)+O所以|O?A·O?B|=|PO?·(O?B-O?A)|≤|解得-1-√3≤0?A·O?B≤-1+√3.PA+PBI2=|PO?+O?A+PO?+O?BI2=|O?A+O?B2=|0?AI2+=2+20?A·O?B≤2+2×(-1+=2+20?A·O?B≤2+2×(-1+a-6≥2|c|恒成立，則實數(shù)λ的最大值為()A.1B.2【答案】DBbaA有a-2c=DA,b-2c=DB,所以2|c,所以λ≤4,(△ABC外)內(nèi)及邊界上運動，若AP=λAB+μAC,記2λ+μ的最大值與最小值分別為m,n,則m+【答案】【答案】【分析】設(shè)E、0分別為AB、BC的中點，則AP=λAB+μAC=2λAE+μAC,由三點共線可得2λ+μ=【詳解】設(shè)E為AB的中點，連接CE,設(shè)0為BC的中點，即點0為以BC為直徑的半圓的圓心，當點P在CE上時，由三點共線可得2λ+μ=1,此時點P與點C重合，即由三點共線知點P在直線l上時，2λ+μ最大，因為AC⊥BC,所以AC為半圓的一條切線，所以NC=NP,所以AP因為N,P,M三點共線，所以2,可得2λ+72729(2025·四川成都·模擬預(yù)測)如圖，A,B是單位圓(圓心為O)上兩動點，C是劣弧AB(含端點)上的動點.記OC=λOA+μOB(λ,μ均為實數(shù)).【分析】(1)由題意確定,根據(jù)數(shù)量積的運算律求得則OC·【詳解】(1)由題意知O到弦AB的距離是,貝DBDCAO故λ+μ=20C·(OA+OB)=20C·OD=2cos(OC,OD〉,(2)設(shè)∠AOB=α,α∈(0,π),甲可得90A2即而120A+OB|=J(20A+OB)2=√5+4cosa,IOA+OBIJ(OA+OB)2=√2+2co題型8平面向量在幾何的應(yīng)用1由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.2用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；Eg點A、B、C、D不在同一直線上 △ABC的().A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【詳解】在△ABC中，因PA+PB+PC=0,APDA.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)正弦定理得出|AB|·sinB=|AC|·sinC,代入關(guān)系式由向量的加減法化簡，得出AP與AD共線，由此得出點P的軌跡，得出答案.【詳解】OAP設(shè)t=|AB|·sinB=|AC|·sinC,t>0,∴AP=λt(AB+AC),所以A,P,D共線，∴點P的軌跡為射線AD(不含端點A).3(2024·四川內(nèi)江·三模)已知點A、B、C在圓x2+y2=1上運動，且AB⊥BC,若點P的坐標為(0,2),則A.3B.5【答案】【答案】C【分析】由題意可得AC為直徑，且|PA+PB+PC|=|2PO+PB|,當PO,PB共線且方向相同時模長最長，即可得出答案.【詳解】因為AB⊥BC,所以AC為直徑且過原點，AC的中點為原點0,所以由平行四邊形法則可得：PA+PC=2PO,所以當PO,PB共線且方向相同時模長最長，即當B運動到D(0,-1)時，PA+PB+PC|=|2PO+PB|取得最大值為2×2+3=7.P0D6,則△ABC的形狀是().A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.上述三種情況都有可能幾何意義可得DE=1,結(jié)合重心性質(zhì)可得點H,C重合，從而得解.AGorBDEHC積是△BCD的面積的2倍，則BD的長度為.【分析】如圖建立直角坐標系，設(shè)AC,BD交點為E,由△ABD的面積是△BCD的面積的2倍可得E坐標，然后由B,E,D三點共線結(jié)合AC=4可得B點坐標，即可得答案.【詳解】如圖，以D點為原點，取AC中點為F,以DF所在直線為x軸，以過D點，垂直于DF直線為y軸，建立直角坐標系.過C,A兩點作DB垂線，垂足為G,H,則又AC=√BC2+BA2=4→2(x-2√3)2→x2-4√3x+y2+8=0→7y2-9y+2=0→(個DCHFHAx題型9平面向量在物理的應(yīng)用2力的合成與分解符合平行四邊形法則.就說這個力對物體做了功，功的計算公式：W=F·S(其中W是功，是力，S是位移)一物體在力F?=A.25B.5C.-5【答案】【答案】A【分析】利用條件，先求出兩個力的合力F?+F?及AB,再利用功的計算公式即可求出結(jié)果.W=(F?+F?)·AB=-3+7×4=25.【分析】由數(shù)量積的運算律，定義，結(jié)合模長計算可得.【詳解】由題意可得質(zhì)點P位移為AD=AB+BC+CD,因為AB=4,BC=2,CD=3,AB·BC=-2,所以AB·CD=12,設(shè)AB,BC的夾角為θ,所因為AB//CD,所3(多選)(2025·安徽黃山·二模)如圖，一條河兩和v2的夾角為θ(0<θ<π),則下列說法正確的為()水流A.A.當船的航行時間最短時，B.當船的航行距離最短時，C.當時，船的航行時間為6分鐘直河岸方向的分速度v=|v?lsinθ)可計算并判斷A,C;根據(jù)船的航行距離最短時，合速度方向垂直河岸，【詳解】對于A,將船的速度v1和水流速度v2進行合成，船垂直河岸方向的分速度v=|v?lsinθ,對于B,當船的航行距離最短時，合速度方向垂直河岸，如圖，θ?船的航行時間,即6分鐘，故C正確；【分析】設(shè)OA,OB,OC三條繩受的力分別為a,b,c,則a+b+c=0,根據(jù)向量加法法則和直角三角形三邊【詳解】設(shè)OA,OB,OC三條繩受的力分別為a,b,c,則a+b+c=0,c′a即|àl>|b|,là|>|c|,故細繩OA受力最大，即對OA繩的耐力性要求最高.bB′題型10平面向量的新定義解處理新定義問題，理解新定義的內(nèi)容是重點，多結(jié)合簡單的特例感性了解，再試圖尋找其中的共性，把 6不共線，記以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形的面積S(a,b)=|x?y?—x?y?I.已知OM=m,ON=n,OP=A.|λ+μ|B.|λ【詳解】依題意設(shè)0M=m=(x3,y3),ON=n=(x4,y4),(ax?+μx?)y?|=|μ||x?y4-x4y?1,S(n,p)=|x?(λy?+μy4)-(λx?+μx?)y?I=