5/5專題01集合與常用邏輯用語（11知識&17題型&5易錯&4方法清單）常用邏輯用語常用邏輯用語充分性與必要性全稱量詞與存在量詞充分不必要條件全稱量詞與全稱量詞命題必要不充分條件既不充分也不必要條件充要條件存在量詞與存在量詞命題全稱量詞命題的否定存在量詞命題否定【清單01】元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto)：如果是集合的元素，就說屬于，記作.(2)不屬于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.特別說明：表示一個元素，表示一個集合.它們間的關(guān)系為：.【清單02】集合的表示方法（1）自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時注意：（3）描述法定義：一般地，設(shè)表示一個集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．（4）（韋恩圖法）：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖?！厩鍐?3】子集1子集：一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個集合是它本身的子集，即.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【清單04】真子集如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個集合都不是是它本身的真子集.②對于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【清單05】并集一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合稱為集合與集合的并集，記作（讀作：并）.記作：.并集的性質(zhì)：,,,,.高頻性質(zhì)：若.圖形語言【清單06】交集一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.交集的性質(zhì)：,,,,.高頻性質(zhì)：若.圖形語言【清單07】全集與補(bǔ)集全集：在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.補(bǔ)集：設(shè)是全集，是的一個子集（即）,則由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中子集的補(bǔ)集，記作，即.補(bǔ)集的性質(zhì)：,,.【清單08】德摩根律(1)(2)【清單09】容斥原理一般地，對任意兩個有限集,進(jìn)一步的：【清單10】充分條件與必要條件（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；（2）若且，則是的充分不必要條件；（3）若且，則是的必要不充分條件；（4）若，則是的充要條件；（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.【清單11】全稱量詞命題與存在量詞命題1全稱量詞命題及其否定（高頻考點(diǎn)）①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數(shù)學(xué)語言：.②全稱量詞命題的否定：.2存在量詞命題及其否定（高頻考點(diǎn)）①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學(xué)語言：.②存在量詞命題的否定：.【題型一】元素與集合的關(guān)系【例1】（24-25高一上·湖南·期中）若集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別計算出每項中、的對應(yīng)的值后，檢驗其是否符合即可得解.【詳解】對A：有，解得，由時，，故，故A錯誤；對B：有，解得，由時，，故，故B正確；對C：有，解得，由時，，故，故C錯誤；對D：有，解得，由時，，故，故D錯誤.故選：B.【變式1-1】（23-24高一上·天津河北·期中）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)各個符號表示的含義及元素與集合的關(guān)系逐個分析判斷即可.【詳解】A.因為為有理數(shù)，所以，選項A正確，B.因為為無理數(shù)，所以是實數(shù)，所以，選項B錯誤，C.因為0不是正整數(shù)，所以，選項C錯誤，D.因為為無理數(shù)，所以，選項D錯誤.故選：A【題型二】集合元素的互異性應(yīng)用【例2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，則．【答案】1【分析】根據(jù)給定的元素與集合關(guān)系列式，結(jié)合集合元素的互異性求解.【詳解】由集合，，得或，當(dāng)時，，此時，不符合題意，；當(dāng)時，顯然，解得，集合，符合題意，所以.故答案為：1【變式2-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，則實數(shù).【答案】【分析】由已知集合的元素，分類討論求參數(shù)值，再根據(jù)集合的性質(zhì)確定的值.【詳解】若，則，此時集合違背互異性，不符合要求；若，則，此時，符合要求；若，則，此時集合違背互異性，不符合要求；綜上所述，.故答案為：.【題型三】列舉法與描述法【例3】（24-25高一上·湖南邵陽·期中）若，則集合可用列舉法表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用列舉法表示集合，可得結(jié)果.【詳解】因為，則.故選：D.【變式3-1】（23-24高二下·浙江寧波·期中）用列舉法表示集合的結(jié)果為.【答案】【分析】根據(jù)題意可知為的約數(shù)，求得的取值，用列舉法表示集合即可.【詳解】由可知為的約數(shù)，所以，因為，所以，此時，集合為.故答案為：.【題型四】根據(jù)集合元素的個數(shù)求參數(shù)【例4】（24-25高一上·四川達(dá)州·期中）如果集合中只有一個元素，則實數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．0或2 D．1或2【答案】C【分析】分兩種情況討論集合中方程根的情況，從而確定實數(shù)m的值.【詳解】當(dāng)時,方程變?yōu)?，解得，滿足集合有且只有一個元素.當(dāng)時，方程是一元二次方程.因為集合有且只有一個元素，所以.解得.綜上，實數(shù)的值為或.故選：C.【變式4-1】（多選）（23-24高一上·福建·期中）集合只有一個元素，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】分類討論：，然后求解出的取值即可.【詳解】當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，若中僅有一個元素，則，此時，若，則，滿足，若，則，滿足，故選：ABD.【題型五】子集、真子集的個數(shù)【例5】（24-25高一上·江蘇常州·期中）滿足?的集合A的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系直接得出結(jié)果.【詳解】集合A可以是，共3個.故選：B.【變式5-1】（24-25高一上·河北邯鄲·期中）定義非空數(shù)集的“和睦數(shù)”如下：將中的元素按照遞減的次序排列，然后將第一個元素交替地加上、減去后繼的數(shù)所得的結(jié)果.例如，集合的“和睦數(shù)”是，的“和睦數(shù)”是，的“和睦數(shù)”是1.對于集合，其所有非空子集的“和睦數(shù)”的總和為（

）A．82 B．74 C．12 D．70【答案】A【分析】分別列舉子集，根據(jù)“和睦數(shù)”的定義，即可求解每種情況的“和睦數(shù)”，相加即可求解.【詳解】，非空子集有個.當(dāng)子集為單元素集，，，時，“和睦數(shù)”分別為1，2，3，6，和為12；當(dāng)子集為雙元素集，，，，，時，“和睦數(shù)”分別為3，4，7，5，8，9，和為36；當(dāng)子集為三元素集，，，時，“和睦數(shù)”分別為4，7，8，7，和為26；當(dāng)子集為四元素集時，“和睦數(shù)”為.故“和睦數(shù)”的總和為.故選：A【題型六】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【例6】（24-25高一上·云南·期中）已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)的值為或(2)【分析】（1）由條件可得，代入計算，然后檢驗，即可得到結(jié)果；（2）化簡集合，分，以及討論，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，將代入中的方程，得，解得或，當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，，滿足條件，綜上，的值為或.（2）對于集合，.當(dāng)，即時，，此時；當(dāng)，即時，，此時；當(dāng)，即時，要想使，則，此時，該方程組無解，綜上的取值范圍是.【變式6-1】（24-25高二下·天津濱海新·期中）已知集合，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分情況討論集合是否為空集，再根據(jù)集合間的包含關(guān)系列出不等式組求解，最后綜合兩種情況得出的取值范圍.【詳解】當(dāng)為空集時，時.解不等式，可得.因為空集是任何集合的子集，所以當(dāng)時，.當(dāng)不為空集時，時，解不等式，可得.此時，要使，那么集合中的元素都要滿足集合的范圍.

已知，，所以需滿足.解不等式，可得.綜合可得，又因為前提是，所以取交集得.綜合兩種情況，將和兩種情況綜合起來，取并集可得.能使成立的所有組成的集合為，故選：C.【題型七】集合的運(yùn)算【例7】（24-25高二下·河北·期中）已知全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求全集，進(jìn)而求，最后根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】依題意得，，，所以．故選：C.【變式7-1】（24-25高一下·浙江紹興·期中）已知全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合運(yùn)算直接求解即可.【詳解】因為，，所以，因為，所以.故選：D【題型八】根據(jù)集合交集運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)【例8】（24-25高一上·天津·期中）已知集合，.(1)當(dāng)時，求和；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）應(yīng)用集合的交補(bǔ)運(yùn)算求集合；（2）根據(jù)題設(shè)有，討論、列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，或，則，；（2）由，且，則，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；所以.【變式8-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，．(1)當(dāng)時，求，；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)交集、并集的定義計算可得.（2）分類討論和兩種情況，分別求出對應(yīng)的的取值范圍即可；【詳解】（1）當(dāng)時，又，所以，；（2）當(dāng)時，由，解得，滿足，符合題意；當(dāng)時，可得或，解得或．綜上，實數(shù)的取值范圍是或．【題型九】根據(jù)集合的并集結(jié)果求參數(shù)【例9】（24-25高一上·廣東梅州·期中）已知集合，集合.(1)求，，；(2)設(shè)集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)集合的運(yùn)算法則計算可得；（2）依題意可得，再根據(jù)集合的包含關(guān)系得到不等式，解得答案.【詳解】（1）因為，，所以，，，則；（2）因為,所以，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.【變式9-1】（23-24高一上·福建福州·期中）已知集合，．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分類討論B是否為空集計算即可；（2）利用補(bǔ)集、并集的概念化條件為，計算即可.【詳解】（1）若，則，即時，此時顯然符合題意；若，則，要滿足，則，解得，綜上所述實數(shù)a的取值范圍為；（2）由題意可知若，則，所以有，解之得，則實數(shù)a的取值范圍.【題型十】根據(jù)集合的補(bǔ)集結(jié)果求參數(shù)【例10】（23-24高一上·四川樂山·期中）記全集，已知集合，．(1)若，求；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)．【分析】（1）集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算計算得出結(jié)果；（2）根據(jù)已知條件，求解參數(shù)范圍【詳解】（1）由，得，方法1：可得或，由題，有或，所以或．方法2：則，所以，或．（2）依題意，或，因為，所以解得，故的取值范圍為．【變式10-1】（23-24高二下·江西南昌·期中）設(shè)集合，，(1)若，求，；(2)若中只有一個整數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)條件得到，再利用集合的運(yùn)算即可求出結(jié)果；（2）由（1）知或，根據(jù)條件，借助數(shù)軸，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，又，所以或，所以，．（2）由（1）知或，又中只有一個整數(shù)，由圖知，，且，+解得，所以實數(shù)m的取值范圍是．【題型十一】圖的應(yīng)用【例11】（24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動會在巴黎法蘭西體育場落下帷幕.中國體育代表團(tuán)在巴黎奧運(yùn)會獲得40金、27銀、24銅共91枚獎牌，取得了我國1984年全面參加夏季奧運(yùn)會以來境外參賽歷史最好成績.小明統(tǒng)計了班級60名同學(xué)對游泳、跳水、乒乓球這三類體育項目的喜歡情況，其中有20名同學(xué)同時喜歡這三類體育項目，18名同學(xué)不喜歡乒乓球，20名同學(xué)不喜歡跳水，16名同學(xué)不喜歡游泳，且每人至少喜歡一類體育項目，則至少喜歡兩類體育項目的同學(xué)的人數(shù)為（

）A．26 B．46 C．28 D．48【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，畫出韋恩圖，利用容斥原理列式計算即得.【詳解】設(shè)只喜歡游泳、跳水、乒乓球的同學(xué)的人數(shù)分別為，喜歡游泳和跳水兩樣的同學(xué)的人數(shù)為，喜歡游泳和乒乓球兩樣的同學(xué)的人數(shù)為，喜歡跳水和乒乓球兩樣的同學(xué)的人數(shù)為，如圖，則，②+③+④得⑤，①⑤得，所以至少喜歡兩類體育項目的同學(xué)的人數(shù)為.故選：B【變式11-1】（24-25高一上·廣東廣州·期中）廣州奧林匹克中學(xué)第5屆（總第35屆）學(xué)校運(yùn)動會于2024年11月7日至8日在車陂路校區(qū)和智谷校區(qū)同時舉行，本屆校運(yùn)會，初中新增射擊比賽項目，初一某班共有28名學(xué)生參加比賽，其中有15人參加田賽比賽，有14人參加徑賽比賽，有8人參加射擊比賽，同時參加田賽和射擊比賽的有3人，同時參加田賽和徑賽比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，只參加一項比賽的有（

）人.A．3 B．9 C．19 D．14【答案】C【分析】畫出韋恩圖求解即可.【詳解】解：設(shè)只參加射擊的人數(shù)為x，同時參加射擊和徑賽比賽的人數(shù)為y，只參加徑賽的人數(shù)為z，作出韋恩圖，如圖所示：則由韋恩圖得：，解得，所以只參加一項比賽的有人.故選：C.【題型十二】判斷充分性與必要性【例12】（23-24高一上·北京·期中）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解絕對值不等式，結(jié)合充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系即可.【詳解】由，可得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A【變式12-1】（24-25高一上·四川眉山·期中）若，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得滿足條件的集合A，再根據(jù)必要不充分條件定義即可得解.【詳解】由可得，因為集合是集合的真子集，所以是的必要不充分條件.故選：C.【題型十三】根據(jù)充分性與必要性求參數(shù)【例13】（24-25高一上·廣東東莞·期中）已知集合，(1)寫出的所有子集；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得再由子集的概念逐個列舉即可；（2）由，列出不等式求解即可.【詳解】（1）由題意，所以的子集有：.（2）由題意可得：,故，解得：.【變式13-1】（24-25高一上·江蘇宿遷·期中）設(shè)為實數(shù)，集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；或(2)【分析】（1）可知，結(jié)合集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算求解即可；（2）分析可知集合B是集合A的真子集，結(jié)合包含關(guān)系列式求解即可.【詳解】（1）若，則，且，可得，，所以或.（2）若“”是“”的必要不充分條件，可知集合B是集合A的真子集，顯然集合B不是空集，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【題型十四】判斷全稱（存在）量詞命題的真假【例14】（多選）（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命題中是真命題的有（

）A．B．C．“”是“”的充分不必要條件D．“四邊形為菱形”是“四邊形為正方形”的充分不必要條件【答案】ABC【分析】對A配方即可判斷；對B，求解方程即可判斷；對C，解出一元二次不等式即可判斷；對D，根據(jù)菱形和正方形關(guān)系即可判斷.【詳解】對于A項，因為，所以，此命題為真命題，A正確；對于B項，由，解得或1，所以命題“”為真命題，B正確；對于C項，由，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，C正確；對于D項，由“四邊形為菱形”不能推出“四邊形為正方形”，充分性不成立，但由“四邊形為正方形”可以推出“四邊形為菱形”，必要性成立，D錯誤，故選：ABC.【變式14-1】（多選）（24-25高一上·山東聊城·期中）下列說法中錯誤的有（

）A．命題，，則命題的否定是，B．“”是“”的必要條件C．命題“，”是真命題D．“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件【答案】ABD【分析】對于A，利用含量詞的命題的否定規(guī)定易得；對于B，舉反例排除即可；對于C，舉例子說明即得；對于D，先求出“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的等價條件，再利用充要條件判斷即可.【詳解】對于A，由存在量詞命題的否定的規(guī)定，可知命題的否定是，，故A錯誤；對于B，由不能推出，例如，但，所以“”不是“”的必要條件，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，故C正確；對于D，因函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于，由可以推出，但不能推出，故“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故D錯誤.故選：ABD.【題型十五】根據(jù)全稱（存在）量詞命題的真假求參數(shù)【例15】（24-25高一上·湖北·期中）已知“方程至多有一個解”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．無法確定【答案】B【分析】由題可知“方程至少有兩個解”為真命題，求解即可.【詳解】由題可知“方程至少有兩個解”為真命題，，，，綜上且．故選：B.【變式15-1】（23-24高一上·江西·期中）命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出命題為真的充要條件，然后根據(jù)必要不充分條件的定義判斷．【詳解】當(dāng)時，，則當(dāng)時，取得最大值，依題意，，解得，因此命題“，”為真命題的充要條件是，C不是；顯然，分別是該命題為真命題的一個充分不必要條件，AB不是；是該命題為真命題的一個必要不充分條件，D是．故選：D【題型十六】集合新定義題（小題）【例16】（24-25高一上·廣東·期中）已知，對于，且，則稱為的“孤立元”．給定集合，則的所有子集中，只有一個“孤立元”的集合的個數(shù)為（

）A．5 B．7 C．13 D．15【答案】C【分析】根據(jù)“孤立元”概念，分類討論求解即可.【詳解】已知集合，“孤立元”為1的集合為，，，；“孤立元”為2的集合為，；“孤立元”為3的集合為；“孤立元”為4的集合為，；“孤立元”為5的集合為，，，；綜上，滿足題意的集合有13個.故選：C.【變式16-1】（24-25高一上·海南省直轄縣級單位·期中）定義：已知集合滿足，，都有，則稱集合對于這種*運(yùn)算是封閉的．下列論述錯誤的是（

）A．若，則對于加法“＋”封閉 B．若，則對于減法“－”封閉C．若，則對于乘法“×”封閉 D．若，則對于除法“÷”封閉【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)新定義，結(jié)合數(shù)的加減乘除性質(zhì)判斷各項正誤.【詳解】A：任意兩個自然數(shù)相加必是自然數(shù)，所以對于加法“＋”封閉，對；B：任意兩個實數(shù)相減必是實數(shù)，所以對于減法“－”封閉，對；C：任意兩個有理數(shù)相乘必是有理數(shù)，所以對于乘法“×”封閉，對；D：對于除數(shù)是0的情況，任何數(shù)除以0沒有意義，故對于除法“÷”不封閉，錯.故選：D【題型十七】集合新定義題（解答題）【例17】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是實數(shù)集的非空子集，若，則稱集合為閉集合.(1)若集合均是閉集合.求證：是閉集合；(2)若集合均是閉集合.集合一定是閉集合嗎？如果是請證明，如果不是請舉出反例；(3)若均是閉集合，且都是的真子集.求證：存在常數(shù)，但.【答案】(1)證明見解析(2)不一定，舉例見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)閉集合定義及集合交集運(yùn)算即可證明；（2）根據(jù)閉集合定義及集合并集運(yùn)算即可判斷；（3）根據(jù)閉集合定義、真子集及集合并集運(yùn)算即可證明.【詳解】（1）且為閉集知：，成立，故而，從而命題成立.（2）取，知不一定是閉集合.（3）若或，且均是的真子集，命題顯然成立，故不妨設(shè)存在滿足，且存在滿足,取知，否則或者而得出矛盾，故命題成立.【變式17-1】（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）對于一個四元整數(shù)集，如果它能劃分成兩個不相交的二元子集和，滿足，則稱這個四元整數(shù)集為“有趣的”．(1)寫出集合的一個“有趣的”四元子集：(2)證明：集合不能劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集：(3)證明：對任意正整數(shù)，集合不能劃分成個兩兩不相交的“有趣的”四元子集．【答案】(1)（符合要求即可）(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)四元整數(shù)集定義寫出即可；（2）假設(shè)可以劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集，再根據(jù)每個子集中均有兩個偶數(shù)證明不成立即可；（3）假設(shè)可以劃分為個兩兩不相交的“有趣的”四元子集，再根據(jù)每個子集中均有兩個偶數(shù)證明不成立即可.【詳解】（1）（符合要求即可）：（2）假設(shè)可以劃分，和一定是一個奇數(shù)一個偶數(shù)，中至多兩個偶數(shù).則對于的一種符合要求的劃分和每個四元子集中均有兩個偶數(shù)．若兩個集合分別為和則或，不存在使得符合要求：若兩個集合分別為和則或，不存在使得符合要求：若兩個集合分別為和則或，不存在使得符合要求；綜上所述，不能劃分為兩個不相交的“有趣的”四元子集，（3）假設(shè)可以劃分為個兩兩不相交的“有趣的”四元子集．每個子集中至多兩個偶數(shù)，又中恰有個偶數(shù)，每個子集中均有兩個偶數(shù)，對于，可設(shè)其中是偶數(shù)，為奇數(shù)，再由奇偶性，只能是．且矛盾．不能劃分為個兩兩不相交的“有趣的”四元子集．【題型一】容易忽視集合元素互異性【例1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，，若，則等于（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合相等即元素相同解出，再根據(jù)集合元素互異性求出值.【詳解】由有，解得或3，當(dāng)時，與集合元素的互異性矛盾，舍去.當(dāng)時，，滿足題意.故選：C.【變式1-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，則的值為（

）A．0 B．1C． D．1或【答案】B【分析】利用集合相等和集合中元素的互異性，以已知的為突破口，分類討論求出的值.【詳解】集合，兩個集合中元素完全相同，由，則有，得，有，所以，由集合中元素的互異性，有，得，則有.故選：B.【變式1-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】根據(jù)集合間的基本關(guān)系得出，再代入驗證.【詳解】由，知是的子集，所以或或.由集合中元素的互異性，知，所以，故，.從而，而，故.經(jīng)驗證滿足條件.故答案為：.【題型二】子集關(guān)系容易忽略空集【例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合.(1)若，求，；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)，或(2)【分析】（1）根據(jù)集合并集以及補(bǔ)集的定義求解即可；（2）分和求解即可.【詳解】（1）若，則，所以，或；（2）若，①當(dāng)時，，解得；②當(dāng)時，，解得，綜上，，所以的取值范圍為.【變式2-1】（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知為常數(shù)，集合，集合，且，則的所有取值構(gòu)成的集合元素個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，由，分與討論，分別求解的值即可.【詳解】集合，化簡求值可得，當(dāng)時，，此時集合無解，即當(dāng)時，時，即解之得，，即解之可得，所以根據(jù)集合元素的性質(zhì)可得元素個數(shù)為個.故選：C【變式2-2】（24-25高一上·廣東江門·期中）已知集合，.(1)求，；(2)設(shè)集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，或(2)【分析】（1）先求出集合，再根據(jù)交集、補(bǔ)集、并集的定義求解即可；（2）由得，進(jìn)而分、兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）依題意得：，或，所以.而或，故或.（2）因為集合，且，所以.①若，則，解得；②若，則需使，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【題型三】忽視了集合元素代表元素【例3】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列舉法表示．【答案】【分析】利用列舉法來求得正確答案.【詳解】依題意，，所以和都是自然數(shù)，所以.故答案為：【變式3-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知，則集合的真子集的個數(shù)是.【答案】【分析】利用列舉法表示集合，確定集合的元素個數(shù)，即可得出集合的真子集的個數(shù).【詳解】當(dāng)時，，則，若使得，則，所以，即集合的元素個數(shù)為，因此集合的真子集個數(shù)為.故答案為：.【變式3-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，則集合可以用列舉法表示為.【答案】【分析】由條件可得為的正約數(shù)，且，由此確定結(jié)論.【詳解】因為，所以為的正約數(shù)，且，所以或或或，所以或或或，所以.故答案為：.【題型四】利用數(shù)軸求參數(shù)時忽略了端點(diǎn)值【例4】（25-26高一上·全國·單元測試）已知集合，，．(1)若，求，；(2)請從①，②這兩個條件中任選一個作為已知條件，求實數(shù)的取值范圍．注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)兩集合交集、并集、補(bǔ)集的概念進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）若選①：計算，分析交集為空集的條件列不等式求解a的范圍.若選②：分析交集非空的條件列不等式求解a的范圍.【詳解】（1）時，，，又，，所以，故，．（2）若選①，因為，，所以，又，，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為．若選②，，，作出數(shù)軸如圖，由，知，解得，則實數(shù)的取值范圍為．【變式4-1】（23-24高一上·安徽蕪湖·期末）已知集合.(1)求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用并集、補(bǔ)集、交集的定義求解即可.（2）利用交集的結(jié)果直接求出的范圍.【詳解】（1）由，得；又或，所以.（2）由，，得.【變式4-2】（24-25高一上·海南·期中）已知集合，.(1)若命題是命題的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；(2)若命題，是假命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知得，分和求解即可；（2）利用分類討論的方法求解.【詳解】（1）由題可知因為p是q的充分不必要條件，所以，①當(dāng)時，，即，成立，②當(dāng)時，，解得，經(jīng)驗證等號成立，所以，綜上，的取值范圍為.（2）解法一：由（1）知，因為命題，是假命題所以命題，是真命題，所以，又因為，所以，解得.實數(shù)的取值范圍為.解法二：由（1）知，因為“命題，”是假命題所以命題，是真命題，所以，如圖1，所以如圖2，此時k無解，如圖3，此時k無解.，如圖4，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.【題型五】混淆了充分性與必要性“是”自正序與“的”字倒序【例5】（24-25高二上·安徽淮南·期中）命題，，若的一個充分不必要條件是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為子集問題，即可求解.【詳解】由條件可知，集合是集合的真子集，所以.故選：D【變式5-1】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知集合，則使得“且”成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)且時求出的取值范圍，然后根據(jù)充分不必要條件的定義可求出答案.【詳解】由題可知且，解得，所以使得“且”成立的一個充分不必要條件是集合的一個真子集，因為只有選項A中的是的真子集，故選：A【變式5-2】（多選）（24-25高一上·廣東中山·階段練習(xí)）的一個必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】解不等式，得到解集，結(jié)合集合的包含關(guān)系得到AD滿足要求，BC不滿足要求.【詳解】，解得，由于是的子集，故是的一個必要條件，A正確，同理，是的子集，故是的一個必要條件，D正確，B,C選項均不滿足要求.故選：AD.【題型一】圖法與容斥原理一般地，對任意兩個有限集,進(jìn)一步的：【例1】（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同學(xué)讀過《牡丹亭》，有8名同學(xué)讀過《醒世恒言》，兩者都讀過的同學(xué)有4名，則該班學(xué)生中至少讀過《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【答案】A【分析】根據(jù)集合的容斥原理即可求解.【詳解】設(shè)集合“高三1班讀過《牡丹亭》的學(xué)生”，其元素個數(shù)記為；集合“高三1班讀過《醒世恒言》的學(xué)生”，其元素個數(shù)記為；則，則.故該班學(xué)生中至少讀過《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有16人.故選：A.【變式1—1】（24-25高一上·重慶·期中）求精中學(xué)為豐富學(xué)生們的課余生活，開展了多種多樣的學(xué)生社團(tuán)活動，其中心理