高數(shù)開學(xué)考試卷子及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^2}\)的定義域是（）A.\((-2,2)\)B.\([-2,2]\)C.\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)D.\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值為（）A.0B.1C.3D.\(\frac{1}{3}\)3.函數(shù)\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(\lnx\)，則\(f(x)\)=（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(-\frac{1}{x}\)C.\(\lnx\)D.\(x\lnx\)5.\(\intx^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\frac{1}{2}x^2+C\)C.\(x^3+C\)D.\(3x^3+C\)6.函數(shù)\(y=e^{-x}\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{x}\)D.\(-e^{x}\)7.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}\)的值為（）A.0B.\(\frac{3}{2}\)C.1D.\(\infty\)8.函數(shù)\(y=\cos2x\)的周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)9.曲線\(y=x^2\)與\(y=1\)所圍成的平面圖形的面積為（）A.\(\frac{4}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{5}{3}\)10.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(\int_{a}^f(t)dt\)的關(guān)系是（）A.相等B.互為相反數(shù)C.不確定D.前者大于后者二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.以下哪些是無窮小量（）A.\(\lim_{x\to0}x\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)4.下列積分計算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.以下哪些是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（）A.\((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)B.\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)C.\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}\)（\(v\neq0\)）D.\((u^n)^\prime=nu^{n-1}\)6.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的間斷點(diǎn)有（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.無間斷點(diǎn)7.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)8.若函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上至多有有限個間斷點(diǎn)D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)9.曲線\(y=x^3-3x\)的極值點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=0\)D.\(x=2\)10.下列說法正確的是（）A.連續(xù)函數(shù)一定可積B.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)C.可積函數(shù)一定連續(xù)D.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是\((1,+\infty)\)。（）2.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0\)。（）3.若\(f(x)\)在\(x_0\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定不連續(xù)。（）4.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)（\(f(x)\)為奇函數(shù)）。（）5.函數(shù)\(y=x^2+1\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增。（）6.導(dǎo)數(shù)\((\sin^2x)^\prime=2\sinx\)。（）7.極限\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)。（）8.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是\((0,+\infty)\)。（）9.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）10.\(\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，對\(y=x^3-3x^2+2\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x\)。2.計算\(\int(2x+e^x)dx\)。答案：根據(jù)積分運(yùn)算法則，\(\int(2x+e^x)dx=\int2xdx+\inte^xdx=2\times\frac{1}{2}x^2+e^x+C=x^2+e^x+C\)。3.求極限\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。答案：對分子因式分解\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，則\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)。4.簡述函數(shù)連續(xù)的定義。答案：設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，那么就稱函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)連續(xù)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的單調(diào)性與凹凸性。答案：\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}\lt0\)，在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減；\(y^{\prime\prime}=\frac{2}{x^3}\)，\(x\gt0\)時，\(y^{\prime\prime}\gt0\)下凸，\(x\lt0\)時，\(y^{\prime\prime}\lt0\)上凸。2.結(jié)合實(shí)際例子，說明導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用。答案：例如生產(chǎn)某種產(chǎn)品，成本函數(shù)為\(C(x)\)，收益函數(shù)為\(R(x)\)，利潤函數(shù)\(L(x)=R(x)-C(x)\)。通過求導(dǎo)找到\(L^\prime(x)=0\)的點(diǎn)，可確定使利潤最大的產(chǎn)量。3.探討定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計算常通過不定積分找到原函數(shù)再利用牛頓-萊布尼茨公式計算。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，定積分是一個數(shù)值，且定積分有積分區(qū)間，不定積分沒有。4.舉例說明極限在生活中的體現(xiàn)。答案：比如向一個容器注水，隨著時間增加，容器內(nèi)水面高度逐漸趨近一個固定值，這就是極限概念的體現(xiàn)，像汽車行駛速度逐漸穩(wěn)定到一個值也是類似道理。答案一、