1/12021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編奇偶性2一、單選題1．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是A． B． C． D．2．（2021·北京·清華附中高一期中）若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（）A． B．C． D．3．（2021·北京·人大附中高一期中）若是偶函數(shù)，且、都有，若，則不等式的解集為（）A．或 B．或C．或 D．4．（2021·北京師大附中高一期中）已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2-2，則f（x）<0的解集是A．（-1，0） B．（0，1） C．（-1，1） D．（-∞，-1）（1，+∞）5．（2021·北京·人大附中高一期中）函數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．在其定義域上單調(diào)遞增C．的值域?yàn)镈．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)6．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．7．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．8．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則下列關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．二、填空題9．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，若，則______．10．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)是奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱；③函數(shù)是偶函數(shù)；④函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù).在上述四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是___________（寫出所有正確命題的序號(hào)）11．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)，且，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②存在，使得；③不等式的解集為；④關(guān)于的方程的解集中所有元素之和為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.三、解答題12．（2021·北京·人大附中高一期中）已知二次函數(shù).（1）若是偶函數(shù)，求m的值；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最小值記為，求的最大值；（3）若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.13．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知定義域?yàn)榈膯握{(diào)減函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.14．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函數(shù).（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（3）在（2）成立的條件下，解不等式.15．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；（3）若，求的取值范圍.

參考答案1．C【分析】先根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求出，再根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性和題設(shè)給的的增減性解題即可【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，，解得，的定義域?yàn)橛?，?dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，再由偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，解得答案選C【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的基本性質(zhì)、利用偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式，易錯(cuò)點(diǎn)為解題過(guò)程中忽略所有括號(hào)中的取值都必須在定義域內(nèi)2．D【分析】題目考察奇偶性和單調(diào)性的結(jié)合，觀察四個(gè)選項(xiàng)可以發(fā)現(xiàn)，只要比較的大小即可，其中不在區(qū)間內(nèi)，要用偶函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，且，所以，即故選：D3．D【分析】分析出偶函數(shù)在上為增函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，即可得出原不等式的解集.【詳解】、都有，不妨設(shè)，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故，由可得，可得，解得.因此，不等式的解集為.故選：D.4．C【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)可得，∵時(shí)，

設(shè)，則，，，

當(dāng)時(shí)，有，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了偶函數(shù)的定義及利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，不等式的解法，屬于知識(shí)的綜合應(yīng)用；根據(jù)函數(shù)的奇偶性可求出函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式，解分段函數(shù)的不等式可得最后結(jié)果.5．A【分析】根據(jù)的圖象上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)不在的圖象上，可知A不正確；利用的奇偶性以及在上的單調(diào)性，可知在其定義域上單調(diào)遞增，故B正確；求出函數(shù)的值域，可知C正確；求出函數(shù)的零點(diǎn)，可知D正確.【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在的圖象上取點(diǎn)，它關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)不在的圖象上，故A不正確；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，又為奇函數(shù)，且，所以在其定義域上單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以的值域?yàn)?，故C正確；令，得，得，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：A6．D【分析】根已知條件求出的周期，根據(jù)周期性以及奇函數(shù)，結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】因?yàn)闈M足，所以，所以是周期為的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，，故選：D.7．D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得解.【詳解】函數(shù)不是奇函數(shù)，故A不正確；函數(shù)是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故B不正確；函數(shù)是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故C不正確；的圖象如圖：所以函數(shù)是奇函數(shù)且是增函數(shù).故選：D8．A【分析】根據(jù)圖形可得，再根據(jù)偶函數(shù)可判斷.【詳解】由圖可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，是定義在上的偶函數(shù)，，.故選：A.9．【分析】根據(jù)題意，令，從而得到，得到為奇函數(shù)，整理得到，將代入求得的值.【詳解】設(shè)，則，即為奇函數(shù)，故，即，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)值的求解問(wèn)題，解題方法如下：（1）構(gòu)造奇函數(shù)；（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，進(jìn)而求得，得到結(jié)果.10．①②③【分析】由可得，由此可得函數(shù)為周期函數(shù)，①對(duì)，④錯(cuò)，由函數(shù)是奇函數(shù)確定函數(shù)的對(duì)稱中心，判斷②，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷③.【詳解】解：對(duì)于①：函數(shù)是周期函數(shù)且其周期為3.①對(duì)對(duì)于②：是奇函數(shù)其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又函數(shù)的圖象是由向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，故②對(duì).對(duì)于③：由②知，對(duì)于任意的，都有，用換，可得：對(duì)于任意的都成立.令，則，函數(shù)是偶函數(shù)，③對(duì).對(duì)于④：偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在上不是單調(diào)函數(shù)，④不對(duì).故答案為：①②③.11．①③④【分析】由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可判斷①②③，令，則有，從而可求出，進(jìn)而求出，即可判斷④【詳解】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在上單調(diào)，且，，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故①正確；因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，故②錯(cuò)誤；偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，由可得，所以，解得或，故③正確；令，則，可化為，解得或，即或，所以或，解得或或或，關(guān)于的方程的解集中所有元素之和為，故④正確.故答案為：①③④12．（1）；（2）最大值為0；（3）或.【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義直接求解；（2）根據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系，分類求解最小值，按分段函數(shù)形式寫的解析式，作出分段函數(shù)的解析式，數(shù)形結(jié)合求最值即可；（3）先轉(zhuǎn)化：在上單調(diào)遞增且恒非負(fù)，或單調(diào)遞減且恒非正，再根據(jù)對(duì)稱軸以及單調(diào)性列方程組，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）是偶函數(shù)，，即，解得：（2），二次函數(shù)對(duì)稱軸為，開口向上①若，即，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以最小值.②若，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小，最小值.③若，即，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以最小值.綜上，作出分段函數(shù)的圖像如下，由圖可知，的最大值為0.（3）要使函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增且恒非負(fù)，或單調(diào)遞減且恒非正，或，即或，解得或.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是：或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，通常分為四種情況：（1）軸定區(qū)間定；（2）軸定區(qū)間動(dòng)；（3）軸動(dòng)區(qū)間定；（4）軸動(dòng)區(qū)間動(dòng)；這四種情況都需要按三個(gè)方向來(lái)研究函數(shù)的最值：對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)，從而知道函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值.13．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用函數(shù)奇函數(shù)的性質(zhì)求的值；（2）利用函數(shù)是奇函數(shù)，求的解析式，即得函數(shù)的解析式；（3）利用函數(shù)是奇函數(shù)，變形為，再利用函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式，利用不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，所以.（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以，綜上，（3）由，得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，又在上是減函數(shù)，所以，即對(duì)任意恒成立，令，則，由，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；（3）.【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，再判斷與的關(guān)系，即可得到答案；（2）任取，作差判斷與的大小關(guān)系；（3）利用（1）（2）結(jié)論將原不等式，利用單調(diào)性即可得到答案；【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù).證明如下：∵定義域?yàn)镽又∴為奇函數(shù)（2）函數(shù)在為單調(diào)增函數(shù).證明如下：任取，則∵，∴，∴即故在上為增函數(shù)（3）由（1）?（2）可得，則解得：所以原不等式的解集為15．（1）；（2）在上的單調(diào)遞增，證明