拓展二：異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角問題目錄題型一：異面直線所成角題型二：直線與平面所成角角度1：定義法角度2：等體積法題型三：二面角角度1：定義法角度2：三垂線法角度3：垂面法角度4：射影面積法題型一：異面直線所成角知識點歸納平移使相交具體操作，通過平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角典型例題例題1．在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，，，則異面直線與直線所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】連接，在平行六面體中，由與平行且相等得平行四邊形，因此，∴是異面直線與直線所成角或其補(bǔ)角，由已知，，，由余弦定理得，，，∴．故選：B．例題2．如圖，在直三棱柱中，若，，，則異面直線與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，連接，則，，，因為∥，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，，則異面直線與所成的角的余弦值為.故選：C．例題3．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為______．【答案】【詳解】如圖所示，設(shè)分別為和的中點，可得，，且，所以異面直線與所成角即為直線與所成的角，作的中點為，則為直角三角形，因為，在中，由余弦定理可得，所以，所以，在中，，在中，可得，又因為異面直線所成角的范圍是，所以與所成的角的余弦值為.故答案為：.同類題型演練1．在正方體中，E、F分別是、的中點，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】取中點，連接，如圖，因為是中，所以與平行且相等，又與平行且相等，所以與平行且相等，從而是平行四邊形，，所以異面直線AE與BF所成角是或其補(bǔ)角，設(shè)正方體棱長為，則，，中，．所以異面直線AE與BF所成角的余弦是．故選：A．2．如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：取的中點，連接，，，，由正方體的性質(zhì)可知且，所以為平行四邊形，所以，所以異面直線與所成的角的平面角為，又，則，，則，所以，故選：C．3．已知長方體中，，點為棱的中點，則異面直線所成角的余弦值為__________.【答案】【詳解】如圖所示，在長方體中，延長，構(gòu)造一個與全等的長方體，且點為棱的中點，所以，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線所成角，由題意得，所以由余弦定理得，所以.故答案為：.4．在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是_____________.【答案】【詳解】，分別是，的中點，取的中點，連接，，則且，所以為平行四邊形，,那么和所成角即為與所成角．設(shè)，，是直三棱柱，，，故答案為：．題型二：直線與平面所成角角度1：定義法知識點歸納直線與平面所成角定義：平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；具體操作方法：①在直線上任取一點（通常都是取特殊點），向平面引（通常都是找+證明）垂線；②連接斜足與垂足；③則斜線與射影所成的角，就是直線與平面所成角.典型例題例題1．已知在長方體中，，，那么直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)長方體性質(zhì)知：面，故為與面所成的角，，所以.故選：A例題2．如圖，在正三棱柱中，，，點D是側(cè)棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】平面，與平面所成的角為.又，，可得，而平面平面，與平面所成角的正弦值為.故應(yīng)選：B.例題3．在矩形ABCD中，，點為的中點（如圖1），沿將△折起到處，使得平面平面（如圖2），則直線與平面所成角的正切值為___________.【答案】【詳解】取的中點，連接，，∵且為的中點，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，則直線PC與平面ABCE所成角為，即，所以.故答案為：．例題4．如圖，四邊形中，，，.將四邊形沿對角線折成四面體，使平面⊥平面，則與平面所成的角的正弦值為___________.【答案】【詳解】因為平面平面，，平面平面，平面，故平面.因為平面，故.因為，，故，故，又，故平面，∴為直線與平面所成的角，，,又∵平面，∴,∴,故答案為：.角度2：等體積法知識點歸納①如右圖：利用等體積法求垂線段的長；②典型例題例題1．如圖，在三棱臺中，平面，，，，則與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】將棱臺補(bǔ)全為如下棱錐，由，，，易知：，，由平面，平面，則，，所以，，故，所以，若到面的距離為h，又，則，可得，綜上，與平面所成角，則，即.故選：A例題2．如圖，在四面體中，，，為的中點，為上一點.(1)求證：平面平面；(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)．【詳解】（1）在四面體ABCD中，，E為BD的中點，則，而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面.（2）依題意不妨設(shè)，，則，又，則，．在中，，所，則，．由（1）得，，因，即，則．設(shè)點B到平面ACD的距離為h，則，解得，所以點B到平面ACD的距離為.設(shè)直線BF與平面ACD所成角為，所以．因為，所以，故當(dāng)時，最短，此時，正弦值最大為．題型二同類題型演練1．在三棱錐A—BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，且，則直線AB與平面ACD所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又CD⊥BC，，平面ABC，平面ABC，所以CD⊥平面ABC．又平面ACD，所以面平面ABC作BE⊥AC，垂足為E.則平面ACD.所以∠BAE是直線AB與平面ACD所成的角.在直角三角形ABC中，因為，所以．故選：C2．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．已知在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱底面ABCD，且，則直線PD與平面PAC所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，在正方形ABCD中，連接BD交AC于O，則，連接PO.因為平面ABCD，平面ABCD，所以，而，則平面PAC，于是是直線PD與平面PAC所成的角.因為PA=AD=1，易知PA⊥AD，所以，易得，所以，即直線PD與平面PAC所成角的正弦值為.故選：A.3．已知正方體的棱長為1，點P在線段上，且，則AP與平面ABCD所成角的正切值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，連接，因為在平面ABCD上的投影為，故作于，且平面，連接，則AP與平面ABCD所成角為.因為，故，且，故.所以AP與平面ABCD所成角的正切值為故選：D4．在四棱錐中，⊥平面，，，．(1)證明：平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：作，在等腰梯形中，，∴，∴又平面，∴，又，平面，∴⊥平面．（2）Rt△中，，∴，Rt△中，，∴，∴△≌△；又，∴點到平面的距離，∴與平面所成角的正弦值為．5．如圖，是⊙O的直徑，垂直于所在的平面，C是圓周上不同于的一動點.(1)證明：是直角三角形；(2)若，且當(dāng)直線與平面所成角的正切值為時，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)正弦值為（1）是的直徑，則，又垂直于所在的平面，即平面，又平面，則，又，于是平面，又平面，則，即，故是直角三角形；（2）由題可得平面，則與平面所成角為，即，，計算易得，則，由（1）知，是直角三角形，，設(shè)到平面的距離為，由線面角的定義，于是與平面所成角的正弦值為，三棱錐的體積：，又，根據(jù)，解得，于是與平面所成角的正弦值為題型三：二面角角度1：定義法知識點歸納在二面角的棱上任取一點（通常都是取特殊點，如中點，端點），過該點在兩個半平面內(nèi)作二面角棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.典型例題例題1．在正方體中，二面角的大小是___________.【答案】【詳解】畫出圖象如下圖所示，由于，所以是二面角的平面角，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知.故答案為：例題2．四棱錐中，底面是邊長為的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為的等腰三角形，則二面角的平面角為_____________．【答案】60°【詳解】如圖：E、F分別是AB,CD中點，連VE,EF，VF;則就是二面角的平面角；又所以三角形VEF為正三角形，所以例題3．過正方形之頂點作平面，若，則平面與平面所成的銳二面角的度數(shù)為________．【答案】【詳解】根據(jù)已知條件可將四棱錐補(bǔ)成正方體如圖所示：連接CE，則平面CDP和平面CPE為同一個平面，由題可知平面，平面，∴，，又平面和平面，平面，平面，∴為平面和平面所成的銳二面角的平面角，大小為.故答案為：.角度2：三垂線法知識點歸納三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.具體操作步驟（如圖在三棱錐中）求二面角：①第一垂：過點向平面引垂線（一般是找+證，證明）②第二垂：在平面中，過點作,垂足為③第三垂：連接（解答題需證明）典型例題例題1．如圖，若平面，四邊形為正方形，，則二面角的大小為______.【答案】【詳解】解：平面，，又是正方形，，又，平面，是二面角的平面角.在中，，，二面角的大小為，故答案為：.例題2．已知如圖邊長為的正方形外有一點且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【詳解】設(shè)，連接，PA⊥平面ABCD，則是在平面內(nèi)的射影，，平面內(nèi)，，所以，所以是二面角的平面角，由，，，例題3．如圖,在正四棱錐中,.(1)求側(cè)棱與底面所成角的大小;(2)求二面角的大小的余弦值【答案】(1)(2)【詳解】（1）解:由題知正四棱錐,設(shè)底面正方形ABCD的中心為O,連接AO,PO,所以在正四棱錐中,平面ABCD,即點P在平面ABCD上的投影為O,故為側(cè)棱PA與底面ABCD所成角,在中,,,故為等邊三角形,設(shè)其邊長為,因為平面ABCD,平面ABCD,故,在中,,,所以,即,故側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的大小;（2）取AB的中點為E,連接PE,OE,在正方形ABCD中,,在等邊中,,故為二面角的平面角,因為平面ABCD,平面ABCD,故,在中,,,,故二面角的大小的余弦值為.角度3：垂面法知識點歸納垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角.例如：過二面角內(nèi)一點作于，作于，面交棱于點，則就是二面角的平面角.典型例題例題1．已知P是二面角內(nèi)一點，，垂足為，，垂足為，且．求二面角的大?。敬鸢浮俊驹斀狻?，，則，同理，，平面，所以平面，設(shè)平面，連接，平面，所以，所以是二面角的平面角，在四邊形中，，，所以，所以二面角的大小為．例題2．如果二面角的平面角是銳角，空間一點到平面、和棱的距離分別為、4和，則二面角的大小為_______________.【答案】或【詳解】當(dāng)點P在二面角的內(nèi)部，如圖所示：，A，C，B，P四點共面，是二面角的平面角，因為Р到平面、和棱的距離分別為、4和，所以，所以，則；當(dāng)點P在二面角的外部，如圖所示：，A，C，B，P四點共面，是二面角的平面角，因為Р到平面、和棱的距離分別為、4和，所以所以，所以，，則.故答案為：或角度4：射影面積法知識點歸納射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（）求出二面角的大小.典型例題例題1．二面角的大小為，其內(nèi)部有兩個半徑為1，一個半徑為2的小球兩兩外切且與，均相切，則________.【答案】【詳解】根據(jù)對稱性可知，由三個球心、、所確定的平面一定的平面與平面的分角面．下面求的面積及在平面上的射影的面積（如圖），不妨設(shè)球、、的半徑分別為1、1、3．則，，，故為等腰三角形．因此，，在矩形中，由，得，在直角梯形中，,同理可得，所以為等腰三角形，即且平面與平面所成的角為，則，則即，所以，且故平面與平面所成二面角正切值為.故答案為:.例2.正方體中，為棱的中點，求平面和平面所成的二面角的余弦值?！敬鸢浮吭O(shè)正方體的邊長為2，則；在中，，，利用余弦定理，則；則題型三同類題型演練1．長方體中，，，則二面角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由圖可知，，所以是二面角的平面角，，所以.故選：D2．在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，則平面PAB與平面ABCD的夾角為___________【答案】【詳解】分別取的中點，連接，因為側(cè)面PAB是等邊三角形，，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，所以，，又，平面平面,所以是平面PAB與平面ABCD的平面角，又，所以，所以，所以平面PAB與平面ABCD的夾角為3．若一個正四棱錐的高和底面邊長都為a，則它的側(cè)面與底面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖所示，正四棱錐，取AB的中點為H，底面正方形的中心為O，連接OH，PH，因為，，所以為側(cè)面與底面所成的角，又，，，因為為高，所以平面，所以，所以在直角三角形POH中，所以側(cè)面與底面所成角的余弦值為故選:B.4．在四棱錐中，底面是矩形，底面，且，，則二面角的大小為（

）A．