3/3專題06指數(shù)與對(duì)數(shù)及指數(shù)對(duì)數(shù)冪函數(shù)（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律6.1指數(shù)冪的運(yùn)算與化簡(jiǎn)能熟練運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算。計(jì)算能力的基礎(chǔ)考查。6.2對(duì)數(shù)的定義與運(yùn)算性質(zhì)（積、商、冪、換底公式）能進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，并能運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值。高頻計(jì)算題，公式記憶和運(yùn)用是易錯(cuò)點(diǎn)。6.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（定點(diǎn)、單調(diào)性）能根據(jù)底數(shù)a>1或0<a<1判斷函數(shù)圖象和單調(diào)性。所有比較大小、解不等式問(wèn)題的基礎(chǔ)。6.4利用指數(shù)/對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小能將冪值、對(duì)數(shù)值化歸到同一函數(shù)，利用單調(diào)性比較。高頻考點(diǎn)，常需引入中間量0或1。6.5簡(jiǎn)單的指數(shù)/對(duì)數(shù)不等式求解能利用單調(diào)性（注意底數(shù)決定不等號(hào)方向）解簡(jiǎn)單不等式。易錯(cuò)點(diǎn)在底數(shù)在(0,1)時(shí)不等號(hào)要反向。6.6冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)（定義域、奇偶性、單調(diào)性、過(guò)定點(diǎn)）能掌握5類等常見冪函數(shù)的性質(zhì)。常與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)放在一起比較。6.7不同函數(shù)增長(zhǎng)差異的比較能在圖象上識(shí)別直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的區(qū)別。新教材素養(yǎng)題，考查直觀想象6.8指數(shù)型/對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性能判斷指對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，掌握“同增異減”法則。中檔難點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)是忽略內(nèi)層函數(shù)f(x)本身的定義域及其單調(diào)性對(duì)整體的影響。6.9指數(shù)型/對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域能通過(guò)換元法，將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)等基本函數(shù)在特定區(qū)間上求值域。中檔難點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)是在換元后，未能準(zhǔn)確求出新元（內(nèi)層函數(shù)f(x)）的取值范圍（即新函數(shù)的定義域）知識(shí)點(diǎn)01根式的概念及性質(zhì)（1）概念：式子na叫做______，這里n叫做根指數(shù)，a（2）①______沒有偶次方根．②0的任何次方根都是0，記作n0③(na)n=④nan=a⑤nan=知識(shí)點(diǎn)02分?jǐn)?shù)的指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：amn=（a>0,m,n∈負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a?mn=1性質(zhì)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪知識(shí)點(diǎn)03實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）aras=（2）ars=.（3）abr=.?知識(shí)點(diǎn)04指數(shù)函數(shù)的一般形式9．一般地，函數(shù)（a>0,a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域?yàn)镽.知識(shí)點(diǎn)05指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域R值域0,+過(guò)定點(diǎn)過(guò)點(diǎn)，即x=時(shí)，y=函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，單調(diào)性是R上的是R上的知識(shí)點(diǎn)06解指數(shù)不等式（1）指數(shù)不等式的類型為afx>①當(dāng)a>1時(shí)，；②當(dāng)0<a<1時(shí)，．（2）含指數(shù)式的不等式的一般解法：先將不等式的兩邊化成的指數(shù)式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉底數(shù)，轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式求解．知識(shí)點(diǎn)07比較指數(shù)冪大小的方法（1）對(duì)于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個(gè)冪的大小，利用來(lái)判斷；（2）對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小，利用來(lái)判斷；（3）對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個(gè)冪的大小，則通過(guò)來(lái)判斷．知識(shí)點(diǎn)08對(duì)數(shù)的定義如果ab=N（a>0且a≠1），那么b叫作以a為底，（正）數(shù)N的對(duì)數(shù)，記作，這里，a叫作對(duì)數(shù)的，N叫作對(duì)數(shù)的

知識(shí)點(diǎn)09常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)，并把log10N記作，以無(wú)理數(shù)e=2.71828?為底數(shù)的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并且把知識(shí)點(diǎn)10對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)及對(duì)數(shù)恒等式性質(zhì)1和沒有對(duì)數(shù)性質(zhì)21的對(duì)數(shù)是，即loga1=性質(zhì)3底數(shù)的對(duì)數(shù)是即logaa=對(duì)數(shù)恒等式：alogaN=知識(shí)點(diǎn)11對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：（1）logaMN（2）logaM（3）logaM推廣：loga，，知識(shí)點(diǎn)12換底公式換底公式：；推廣1：對(duì)數(shù)的倒數(shù)式推廣2：。知識(shí)點(diǎn)13對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式及定義域一般地，函數(shù)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，x的范圍是對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問(wèn)題時(shí)，要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù);若自變量在底數(shù)上，應(yīng)保證底數(shù)知識(shí)點(diǎn)14對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域0,+值域R過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)，即x=1時(shí)，y=0函數(shù)值的變化當(dāng)0<x<1時(shí)，當(dāng)x>1時(shí)，當(dāng)0<x<1時(shí)，當(dāng)x>1時(shí)，單調(diào)性是0,+∞上的是0,+∞上的知識(shí)點(diǎn)15解對(duì)數(shù)不等式（1）形如logafx>logagx的不等式，借助函數(shù)（2）形如logafx>b的不等式，應(yīng)將b化為（3）形如logafx（4）形如flogax>0的不等式，可用，先解ft知識(shí)點(diǎn)16冪函數(shù)的定義及一般形式一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)17冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）常見的五種冪函數(shù)的圖象

（2）冪函數(shù)的性質(zhì)①所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖象，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)②如果α>0，則冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,+∞③如果α<0，則冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)：當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方且無(wú)限地逼近y軸；當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，圖象在x軸上方且無(wú)限地逼近（3）常見的五種冪函數(shù)的性質(zhì)解析式y(tǒng)=xy=y=y=y=圖象定義域值域奇偶性單調(diào)性定點(diǎn)1,1知識(shí)點(diǎn)18冪函數(shù)的奇偶性題型一指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算【典例1】（24-25高一上·陜西渭南·期中）計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)(3)已知，求的值．【典例2】（24-25高一上·北京·期中）計(jì)算：(1)(2)(3)，，試用，表示【變式1】（24-25高一上·河南漯河·期中）（1）計(jì)算.（2）計(jì)算.（3）化簡(jiǎn)：.（4）已知，求的值.【變式2】（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）（1）已知x，y，z為正數(shù)，若，求的值.（2），，化簡(jiǎn)：.（3）求值（其中）.題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用解｜題｜技｜巧（1）牢記指數(shù)函數(shù)的基本形式，根據(jù)底數(shù)大小判斷圖象在第一象限的升降趨勢(shì)。（2）利用指數(shù)函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱等變換規(guī)律，解決圖象相關(guān)問(wèn)題。（3）結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，分析函數(shù)的定義域、值域等?！镜淅?】（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，則函數(shù)不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三多限 D．第四象限【變式1】（24-25高一上·福建泉州·期中）且時(shí)，函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)（

）A． B．C． D．【變式2】“是函數(shù)且）的圖象經(jīng)過(guò)第三象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型三指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解｜題｜技｜巧（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；底數(shù)大于0小于1時(shí)，單調(diào)遞減。（2）對(duì)于指數(shù)型復(fù)合函數(shù)，依據(jù)“同增異減”原則判斷單調(diào)性。（3）注意函數(shù)定義域?qū)握{(diào)性的影響，分析單調(diào)區(qū)間要考慮定義域范圍?！镜淅?】（24-25高一上·江蘇南京·期中）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·浙江紹興·期中）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．題型四指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值解｜題｜技｜巧（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定值域，如單調(diào)遞增函數(shù)，定義域左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)最小值，右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大值。（2）對(duì)于指數(shù)型復(fù)合函數(shù)，通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù)求值域和最值。（3）注意指數(shù)函數(shù)本身的取值范圍限制，如指數(shù)函數(shù)的值域恒大于0?！镜淅?】（24-25高一上·安徽·期中）設(shè)，若函數(shù)在上的最小值是2，則其在上的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1】（山東·高考真題）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則.【變式2】若函數(shù)在上有最大值，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或題型五對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（24-25高一上·貴州貴陽(yáng)·期中）已知函數(shù)且的圖象過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)且也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1】在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與（其中且）的圖象的可能是（

）

B．

C．

D．

【變式2】已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．題型六對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解｜題｜技｜巧看底數(shù)。對(duì)于復(fù)合函數(shù)，用“同增異減”的原則，把函數(shù)拆成外層對(duì)數(shù)函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)，分別判斷它們的單調(diào)性，再綜合起來(lái)看。（3）函數(shù)里有參數(shù)時(shí)，討論參數(shù)對(duì)底數(shù)范圍的影響，確定不同參數(shù)情況下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。【典例1】（24-25高一上·福建廈門·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式1】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【變式2】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．題型七指對(duì)數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用【典例1】（24-25高一上·河南駐馬店·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【典例2】（全國(guó)II卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【典例3】設(shè)函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期中）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（

）．A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定義在R上的函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．題型八指對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小比較【典例1】（24-25高一上·吉林·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·安徽阜陽(yáng)·期中）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【典例3】的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式1】已知，，，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【變式2】若，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．題型九冪函數(shù)的圖象【典例1】下列關(guān)于冪函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)和B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限C．當(dāng)指數(shù)取1，3，時(shí)，冪函數(shù)是其定義域上的增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則【變式1】已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．【變式2】在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與冪函數(shù)圖象的關(guān)系可能為（

）A．

B．

C．

D．

題型十冪函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【典例1】?jī)绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無(wú)法判斷【典例2】（24-25高一上·山西朔州·期中）若冪函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．或 C． D．或【變式2】（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B．C．或 D．不存在期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，則函數(shù)不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三多限 D．第四象限2．（24-25高一上·重慶·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．或 B．C． D．3．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·陜西渭南·期中）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（24-25高一上·陜西渭南·期中）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．在內(nèi)的值域?yàn)镃．在定義域上單調(diào)遞減 D．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱6．（24-25高一上·浙江·期中）若，則下列等式正確的是（

）A． B． C． D．．三、解答題7．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.(1)求的值；(2)求不等式的解集.8．（24-25高一上·黑龍江大慶·期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)若，求的值．期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：30分鐘）一、單選題9．（24-25高一上·遼寧鞍山·期中）函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．10．（24-25高一上·海南三亞·期中）設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．11．（24-25高一上·四川成都·期中）函數(shù)在上單調(diào)遞減的必要不充分條件可以是（

）A． B． C． D．二、多選題12．（24-25高一上·廣東佛山·期中）若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．13．（24-25高一上·山東泰安·期中）已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題14．（24-25高一上·安徽·期中）若正數(shù)a，b滿足，則的最大值是.15．（2