外接球模型：基礎(chǔ)思維外接球模型：基礎(chǔ)思維外接球模型：對棱補形外接球模型：線面垂直型外接球模型：面面垂直型特殊三角形雙線定心型特殊幾何體：不規(guī)則型特殊幾何體：棱臺型特殊幾何體：圓錐型特殊幾何體：圓臺型題型1外接球模型：基礎(chǔ)思維1.(24-25高二上云南文山·期末)已知長方體ABCD-A?B?C?D?的體積為16,且AA?=2,則長方體ABCD-A?B?C?D?外接球表面積的最小值為()【詳解】設(shè)AB=a,AD=b,由長方體ABCD-A?B?C?D?的體積為16可得：D?A?B?CBAVABCD-ABCD=2√3xy≤√3(x2+y2)=8√3,,當且僅當x=y=2時取等號，D?B沿AB展開，與沿AB展開，與ABC?D?D?BBD-C則DE+EC≥D?C=√(2+4)2+22=2√10,則三棱錐P-ABC外接球體積的最小值為()A.8√6πB.16√6πC.24√6π【分析】將三棱錐P-ABC可以補成長方體，從而得到PC為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，要想體積最小，則PC最小即可，設(shè)AB=x,球體積的最小值.【詳解】根據(jù)題意三棱錐P-ABC可以補成分別以BC,AB,PA為長、寬、高的長方體，其中PC為長方體則三棱錐P-ABC的外接球球心即為PC的中點，要使三棱錐P-ABC的外接球的體積最小，則PC最小.PABLC設(shè)AB=x,則PA=x,BC=6-x,|PC|=√AB2+PA2+BC2=√3(x-2)2+24,所以4.(22-23高三下·江西階段練習)已知球0是正三棱錐P-ABC的外接球，D是PA的中點，且A.12πB.8πC.32π【分析】由題意作圖，補形，根據(jù)正方體的外接球直徑的求解公式，可得答案.BB正三棱錐P-ABC為棱長為4的正方體的一個角，顯然CP⊥平面APB,顯然正三棱錐P-ABC的外接球就是圖中正方體的外接球，該外接球的半徑為,外接球的表面積為對棱相等模型是三棱錐的三組對棱長分別相等模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決.外接球的直徑等(三棱錐的三組對棱長分別為x、y、z).可求出球的半徑從而解決問題.SC=AB=√65,則三棱錐S-ABC的外接球表面積為()【分析】將該三棱錐置于一個長、寬、高分別為a,b,c的長方體中，求出a2+b2+c2=69即得解.故將該三棱錐置于一個長、寬、高分別為a,b,c的長方體中，可得a2+b2+c2=69,故S-ABC的外接球表面積為【點睛】本題主要考查幾何體外接球的表面積的計算，考查長方體的外接知識的理解掌握水平.2.(2020全國·模擬預(yù)測)已知三棱錐A-BCD的所有棱長都為2,且球0為三棱錐A-BCD的外接球，點M是線段BD上靠近D的四等分點，過點M作平面α截球0得到的截面面積為Ω,則Ω的取值范圍為【分析】求出三棱錐A-BCD的外接球半徑R,可知截面面積的最大值為πR2,當球心O到截面的距離最大時，截面面積最小，此時球心0到截面的距離為OM,截面圓的半徑的最小值為√R2-OM2,進而可求出截面面積的最小值.【詳解】三棱錐A-BCD是正四面體，棱長為2,將三棱錐A-BCD放置于正方體中，可得正方體的外接球就是三棱錐A-BCD的外接球.因為三棱錐A-BCD的棱長為2,故正方體的棱長為√2,可得外接球直徑2R=√2+2+2=√6此時球心O到截面的距離為OM,△OBD為等腰三角形，過點O作BD的垂線，垂足為H,BAC故Ω的取值范圍為0D【點睛】外接球問題與截面問題是近年來的熱點問題，平常學習中要多積累，本力、推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.體A-BCD外接球表面積是()【分析】利用割補法及勾股定理，結(jié)合長方體的體對角線是外接球的直徑及球的表面積公式即可求解.CA√25,2,四面體A-BCD如圖所示，DB面體，而正四面體的外接球恰好是正方體的外接球，立體幾何中有好多類似的事實存在：若四面體P-ABC,PA=BC=√6,PB=AC=2√2,PC=AB=√10,則該四面體外接球的體積為.【分析】根據(jù)給定條件，把四面體PABC置于長方體中，求出長方體的體對角線即可得解.設(shè)此長方體共點的三條棱長分別為則于是a2+b2+c2=12,題型3外接球模型：線面垂直型招線面垂直型：存在一條棱垂直一個底面(底面是任意多邊形，實際是三角形或者四邊形(少),它的外接圓半徑是r,滿足正弦定理)線面垂直型滿足條件：1、線面垂直；2、面可以是任何多邊形，多邊形外接圓半徑，都可以借助多邊形上任意三定點所構(gòu)成的三角形，借助正弦定理來計算(等腰或者等比可以用特殊法計算)1.(21-22高三·廣西南寧階段練習)已知三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC,AB=BC=CA=3√3,三棱錐S-ABC外接球O的表面積為100π,則球O的體積為,異面直線SA,OB所成角的余弦值如圖，設(shè)球心為0,H為SA中點，G為VABC中心，連接OB,OG,S0AC2.(2022安徽·模擬預(yù)測)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，其中AB=2,AD=4,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,E為PD的中點，若四棱錐P-ABCD的外接球表面積為36π,則直線BE與CD所成角的余弦B由于PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥由于AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥AE,由于BC⊥AB,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PPEAF【分析】根據(jù)條件可得△PBC為等邊三角形，VABC為等腰三角形，然后算出三角形PBC的外接圓的直徑，可得出四面體P-ABC的外接球的半徑，然后算出答案即可.【詳解】由題意，已知PA⊥平面PBC,PA=4,PB=BC=2√3,AC=2√7,又PB、PCc平面所以，由勾股定理得：AB=2√7,PC=2√3,所以，△PBC為等邊三角形，VABC為等腰三角形，等邊三角形PBC的外接圓的直徑為所以四面體P-ABC的外接球直徑2R=√16+16=4√2,AB所以R=2√2,則四面體P-ABC的外接球表面積為S=4πR2=32π.故答案為：32π,C……BP【點睛】本題考查的是幾何體的外接球問題，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.BC=2√3,則三棱錐P-ABC外接球表面積為.【分析】設(shè)VABC外心為0,求得AO?=2,再結(jié)合截面性質(zhì)，求得球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)VABC外心為0,AO交點BC于M,則M為BC中點，又由可得AO?=2,由△O?BA為正三角形，可得O?M=MA=1,又由PA⊥平面ABC,可得B【點睛】本題主要考查了球的性質(zhì)，以及球的表面積的計算，其中解答中熟練應(yīng)用求得截面性質(zhì)，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.題型4外接球模型：面面垂直型大面面垂直型基本圖形1.面面垂直型基礎(chǔ)模圖：ABC,若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為().A.25πB.60πC.72πD.80π【分析】根據(jù)已知條件求得外接球的半徑，由此求得球的表面積.【詳解】設(shè)D,E分別是AB,AC的中點，由于P由于平面PAB⊥平面ABC且交線為AB,所以PD⊥平面ABC,由于AB⊥BC,所以E是Rt△ABC的外所以球心O在過E且與平面ABCAB=√82-42=4√3,AD=BD=2√3,設(shè)外接球的半徑為R,所以R2=22+(2+DF)2=42+OE2,PCEA02.(2023貴州貴陽·模擬預(yù)測)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,△BCD是邊長為2√3的等邊三角形，AB=AD=2,則該幾何體外接球表面積為()DBFA.20πB.8πC.28π【分析】設(shè)△ABD外心為O?,△BCD外心為0,DB中點為E,過外心分別作平面ABD,平面垂【詳解】設(shè)△ABD外心為O?,△BCD外心為0?,DB中點為E.因O?E⊥DB,OEc平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,則O?E⊥O?E.過O?,01分別作平面ABD,平面BCD垂線，則垂線交點O為外接球球心，ADc與側(cè)面公共棱長度為1,則外接球半徑3.(24-25高三下·福建寧德階段練習)如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形EFBD為矩形，且平面ABCD與平面EFBD互相垂直.若多面體ABCDEF的體積為,則該多面體外接球表面積的最小值為A.16πB.12π【分析】根據(jù)題意，設(shè)出正方形邊長和矩形的高，根據(jù)體積公式，求得a,b等量關(guān)系；再找到球心，求得半徑，利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，連接AC,BD交于M點，過M作MN//DE交EF于N點，交BE于0,連接OC.OMC因為四邊形ABCD是正方形，故可得AC⊥BD,又因為平面ABCD⊥平面EFBD,且交線為BD,又ACc平面ABCD,故AC⊥平面EFBD,A.96πB.84πC.72π于是00?⊥平面ABC,取AB中點D,連接PD,則PD⊥AB,而平面PAB⊥平面ABC,BOAD0C題型5特殊三角形雙線定心型解解1、尋找一個或兩個面的外接圓圓心2、分別過兩個面的外心作該面的垂線，兩條垂線的交點即為外接圓圓心；3、構(gòu)造直角三角形求解球半徑，進而求出外接球表面積或體積.1、包含了面面垂直(倆面必然是特殊三角形)2、等邊或者直角：(1)等邊三角形中心(外心)做面垂線，必過球心；(2)直角三角形斜邊中點(外心)做面垂線，必過球心；∠ABP=90°,點M在該三棱錐的外接球O的球面上運動，且滿足∠AMC=60°,則三棱錐M-APC的體積最大值為()【分析】先通過PC⊥AC和PB⊥AB可知三棱錐的外接球0為AP的中點，在△AMC中，由正弦定理可得△AMC的外接圓的半徑，進而可得球心到面AMC的距離，從而得再由解三角形知識求解△AMC的面積最大即可.因為PC⊥平面ABC,ACc平面ABC,所以PC⊥AC,所以O(shè)A=OC=OP,又∠ABP=90°,即PB⊥AB,所以O(shè)A=OB=OP,即三棱錐的外接球球心為AP的中點，球半徑點M在該三棱錐的外接球O的球面上運動，且滿足∠AMC=60°,在△AMC中，由正弦定理可得△AMC要使三棱錐要使三棱錐M-APC的體積最大，只需△AMC的面積最大即可.在△AMC中由余弦定理可得AC2=MA2+MC2-2MA·MCcos60=MA2+MC2-MA·MC≥MA·MC,所以2.(2022河南·模擬預(yù)測)在四棱錐S-ABCD中，側(cè)面SAD⊥底面ABCD,且SA=SD,∠ASD=90°,底面ABCD是邊長為2的正方形，設(shè)P為該四棱錐外接球表面上的動點，則三棱錐P-SAD的最大體積為【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合幾何關(guān)系，求得四棱錐S-ABCD外接球的球心位置以及球半徑，再求三棱錐P-SAD體積的最大值即可.【詳解】連接AC,BD交于點0,取AD中點為M,連接SM,OS,作圖如下：5M因為AS=DS,∠ASD=90°,又平面SAD⊥平面ABCD,D又四邊形ABCD為正方形，且0為對角線交點，故可得OA=OB=OC=OD,綜上所述，OA=OB=OC=OD=OS,故0為四棱錐S-ABCD的外接球的球心.則其外接球半徑3.(21-22高三上山西太原·階段練習)已知三棱錐B-ACD中，AB=BC=AC=2, BC的中點為E,DE的中點恰好為點A在平面BCD上的射影，則該三棱錐外接球半徑的平方為() 【分析】如圖，設(shè)點A在面BCD上的射影為點F,根據(jù)題意和勾股定理求出BF、AF,設(shè)球心到平面BCD的距離為h,利用勾股定理求出h,進而可得出結(jié)果設(shè)點A在面BCD上的射影為點F,則點F為DE的中點，所以所以設(shè)球心到平面BCD的距離為h,由BO=AO,在Rt△BOE和RIVAOM中，角形，點D是△A?B?C?的中心，則三棱錐D-ABC外接球球面與側(cè)面B?BCC?的交線所對圓心角的余弦【分析】先確定外接球的球心位置和半徑，再確定外接球球面與側(cè)面B?BCC?的交線的形狀，再利用余弦定理進行求解.【詳解】設(shè)M是VABC的中心，則三棱錐D-ABC的外接球的球心O在MD上，由AB=2√3得CM=2,MD=AA?=4.設(shè)球心0在側(cè)面BC,內(nèi)的射影為0,貝O到BC的距離為題型6二面角型外接球二面角型，多采用兩個外心垂線交線定球心法(1)選定一個面，定外接圓的圓心O?(2)選定另一個面，定外接圓的圓心O?;(3)分別過O?作該底面的垂線，過O?作該面的垂線，兩垂線交點即為外接球的球心O.1.(21-22高三·黑龍江哈爾濱階段練習)如圖，在三棱錐P-ABC,△PAC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且CB=2√2,AB=AC=√6,二面角P-AC-B的大小為120°,則三棱錐P-ABC的外接球表面B.10πC.9π圖形知，R2=AO2=(AO?)2+(O0?)2,再結(jié)合二面角大小求出0O?,進而得解.外心在AC中點，設(shè)為O?,設(shè)VABC的外心為0,BC中點為E,AO?=r,因為AB=AC=√6,所以0?必在AE連線上，則即因為兩平面交線為AC,O為平面ABC所在圓面中心，所以QQ⊥AC,錐體P-ABC外接球半徑則三棱錐P-ABC的外接球表面積為S=4πR2=10π,故選：BA2.(2024陜西西安·模擬預(yù)測)已知三棱錐A-BCD,AB=BC=2√3,E角，且∠AED為二面角A-BC-D的平面角，三棱錐A-BCD的外接球O表面積為則平面BCD被球O截得的截面面積及直線AD與平面BCD所成角的正切值分別為()【分析】利用球的截面的性質(zhì)，找出球心球心0,再根據(jù)條件求出球的半徑在Rt△OBF中，利用勾股定理，求出△BCD外接圓的半徑，即可求出截面面積，再求出DE的長，即可求出直線AD與平面BCD所成角的正切值，從而求出結(jié)果.【詳解】依題知AE⊥平面BCD,又BCc面BCD,所以AE⊥BC,又E為BC中點，取AC中點為G,連接BG交AE于H,則H是VABC外心，又過F作平面BCD的垂線，過H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐A-BCD外接球球心0,設(shè)球0半徑為OB=R,因為球O的表面積為,所以得到所以在RI△OBF中，所以平面BCD截球O的截面面積【分析】根據(jù)二面角的幾何法可得即可利用余弦定理以及正弦定理求解外接圓的半徑，根據(jù)勾股定理可得球半徑即可求解.角，故由于AB⊥PA,AB⊥AC,PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,故AB⊥平面PAC,故外接球的半徑故外接球的半徑當時，球的半徑取得最小值，此時三棱錐的外接球體積最小，B0MC故4.(22-23高三上全國·專題練習)四棱錐P-ABCD中，△ABP是等邊三角形，底面ABCD是矩形，二面角P-AB-C是直二面角，AB=2√3,若四棱錐P-ABCD的外接球表面積是20π,則PA,BD所成角的【答案】C【分析】利用外接球的表面積計算出AD,建立空間直角坐標系，利用向量的方法計算出PA,BD所成角的余弦值.【詳解】四棱錐P-ABCD外接球的表面積為4πr2=20π,r=√5.連接AC角BD于0,由于四邊形ABCD是矩形，所以01是矩形ABCD的外心，球心0在其正上方.設(shè)E是AB的中點，連接PE,由于△PAB是等邊三角形，所以PE⊥AB,由于平面PAB⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.由于AB=2√3,BE=AE=√3,所以PE=√3BE=3.設(shè)AD=a,!則所以泌DxZyEyB【點睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積有關(guān)計算，考查線線角的余弦值的求法，屬于中檔題.題型7動點翻折型外接球?qū)ⅰ鰽BD沿BD翻折到△A'BD的位置，使得A'C=2√2.空間四點A',B,C,D的外接球為球0,過N點作球O的截面α,則α截球O所得截面面積的最小值為()【分析】根據(jù)給定條件，確定球心O的位置并求出球半徑，再利用圓的截面性質(zhì)求出截面面積最小值.A'NDK【詳解】如圖，取BD的中點為0,O由正方形ABCD的邊長為4,得CD為直角頂點的等腰直角三角形，將該四邊形沿對角線AC折成四面體B-ACD,在折起的過程中，四面體的外接球體積最小值為()【詳解】如圖，設(shè)三棱錐B-【詳解】如圖，設(shè)三棱錐B-ACD的外接球球心為0,取AC的中點E,連接EB,ED,OB,OD,BoA.30πB.40πC.50πBBBBPPCMB0O外接圓的圓心，記為O?,∠APC=120°,PM=1,所以在△APC中，取AC的中點M,連接PM,則△APC的外心必在PM的延長線上，記為0?,所以在△APC中，因為∠APO?=60°,O?P=O?A,所以設(shè)外接球半徑為R,則4πR2=20π,解得：R2=5,設(shè)0為三棱錐P-ABC的外接球球心，則0O?⊥面所以00?=O?M=1,O?M=00?=1,所以四邊形00?MO?為平行四邊形，所以001/O?M,又因為O?M//BC,所以0O?//BC,又因為00?⊥面APC,A題型8特殊幾何體：四棱錐型招(1):確定球心O的位置，取△BCD的外心O?,則A,0,0?三點共線；(2):算出小圓O?的半徑AO?=r,算出棱錐的高AO?=h(即圓錐的高);(3):勾股定理：R2=(h-R)2+r2,RPA=PB=PC=PD=√5,設(shè)該四棱錐的外接球球心與內(nèi)切球球心分別為0?,O?,則O?O?的長為()由O?C2=OC2+002得，R2=2+(JPo?.D_CD_0所以,所以四棱錐表面積為S=4×2+22=12,長為2的正三角形，則四棱錐V-ABCD外接球表面積的最小值為()的球心為0,設(shè)00?=x,過0作與平面VDB的垂線，垂足設(shè)為E,則E為△VBD的中心，設(shè)OE=y,外接且圓心為BD的中點設(shè)為0?,設(shè)外接球的球心為0,則00?⊥平面ABCD,設(shè)00?=x,過0作與平面VDB的垂線，垂足設(shè)為E,連接VO,OB,AE,VDoCoAB的外接球球心O到底面ABCD的距離為1,則點P軌跡的長度為()A.πB.2π因為底面ABCD的中心為0?,所以00?⊥平面ABCD,且R=OD=OP=√5,0o【詳解】解：連接BD,交AC于點0,連接PO,則PO為正四棱錐P-ABCD的高，C連接PQ,∵P,Q不在平面ABCD的同一側(cè)，Q∴當PQ通過球心時，點Q到平面ABC的距離最大，即三棱錐Q-ABC的體積最大，【點睛】關(guān)鍵點點睛：由R2=(PO-R)2+OA2,求出正四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R,并由題意分析出當PQ通過球心時，點Q到平面ABC的距離最大，即三棱錐Q-ABC的體積最大是本題解題的關(guān)鍵.題型9特殊幾何體：圓錐型類比正棱錐，可以得帶圓錐型外接球。圓錐外接球模型圓錐求外接球，借助軸截面的對應(yīng)等腰三角形可求解1.1.(22-23高三上陜西西安階段練習)已知兩個圓錐側(cè)面展開圖均為半圓，側(cè)面積分別記為S,S?,且對應(yīng)圓錐外接球體積分別為V?,V2,則【分析】利用圓錐的體積公式及側(cè)面積公式，及圓錐的外接球半徑求法，即可得解.【詳解】設(shè)兩個圓錐的母線長分別為L,l?,高分別為h,h,底面圓的半徑分別為r?,r?,對應(yīng)圓錐的外接球半徑分別為R?,R?,又R2=r2+(h-R)2,化簡得h2+r2=2Rh,2.(22-23高三上·廣東東莞·期末)圓錐SD(其中S為頂點，D為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是2:1,則圓錐SD與它外接球(即頂點在球面上且底面圓周也在球面上)的體積比為A.9:32B.8:27C.9:22【答案】【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求得圓錐母線與底面圓半徑r的關(guān)系，從而得到圓錐的高與r關(guān)系，計算圓錐體積，由截面圖得到外接球的半徑R與r間的關(guān)系，計算球的體積，作比即可得到答案.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線長為I,則側(cè)面積為πrl,側(cè)面積與底面積的比為,則母線l=2r,圓錐的高為h=√2-r2=√3r,則圓錐的體積為設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,截面圖如圖，則OB=OS=R,OD=h-R=√3r-R,BD=r,在直角三角形BOD中，由勾股定理得OB2=OD2+BD2,即R2=r2+(√3r-R)2,展開整理得r,所以外接球的體積為S故所求體積比為故選ABD【點睛】本題考查圓錐與球的體積公式的應(yīng)用，考查學生計算能力，屬于中檔題.Co3.(2024河南洛陽·模擬)設(shè)一圓錐的外接球與內(nèi)切球的球心位置相同，且外接球的半徑為2,則該圓錐的體積為A.πB.3π【詳解】由題意得圓錐的軸截面為正三角形，其外接圓半徑為2,所以圓錐底面半徑為√3,高為3,體積為4.(24-25高三·廣東清遠·期末)如圖，底面半徑為2的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則該圓錐的外接球表面積為_【答案】【答案】π【分析】根據(jù)題意，以母線長為半徑繞一圈可帶動底面圓走三圈，推知母線長后即可求解.【詳解】設(shè)圓錐母線長1,底面半徑為r,依題意，2πl(wèi)=3×2πr,即l=6,因此圓錐軸截面等腰三角形底角θ,此三角形外接圓半徑即為圓錐的外接球半徑此三角形外接圓半徑即為圓錐的外接球半徑所以該圓錐的外接球表面積為故答案為：題型10特殊幾何體：棱臺型正棱臺外接球，以棱軸截面為主。,其中r,r?,h分別為圓臺的上底面、下底面、高.基本規(guī)律：正棱臺外接球，以棱軸截面為主1.(25-26高三上·廣東肇慶·開學考試)已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為√2、2√2,體積為則該四棱臺的外接球表面積為()【分析】如圖，根據(jù)正四棱臺及其外接球的性質(zhì)，可知球心0位于正四棱臺上、下底面對角線中點0,O?的連線上，O?O?垂直于上下底面，結(jié)合已知條件求出上下底面的面積及|OC|,|O?C|,根據(jù)已知條件結(jié)合體積公式得出正四棱臺的高h=|0O?|=2,因為|OC|=|oC|=R,設(shè)|00|=x,根據(jù)勾股定理構(gòu)造關(guān)于x的方程，求出x從而計算出R2值，根據(jù)S=4πR2求出外接球的表面積.如圖所示，正四棱臺A?B?C?D?-ABCD的外接球半徑OC,設(shè)|oC|=R,根據(jù)正四棱臺及其外接球的性質(zhì)可知，球心0位于正四棱臺上、下底面對角線中點O,O?的連線上，0?O?垂直于上下底面，且上下底面均為正方形，則SABCSABC,=IAD||AB|=√2×√2=2,SAnco=|AD||IAB|=2√2×2√2=8,設(shè)正四棱臺的高為h,則h=|Q02l.正四棱臺的外接球表面積為()A.80πB.91π【分析】根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)找到其外接球的球心，然后設(shè)球心為0,點O距離下底面的高度為x.根據(jù)題意列出方程，求解即可.【詳解】由題意可知，正四棱臺外接球的球心在其上、下底面正方形的示，設(shè)球心為0,點O距離下底面的高度為x.D?B?oA設(shè)棱臺的外接球的半徑為R,根據(jù)勾股定理可得R2=(4√6-x)2+(2√2)2=x2+(4√2)2,解得D..A?CC3.(2025·河南南陽·模擬預(yù)測)已知正三棱臺ABC-AB?C的上、下底面邊長分別為1和2,且體積不大于于,若該棱臺的外接球球心0位于棱臺內(nèi)部(不含表面),則外接球表面積的取值范圍是【分析】根據(jù)給定條件，求出正三棱臺高的范圍，再利用球的截面性質(zhì)建立方程，求出球半徑的范圍即可.【詳解】如圖，令正三棱臺ABC-A?B?C?上下底面正三角形中心分別為0,0?,設(shè)正三棱臺ABC-AB?C?的高為h,則解得0<h≤√3,設(shè)球O的半徑為R,顯然球心0在線段O?O?上(不含端點)解得且而當且僅當h=1時取等號，得所以外接球表面積的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.4.(22-23高三上·浙江紹興·期末)如圖，正四棱臺ABCD-A?B?C?D?,上下底面分別是邊長為4,6的正方形，若|AA|∈[√3,3√3],則該棱臺外接球表面積的取值范圍是【分析】求出正四棱臺的上下底面外接圓半徑，根據(jù)|AA|∈[√3,3√3]求出正四棱臺的高h的范圍，再根據(jù)球的性質(zhì)，利用勾股定理可求出結(jié)果.【詳解】由題意得正四棱臺的上下底面外接圓半徑分別為設(shè)正四棱臺的外接球半徑為R,球心到上下底面的距離分別為d?和d?,當球心在上下底面之間時，d?+d?=h,當球心不在上下底面之間時，d?-d?=h,所以d?±d?=h,又r2+a2=R2,r2+d2=R2,則d?=√R2-2=√R2-8,d?=√R2-r22=√R2-18,高所以h2±2h√R2-18+R2-18=R2-8招解招1.(24-25高三下·貴州貴陽·階段練習)已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為2和4,母線長為6,則此圓臺外接球與內(nèi)切球表面積之比為()BMBA0外接球球心0在中軸線MN上.由勾股定理可知，MN=√62-(4-2)2=4√2,0CDCN設(shè)OA=OD=R,OM=x,則解得MAE先設(shè)MN的中點O'到AD的距離為d,O'OBCDCN再用等面積法可得：則有：則有：6d=(2+4)×4√2-2×2√2-所以，該圓臺外接球和內(nèi)切球表面積之比為 【分析】根據(jù)相切結(jié)合勾股定理可得R2=4+9h2=36+h2,即可求解h=2,R=2√10,由圓臺和球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓臺0?O?的高為4h,外接球半徑為R,作出軸截面如圖：0?O?的上、下底面面積分別為4π,36π,則圓O,O?的半徑分別為2,6,心，則圓臺的體積與外接球的體積之比為()【分析】假設(shè)圓O?的半徑，則圓O?的半徑可知，進而通過勾股定理可求圓臺的高，分別利用圓臺和球的體積計算即可.【詳解】過O?O?作圓臺的軸截面，如圖所示∵O?為該圓臺外接球球心，且圓O?的半徑是圓O?半徑的2倍，A4.(24-25高二上湖北期中)已知圓臺上、下底面半徑分別為1和2,母線與底面所成角為45°,則圓臺【分析】根據(jù)題意結(jié)合軸截面可知O?O?=1,即可得圓臺的體積，根據(jù)圓臺的結(jié)構(gòu)特征列式求球的半徑和體積，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：上底面半徑r=1,下底面半徑r?=2,1Co由軸截面可知：∠ABC=45°,可知O?O?=1,設(shè)外接球的半徑為R,則即解得(假設(shè)球心在圓臺內(nèi)，則此時無解)DB題型12特殊幾何體：不規(guī)則型1.(2023·天津一模)如圖，幾何體Ω為一個圓柱和圓錐的組合體，圓錐的底面和圓柱的一個底面重合，圓錐的頂點為A,圓柱的上、下底面的圓心分別為B、C,若該幾何體Ω存在外接球(即圓錐的頂點與底面圓周在球面上，且圓柱的底面圓周也在球面上)已知BC=2AB=4,則該組合體的體積等于()【分析】由組合體的特征確定球心在BC中點，再由R得出底面半徑，進而得出組合體體積.【詳解】設(shè)該組合體外接球的球心為0,半徑為R,易知球心在BC中點，則R=AO=2+2=4.則圓柱的底面半徑為r=√42-(4-2)2=2√3,4BCD2.(21-22高一下新疆伊犁·期末)在六面體ABCD-EFGH中，已知四邊形ABCD與EFGH都是矩形，平面ABCD//平面EFGH,它們之間的距離為1,AB=2√6,AD=2√2,EH=√15,EF=√5,若六面體ABCD-EFGH有外接球，則該六面體的外接球的體積為()CCA.12πB.24πC.36π【分析】設(shè)六面體ABCD-EFGH的外接球的球心為0,六面體ABCD-EFGH的上，下底面的對角線的交點為0,0?,該六面體的外接球的為R,0O?=h,利用球的性質(zhì)結(jié)合條件可得R2=h2+(2√2)2,R2=(h+1)2+(√5),,進而即得.【詳解】設(shè)六面體ABCD-EFGH的外接球的球心為0,六面體ABCD-EFGH的上，下底面的對角線的HOC則0,0,O?在一條直線上，00?⊥平面EFGH,0O?⊥平面BOABCD,O?O?=1,連接O?E,O?A,OE,OA,又AB=2√6,AD=2√2,EH=√15,EF=√5,該六面體的外接球的體積為下G3.(2024·四川綿陽·模擬預(yù)測)六氟化硫，化學式為SF?,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m,則下列錯誤的是()FFFFeFFFA.該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為2πm2B.該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為【分析】分析正八面體結(jié)構(gòu)特征，計算其表面積，體積，外接球半徑，內(nèi)切球半徑，驗證各選項.【詳解】對A:底面中心S到各頂點的距離相等，故S為外接球球心，外接球半徑故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積。S'=π×(√2m2=2πm2,故A正確；對D:連接AS,PS,則PS⊥底面ABCD,故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積,故D錯誤；對C:由題知，各側(cè)面均為邊長為m的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積對B:底面中心S到各面頂點的距離相等，故S為內(nèi)切球球心，設(shè)該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑r,則所以F(D)F(C)F(A)SF(B)F體的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為3a的得到所有棱長均為a的截角四面體，現(xiàn)給出下列四個命題：①二面角A-BC-D的余弦值為;②該截角四面體的體積為;③該截角四面體的外接球表面積為④該截角四面體的表面積為6√3a2,則其中正確命題的個數(shù)為()【分析】根據(jù)二面角的定義，結(jié)合球的表面積公式、棱錐的表面積公式和體積公式逐一判斷即可.【詳解】如下圖所示：設(shè)VABC的中心為O',△NPQ的中心為O”,取BC的中點為W,分別連接SW和OW,因為SW⊥BC,OW⊥BC,所以所以所以二面角S-BC-A的余弦值為所以二面角A-BC-D的余弦值為故①正確正確；設(shè)外接球的球心為0,VABC的中心為O',△NPQ的中心為0”,所以所以所以所以所以故③正確；由正四面體S-NPQ中，題中截角四面體由4個邊長為a的正三角形及4個邊長為a的正六邊形構(gòu)成，故故④錯誤.SCDLLHP題型13內(nèi)切球一、三角形內(nèi)切圓二、類比：三棱錐1.(24-25高三·福建福州·階段練習)已知正四棱錐P-ABCD中，各棱長均相等，球O?是該四棱錐的內(nèi)切球，球O?與球O?相切，且與該四棱錐的四個側(cè)面也相切，則球O?與球O?的表面積之比為()A.7+4√3A.7+4√3B.9C.4+2√3【分析】過已知正四棱錐頂點及底面正方形一組對邊中點作截面，將問題轉(zhuǎn)化為三角形及內(nèi)部一系列圓相切問題求解作答.【詳解】PM在正四棱錐P-ABCD中，令各棱長為2,0為正方形ABCD的中心，M,Q分別為邊AB,CD的中點，過點P,M,Q的平面截正四棱錐P-ABCD得等腰△PMQ,截球O?,球O?,得對應(yīng)球的截面大圓，如PPTN0設(shè)球O?與球O?相切于點T,則PT=PO-2R?=(√3-1)R?,故選：AMLQ2.2.(24-25高三下·重慶北碚·階段練習)正六棱臺的上、下底面的邊長分別是2和6,且正六棱臺存在內(nèi)切球(與正六棱臺的各個面都相切),則它的側(cè)棱長是()【分析】設(shè)所求為a,用a表示出正六棱臺的體積、表面積，設(shè)內(nèi)切球半徑為r,可用等體積法表示出r,另外一方面r等于正六棱臺的高，由此可構(gòu)建方程求解a.因為正六邊形的每一個內(nèi)角為所以,又因為O?C?=O?D?,所以三角形QC?D,是等邊三角形，所以QD?=2,同理OD=6,所以00,=Ja2-(6-2)2=√a2-16,由V>0,a>0→a>4,表面積為設(shè)內(nèi)切球半徑為r,則由等體積法可得，所以,又ABO?與球O?相切，且與該四棱錐的四個側(cè)面也相切；球O?與POCAP【分析】過已知正四棱錐頂點及底面正方形一組對邊中點作截面，將問題轉(zhuǎn)化為三角形及內(nèi)部一系列圓相切問題求解作答.P在正四棱錐P-ABCD中，令各棱長為2,O為正方形ABCD的中心，M,Q分別為邊AB,CD的中點，圓，如圖：PSN0MLQ0令N為圓O?與PM相切的切點，則O?N⊥PM,設(shè)球O的半徑為R?,即O?N=R?,設(shè)球O?與球O?相切于點T,則PT=設(shè)球O?的半徑為R?,同理可得PT=(J3+1)R?,即R?=(2-√3)R?,設(shè)球O?與球O?相切于點S,則PS=PT-2R?=(3√3-5)R?,4.(23-24高三·福建龍巖階段練習)已知球O內(nèi)切于圓臺EF,其軸截面如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AB/ICD,且CD=2AB=6,則圓臺EF的體積為()0D,S-=π×32=9π,h=BG=3√2連接EF,則EF⊥DC,過BG⊥DC于G.四邊形EBCG為矩形.ArC2√6,側(cè)棱長為3,則此正三棱錐的棱切球半徑為()設(shè)正三棱錐的棱切球球心為0,半徑為R,則頂點S在底面的投影為N也為VABC的中心，取AB的中SHokB又因為SH+HC=SC,則化簡得的外接圓上的一點，則線段MN的取值范圍是(【分析】分別求得正方體的棱切球與外接球半徑，M點在而線段MN的最大值與最小值為兩個球半徑和與差.【詳解】因為棱長為2的正方體的體對角線為其外接球直徑，而面對角線為其棱切球的直徑，且正方體的所以正方體外接球和棱切球的半徑分別為R=√3和r=√2,ABCD存在棱切球，且AB=AD=6,AC=CD=8,則該四面體的體積為,棱切球的半徑【分析】先根據(jù)切線長公式求得發(fā)現(xiàn)該四面體的對棱長度之和相等得BD=6,BC=8,進而得該四面體是一個底面邊長為6,側(cè)棱長為8的正三棱錐，再結(jié)合體積公式與棱切球的知識求解即可.【詳解】設(shè)棱切球的球心為I,棱切球的半徑為r,該棱切球I與棱AB,BD,CD,BC,AD,AC的切點分別為M,N,P,Q,S,K,則IM=IN=IP=IQ=IS=IK=r,因為IK⊥AC,IS⊥AD,IM⊥AB,所以，根據(jù)切線長公式