6.3.1平面向量基本定理(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點題型分類研究題型1:對基底的理解題型2：用基底表示向量題型3：用平面向量基本定理求參數(shù)題型4：平面向量基本定理的綜合應(yīng)用題型5：運用平面向量基本定理解決證明問題三、高考（模擬）題體驗一、必備知識分層透析知識點1：平面向量基本定理（1）平面向量基本定理如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù),,使.若,不共線,我們把,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.（2）對平面向量基本定理的理解(1)這個定理告訴我們,平面內(nèi)任意兩個不共線向量都可以作為基底,一旦選定一組基底,則平面內(nèi)的任一向量都可用該組基底唯一表示.(2)對于確定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.(3)同一個非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.(4)這個定理可推廣為:平面內(nèi)任意三個不共線的向量中,任何一個向量都可表示例示為其余兩個向量的線性組合,且形式唯一.知識點2：平面向量基本定理的有關(guān)結(jié)論（1）設(shè),是平面內(nèi)一組基底，若，當(dāng)時，與共線；當(dāng)時，與共線；當(dāng)時，，同樣的時，.（2）設(shè)是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，若，則.二、重點題型分類研究題型1:對基底的理解典型例題例題1．若向量與是平面上的兩個不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【詳解】對于A，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，A不選；對于B，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，B不選；對于C，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，解得，即與共線，選C；對于D，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，D不選；故選：C例題2．已知，是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能做基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【詳解】A選項：令，因為，不共線，所以，無實數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；B選項：令，因為，不共線，所以，無實數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；C選項：令，因為，不共線，所以，無實數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；D選項：易知，即與共線，不能作為平面向量基底.故選：D例題3．（多選）已知向量、不共線，則下列各組向量中，能作平面向量的一組基底的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】因為向量、不共線，對于A選項，設(shè)、共線，可設(shè)，可得出，無解，所以，、不共線，A中的向量能作基底，同理可知CD選項中的向量也可作平面向量的基底，對于B選項，因為，所以，所以不能作平面向量的基底．故選：ACD.同類題型演練1．如果表示平面內(nèi)所有向量的一個基底，那么下列四組向量，不能作為一個基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)平面基底的定義知，向量為不共線非零向量，即不存在實數(shù)，使得，對于A中，向量和，不存在實數(shù)，使得，可以作為一個基地；對于B中，向量和，假設(shè)存在實數(shù)，使得，可得，此時方程組無解，所以和可以作為基底；對于C中，向量和，假設(shè)存在實數(shù)，使得，可得，解得，所以和不可以作為基底；對于D中，向量和，假設(shè)存在實數(shù)，使得，可得，此時方程組無解，所以和可以作為基底；故選：C.2．設(shè)是平面內(nèi)的一個基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【詳解】∵，是平面內(nèi)的一組基底，∴，不共線，而，則根據(jù)向量共線定理可得，與共線，根據(jù)基底的定義可知，選項D不符合題意.其他三組中的向量均為不共線向量，故可作為基底向量.故選:D.3．（多選）已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列向量中能作為一組基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】ABD【詳解】解：對于A，與不共線，故可作為一組基底，故A正確；對于B，和不共線，故可作為一組基底，故B正確；對于C，，故不能作為一組基底，故C錯誤；對于D，和不共線，故可作為一組基底，故D正確.故選:ABD.題型2：用基底表示向量典型例題例題1．在中，為邊上的中線，為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為為邊上的中線，所以，因為為的中點，所以可得，故選：A例題2．在中，點在邊上，且.設(shè)，，則可用基底，表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，所以.所以故選：C例題3．（多選）如圖，已知，點，滿足，，與交于點，交于點，.則（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】三點共線，設(shè)，三點共線，設(shè)，A選項：，，∴，解得，，所以A選項錯誤；B選項：由，得，三點共線，則，即，得，即，有，得，所以B選項正確；C選項：，所以C選項正確；D選項：，所以D選項錯誤.故選：BC同類題型演練1．在中，點在邊上，.記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為點在邊上，，所以，即，所以.故選:B.2．在中，點在邊上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，故選：B3．在中，為邊上的中線，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題可得圖，如下：則，又為邊上的中線，所以，則.故選：D.4．如圖，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，故，故，故選：A.題型3：用平面向量基本定理求參數(shù)典型例題例題1．點為內(nèi)一點，若，設(shè)，則實數(shù)和的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【詳解】如圖所示，延長交于，顯然，由面積關(guān)系可得，所以，而，所以，所以，即，又由題可知，所以，所以，整理得，所以，故選：A例題2．如圖，在平行四邊形中，分別為上的點，且，連接交于點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)則顯然得顯然因為所以有即根據(jù)向量的性質(zhì)可知解得故選：C例題3．在中，點為的中點，，與交于點，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為基底向量，則有∵三點共線，則又∵三點共線，則∴，解得即則∴，即故選：A.例題4．中，，若，則___________．【答案】【詳解】，，即．.故答案為：.例題5．如圖，在中，是的中點，若，則實數(shù)的值是__________.【答案】##【詳解】因為，所以為的中點，因為是的中點，所以，所以,因為，所以，故答案為：同類題型演練1．中，D為BC中點，，AD交BE于P點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為D為BC中點，所以，因為，所以，因為三點共線，所以設(shè)，即，整理得：，令，則，則，其中，因為，所以，故，因為，所以，又，解得：故選：C.2．在中，為邊的中點，在邊上，且，與交于點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為基底向量，則有：∵三點共線，則，又∵三點共線，且為邊的中點，則，∴，解得，即.∵，∴，則.故選：A.3．在中，點D在邊AB的延長線上，，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】因為點D在邊AB的延長線上，，所以，即,所以.又，由平面向量基本定理可得：，.故選：B4．已知在中，點為上的點，且，若，則（

）A． B．0 C． D．1【答案】C【詳解】由題意得，所以，所以.故選：C5．如圖，在平行四邊形ABCD中，，F(xiàn)為BC的中點，G為線段EF上一點，且滿足，則m=（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，為的中點，，，因為、、三點共線，設(shè)，又，，解得．故選：A．6．在中，是邊上的點，且，設(shè)，則___________.【答案】【詳解】由題，是邊上的點，且，，∴故答案為：6．如圖，在梯形中，，且，設(shè).(1)試用和表示；(2)若點滿足，且三點共線，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，，，，則整理得：．（2）解：，，三點共線，．，，，又．．，解得，．．題型4：平面向量基本定理的綜合應(yīng)用典型例題例題1．銳角三角形中，為邊上一動點（不含端點），點滿足，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【詳解】依題意，設(shè)，則，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：D例題2．在中，，，過的外心的直線(不經(jīng)過點)分別交線段于，且，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為中，，由余弦定理可得，即，且，設(shè)，則，，所以，同理可得，，解得，所以，又因為，，所以，因為三點共線，可得，因為，所以，所以，同理可得，所以所以，設(shè)，可得，令，可得，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為；又由，，可得，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是.故選：B.例題3．如圖，在中，為線段上一點，且，為線段的中點，過點的直線分別交直線，于，兩點，，，則的最小值為_______【答案】【詳解】因為，所以，即，又因為G為線段AO的中點，所以，因為，，所以，因為D、G、E三點共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故答案為：．同類題型演練1．在中，，過點O的直線分別交直線于M，N兩個不同的點，若，其中m，n為實數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．4 C． D．5【答案】C【詳解】三點共線即故的最小值為.故選：C.2．設(shè)點P在內(nèi)且為的外心，，如圖.若的面積分別為，x，y，則的最大值是________.【答案】##【詳解】根據(jù)奔馳定理得，，即，平方得，又因為點P是的外心，所以，且，所以，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以.故答案為：.3．在中，點是邊上（不包含頂點）的動點，若，則的最小值______.【答案】##【詳解】如圖，可知x，y均為正，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則的最小值為.故答案為：.4．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知為線段的中點，設(shè)為中間小正方形內(nèi)一點（不含邊界）.若，則的取值范圍為__________.【答案】【詳解】過點作，分別交于點，過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，如圖，由可知，點在線段上運動（不含端點）.當(dāng)點與點重合時，，可知.當(dāng)點與點重合時，，可知.故的取值范圍為.故答案為：題型5：運用平面向量基本定理解決證明問題典型例題例題1．如圖所示，在中，在線段上，滿足，是線段的中點．(1)延長交于點Q（圖1），求的值；(2)過點的直線與邊，分別交于點，（圖2），設(shè)，．（i）求證為定值；（ii）設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值．【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）.【詳解】（1）依題意，因為，所以，因為是線段的中點，所以，設(shè)，則有，因為三點共線，所以，解得，即，所以，所以；（2）（i）根據(jù)題意,同理可得：，由（1）可知，，所以，因為三點共線，所以，化簡得，即為定值，且定值為3；（ii）根據(jù)題意，，，所以，由（i）可知，則，所以，易知，當(dāng)時，有最小值，此時.例題2．（1）已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域；（2）已知G是的重心，，過點作直線交、邊分別于點、點，設(shè)，，證明：是定值．【答案】（1）（2）證明見解析【詳解】（1），因為，所以，所以，，所以值域為，所以的值域為.（2）因為G是重心，所以又因為三點共線，所以聯(lián)立，得所以，兩邊乘以3得，，所以是定值.同類題型演練1．已知M，P，N是平面上不同的三點，點A是此平面上任意一點，則“M，P，N三點共線”的充要條件是“存在實數(shù)，使得”．此結(jié)論往往稱為向量的爪子模型．(1)給出這個結(jié)論的證明；(2)在的邊、上分別取點E、F，使，，連結(jié)、交于點G．設(shè)，．利用上述結(jié)論，求出用、表示向量的表達式．【答案】(1)證明見解析(2)（1）先證充分性．若，則，，即，，故M，P，N三點共線．再證必要性．若M，P，N三點共線，則存在實數(shù)，使得，即，，故．綜上知，結(jié)論成立．（2）利用A，G，F(xiàn)和B，G，E共線的充要條件，存在實數(shù)，使得則，解得．故．2．如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC交于點M．設(shè)，．(1)試用向量，表示；(2)在線段AC上取點E，在線段BD上取點F，使EF過點M，設(shè)，，其中，．證明：為定值，并求出該定值．【答案】(1)；(2)證明見解析，定值為5.（1）設(shè)，由A，M，D三點共線，可知存在（，且），使得，則，因為，所以，由平面向量基本定理得，即，①同理，由B，M，C三點共線，可知存在（，且），使得，則，又，所以，由平面向量基本定理得即，②由①②得，，故；（2）由于E，M，F(xiàn)三點共線，則存在實數(shù)（，且）使得，即，于是，又，，所以，由平面向量基本定理得，消去，得，故為定值，該定值為5.三、高考（模擬）題體驗1．在中，是的中點，是的中點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵∴．故選：D．2．如圖所示，的面積為，其中，AD為BC邊上的高，M為AD的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：，所以，因為AD為BC邊上的高，所以，因為M為AD的中點，所以，又因為，所以，所以.故選：C.3．在中，E，F(xiàn)分別為的中點，點D是線段（不含端點）內(nèi)的任意一點，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為點D是線段（不含端點）內(nèi)的任意一點，所以可設(shè)，因為E，F(xiàn)分別為的中點，所以，所以，又，所以，，，，所以A，B，D錯誤，C正確，故選：C.4．在△ABC中