拓展一：空間幾何體的外接球與內切球問題目錄題型一：空間幾何體的內切球問題角度1：內切球等體積法角度2:內切球獨立截面法題型二：空間幾何體的外接球問題角度1：外接球公式法角度2：外接球補型法角度3：外接球單面定球心法角度4：外接球雙面定球心法題型一：空間幾何體的內切球問題角度1：內切球等體積法知識點歸納球的內切問題（等體積法）例如：在四棱錐中，內切球為球，求球半徑.方法如下：即：，可求出.典型例題例題1．在正四棱錐中，，則該四棱錐內切球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】過點作平面，則為正方形的中心，連接，如圖，因為，所以，所以，則四棱錐的體積，四棱錐的表面積.設四棱錐內切球的半徑為，內切球的球心為，由，可得，即，解得，故四棱錐內切球的表面積是.故選：C例題2．正四棱錐的各條棱長均為2，則該四棱錐的內切球的表面積為______．【答案】【詳解】設底面的中心為，連接，則，設四棱錐的內切球的半徑為，連接，得到四個三棱錐和一個四棱錐，它們的高均為，∴，即，解得，∴該四棱錐的內切球的表面積為.故答案為：.例題3．在三棱錐中，垂直底面，，，若三棱錐的內切球半徑為，則此三棱錐的側面積為___________.【答案】【詳解】設三棱錐內切球圓心為，以為頂點將三棱錐分為四個小三棱錐，則三棱錐的體積，垂直底面，三棱錐的體積，則通過三棱錐體積不變可知，.故答案為：.角度2:內切球獨立截面法知識點歸納如圖，在三棱錐中，是其內切球球心，求其內切球的半徑1、在例題圖形中，畫出過經過球心和切點的大圓的截面圖，如圖中2、在獨立截面中，找到和球半徑相關的直角三角形，如圖中和3、利用相似性求出內切球半徑.典型例題例題1．軸截面為正三角形的圓錐稱為等邊圓錐，已知一等邊圓錐的母線長為，則該圓錐的內切球體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】軸截面如圖所示，設內切球的半徑為，則，由題意可得，，在中，，所以，即，所以內切球體積為，故選：D例題2．已知圓錐的底面圓半徑為，圓錐內部放有半徑為1的球，球與圓錐的側面和底面都相切，若，則圓錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】作圓錐的軸截面，如圖，截球得大圓為圓錐軸截面等腰的內切圓，圓心在高中，是腰上的切點，，設圓錐高為，由得，即，，，，令，，，由勾形函數(shù)性質知在上單調遞減，在上單調遞增，所以時，取得最小值4，又時，，時，，因此的最大值是，所以．故選：A．題型一同類題型演練1．已知正四棱錐的側棱長為，底面邊長為2，則該四棱錐的內切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，設O為正四棱錐的底面中心，E為BC的中點，連接,PO,OE,PE,則PO為四棱錐的高，PE為側面三角形PBC的高，因為,故,則，設該四棱錐的內切球的半徑為r，則，即，解得，故內切球的體積為,故選：B2．在底面是正方形的四棱錐中，底面ABCD，且，則四棱錐內切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意，設四棱錐內切球的半徑為r，因為，四棱錐的表面積，所以，所以四棱錐內切球的表面積為.故選：B.3．一個圓錐的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的內切球的表面積和圓錐的側面積的比為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐的高為，內切球的半徑為，其軸截面如圖所示，設為內切球球心，因為圓錐的側面展開圖是一個半圓，所以，得，即，所以，所以，因為∽，所以,所以，得，所以圓錐的內切球的表面積和圓錐的側面積的比為，故選：A4．如圖，在四棱錐中，是正方形的中心，底面，，，則四棱錐內切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可知,該幾何體的底面是邊長為2的正方形，側棱長都為，連接.底面，.，，，.設四棱錐的內切球的半徑為，球心為，由，得，即，解得，故四棱錐內切球的體積為.故選：B.5．已知三棱錐中,平面,則該三棱錐的表面積與內切球的半徑分別為__________,__________.【答案】

【詳解】解:由題知,因為,所以,即為直角三角形,因為平面所以,因為,所以,所以為等邊三角形,故三棱錐的表面積;設三棱錐的內切球的半徑為,因為平面,所以,因為,即,解得:.綜上三棱錐的表面積為:,內切球的半徑為.故答案為:;6．在三棱錐中，平面，，，，是邊上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為___________；則三棱錐的內切球的半徑為___________.【答案】

【詳解】由于平面，所以，故當時，此時最短，此時直線與平面所成角的最大，此時，由可得，由，所以，由所以，所以的外接圓直徑為，由，可得外接圓直徑，所以表面積為，設三棱錐的內切球的半徑為，有，解得，所以，故答案為：，.題型二：空間幾何體的外接球問題角度1：外接球公式法典型例題正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點例題1．一個正方體的頂點都在同一個球的球面上，該正方體的棱長為，則球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】正方體的對角線是球的直徑，所以，則，所以球的表面積故選：D.例題2．長方體的長、寬、高分別為2，2，1，其頂點都在球的球面上，則球的表面積為______.【答案】【詳解】因為長方體的外接球的直徑為長方體的體對角線，長方體的長、寬、高分別為2，2，1，所以長方體的外接球的直徑，故長方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：例題3．已知正方體外接球的體積是，那么正方體的體對角線等于（

）A． B．4 C． D．.【答案】B【詳解】解：正方體外接球的直徑即為正方體的體對角線，設外接球的半徑為，則，解得，所以正方體的體對角線等于；故選：B角度2：外接球補型法①墻角模型（三條線兩個垂直，補為長方體模型）題設：三條棱兩兩垂直②對棱相等模型（補形為長方體）題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，，）典型例題例題1．已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖所示，將三棱錐放在長、寬、高分別為，，的長方體中，則三棱錐的外接球即為該長方本的外接球，所以外接球的直徑，∴該球的體積為.故選：B例題2．在三棱錐A-BCD中，，，二面角是鈍角.若三棱錐的體積為2，則的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖1，取中點，連接，則，，又，平面，所以平面，，所以，又，，，又由，，知為二面角的平面角，此角為鈍角，所以，所以，因此四面體可以放置在一個長方體中，四面體的六條棱是長方體的六個面對角線，如圖2，此長方體的外接球就是四面體的外接球，設長方體的棱長分別為，則，解得，所以外接球的直徑為，，球表面積為．故選：B．圖1圖2例題3．《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，在如圖所示的塹堵中，，，，則在塹堵中截掉陽馬后的幾何體的外接球的體積與陽馬的體積比為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題知：剩余的幾何體為三棱錐，平面，．將三棱錐放入長方體，長方體的外接球為三棱錐的外接球，如圖所示：外接球半徑，所以外接球體積，陽馬—的體積為．．故選：B．例題4．在四面體中，，，則這個四面體的體積為____________.【答案】【詳解】由題意可知，四面體各面都是棱長分別為的全等三角形，∴該四面體可看做對角線長分別為的長方體切去4個相等的三棱錐得到的．設長方體的長寬高分別是a，b，c，則,解得,則此四面體的體積.角度3：外接球單面定球心法知識點歸納單面定球心法（定+算）步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心）；②過外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；③計算求半徑:在直線上任取一點如圖：則，利用公式可計算出球半徑.典型例題例題1．已知在四面體中，，則該四面體外接球的表面積為__________.【答案】##【詳解】在平面的射影為三角形的外心.又，所以由正弦定理得：三角形的外接圓的半徑；設四面體外接球的半徑為.解得：.所以外接球的表面積為.故答案為：.例題2．在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是___________.【答案】【詳解】如圖所示：設點D為AB的中點，O為外接圓的圓心，∵，∴O在CD上，且，，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，又AB，平面PAB，∴，，在中，，D為AB的中點，∴，∴，∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，∴該三棱錐外接球的表面積.故答案為：.例題3．已知球是正三棱錐的外接球，，，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解：如圖，設的中心為，球的半徑為，連接，，，，則，，在中，，解得，，，在中，，，過點作圓的截面，當截面與垂直時，截面的面積最小，此時截面圓的半徑為，最小面積為，當截面過球心時，截面面積最大，最大面積為．所得截面圓面積的取值范圍是，故答案為：．角度4：外接球雙面定球心法知識點歸納如圖：在三棱錐中：①選定底面，定外接圓圓心②選定面，定外接圓圓心③分別過做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點即為外接球球心.典型例題例題1．如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示，因為是以AC為斜邊的等腰直角三角形，所以的外心在中點，設為，設的外心為，中點為，，因為，所以必在連線上，則，即，因為兩平面交線為，為平面所在圓面中心，所以，，又因為二面角的大小為，，所以，所以，錐體外接球半徑，則三棱錐的外接球表面積為，故選：B例題2．三棱錐中，二面角為，和均為邊長為2的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為______．【答案】【詳解】作出三棱錐P－ABC，如圖所示：為的中點，分別為和的外心，過點分別作平面和平面的垂線，交點為，連接.根據(jù)題意可知：球心既過的外心垂直平面的垂線上，又在過的外心垂直平面的垂線上，所以三棱錐外接球的球心，設外接球半徑，由題意知：和均為邊長為2的正三角形，所以，，所以即為二面角P－AB－C的平面角，因為二面角P－AB－C為120°，也即，因為和均為邊長為2的正三角形，所以，，則，所以，則，在中，因為，，所以，又因為，所以在中，，即，所以，故答案為：.例題3．已知菱形的各邊長為，如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，若則三棱錐的體積為___________，是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持，則點的軌跡的周長為___________.【答案】

##【詳解】取中點，連接，則，平面，∴平面，，又，，∴，則三棱錐的高，三棱錐體積為；作于，設點軌跡所在平面為，則平面經過點且，設三棱錐外接球的球心為的中心分別為，易知平面平面，且四點共面，由題可得，，，又，則三棱錐外接球半徑，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，∴截面圓的周長為，即點軌跡的周長為.故答案為：；.題型二同類題型演練1．已知某正方體外接球的表面積為，則該正方體的棱長為______．【答案】1【詳解】設正方體的棱長為，外接球的半徑為，根據(jù)正方體的對角線長等于外接球的直徑，可得，由，可得，即，解得．故答案為：1．2．已知正方體的棱長為2，則其外接球的表面積為______．【答案】【詳解】解：設正方體外接球的半徑為，則由題意可得，即，所以外接球的表面積為，故答案為：3．在四棱錐中，面，底面是正方形，，則此四棱錐的外接球的半徑為_______________．【答案】【詳解】將四棱錐P-ABCD補成正方體如圖：則此四棱錐的外接球即為正方體的外接球，正方體的對角線長為，所以四棱錐的外接球的直徑為，因此四棱錐的外接球的半徑為故答案為：4．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是___________.【答案】【詳解】因為，，則，，同理可證，，所以，、、兩兩垂直，將三棱錐補成正方體，如下圖所示：正方體的體對角線即為三棱錐的外接球直徑，設三棱錐的外接球半徑為，則，所以，，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.5．在中，，將繞旋轉至的位置，使得，如圖所示，則三棱錐外接球的表面積為___________.【答案】【詳解】在中，由余弦定理得，所以，在三棱錐中，，將三棱錐放入長方體，設長方體的長寬高分別為，設三棱錐的外接球的半徑為，則，可得，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.6．在三棱錐中，已知，，兩兩垂直，且，，，則三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【詳解】解：把三棱錐放置在一個長方體中，如圖：則長方體的外接球即三棱錐的外接球，其外接球的半徑為．三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：.7．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．已知在鱉臑中，滿足平面BCD，且，，，則此鱉臑外接球的體積為______．【答案】【詳解】把鱉臑補成直四棱柱如圖，其中，，鱉臑的外接球即為此直四棱柱的外接球，設外接球半徑為則，根據(jù)球的體積有外接球的體積為故答案為：8．已知在三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因平面，平面，則，而，則，三棱錐的外接球截平面所得小圓圓心是正的中心，，連，則平面，取線段的中點，則球的球心在過E垂直于直線的垂面上，連，如圖，則四邊形是矩形，，因此，球的半徑有：，所以三棱錐外接球的表面積.故選：C9．在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A．60π B．45π C．30π D．20π【答案】A【詳解】當三棱錐的體積最大值時，平面平面，如圖，取的中點為，連接，則.設分別為，外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在上，在上，且,且平面，平面.平面平面，平面平面，平面，，平面，，同理四邊形為平行四邊形，平面，平面，即四邊形為矩形.，外接球半徑外接球的表面積為故選：A.10．已知四棱錐中，平面平面ABCD，其中為正方形，是邊長為2的等邊三角形，則四棱錐外接球的表面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【詳解】連接交于，球心在底面的射影必為點，取的中點，在截面中，連接，如圖，在等邊中，的中點為，所以，又平面平面，是交線，所以平面，且，設，外接球半徑為，則在正方形中，，，在中，，而在截面中，